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甘肃省定西市临洮县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·临洮期末）使函数有意义的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·临洮期末）为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·临洮期末）如图，，且，，则线段的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．（2024八下·临洮期末）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·临洮期末）下列各数中，与的积为有理数的是（　　）
A． B． C．3 D．
6．（2024八下·临洮期末）已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·临洮期末）以下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．（2024八下·临洮期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．邻边相等的四边形是正方形
9．（2024八下·临洮期末）安定区博物馆2023年暑假决定延时开放，并在中小学生中选拔了六位小讲解员，他们的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15，但年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据与原年龄数据相比，不变的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
10．（2024八下·临洮期末）四个顶点的坐标分别为，，，，若直线经过该对角线的交点，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·临洮期末）化简　 　
12．（2024八下·临洮期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则的度数为　 　．
13．（2024八下·临洮期末）下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数 105 102 108 108
方差 2.7 2 4.7 2
根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是　 　．
14．（2024八下·临洮期末）如图，这是一次函数的图象，则关于的不等式的解集是　 　．
15．（2024八下·临洮期末）若弹簧的总长度是所挂重物的一次函数，图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是　 　cm．
16．（2024八下·临洮期末）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边，上，且，则的最小值是　 　．
17．（2024八下·临洮期末）计算：．
18．（2024八下·临洮期末）如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形．
19．（2024八下·临洮期末）如图，挂衣架可以近似看成一个等腰三角形，记为．若，，求衣架宽的长．
20．（2024八下·临洮期末）已知y是x的一次函数，且当时，，当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点，在该一次函数的图象上，比较m，n的大小．
21．（2024八下·临洮期末）如图，在中，，，，分别是，，与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：．
22．（2024八下·临洮期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．
（2）求DF的长．
23．（2024八下·临洮期末）如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）若，，，求剩余部分的面积．
24．（2024八下·临洮期末）英才中学2024年4月举行了航空航天知识竞赛，分A，B两组，各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀，6分及以上为及格）进行整理和分析如下：
B组20名学生的测试成绩如下：10，5，7，9，6，8，5，7，9，6，10，8，10，7，6，6，8，8，7，8．
两组数据分析表
A组 B组
平均数 7.4 7.5
众数 7 a
中位数 b 7.5
及格人数百分比 c 90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）如果B组有600名学生参加测试，估计该组成绩为优秀的学生有多少人．
25．（2024八下·临洮期末）为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示：
　 进价/（元/支） 售价/（元/支）
康乃馨 6 9
百合花 8 12
已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？
26．（2024八下·临洮期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．
（1）求证：2EF=CD；
（2）当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论．
27．（2024八下·临洮期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点．
（1）点C的坐标是________；
（2）D是线段上的一动点，以为边向右作正方形．
①若D是线段的中点，求点F的坐标；
②连接，若，请直接写出点F的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴，则，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的二次根式有意义的条件：a，即可求出的范围.
2．【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：．
【分析】
根据题意卡通橡皮的总费用为：； 笔记本的总费用为 3x ；列出函数关系式即可解答．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴在中，，
在中，，
故答案为：B．
【分析】
由，可判断， 于是根据勾股定理先求出，再求出即可解答．
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据矩形的性质：对角线相等，可得，解答即可．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、为无理数，故A不符合题意；
B、为无理数，故B不符合题意；
C、为无理数，故C不符合题意；
D、为有理数，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式的乘法法则进行计算， 乘积为有理数的条件是被开方数是为完全平方数；再判定含有开不尽方的数都是无理数，即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数中y随x的增大而减少，
∴k﹤0，
在中，
∵2﹥0，k﹤0，
∴直线经过第一、三、四象限；
故答案为：D．
【分析】
根据正比例函数的性质可得k﹤0，于是由2﹥0，k﹤0可得直线经过第一、三、四象限.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；实数运算的实际应用
【解析】【解答】、∵，
∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故C符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此D不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：三角形三边满足 a2 + b2= c2 即可判断该三角形构成直角三角形，每个选项逐一计算即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是假命题，故A不符合题意；
、有一个角是直角的四边形不能判定为矩形，原命题是假命题，故B不合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，故C合题意；
、邻边相等的四边形不能判定为菱形，原命题是假命题，故D不合题意；
故答案为：．
【分析】
根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断A；根据有一个角是直角的平行四边形为矩形可判断B；根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判断C；根据邻边相等的平行四边形为菱形，可判断D；逐项判断即可解答．
9．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵六位小讲解员原来的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15，
∴年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据为10，12，12，13，14，
∴新得到的年龄数据与原年龄数据相比，会改变的是平均数、中位数和方差，不会改变的是众数，仍然为12．
故答案为：B．
【分析】
平均数平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）原数据中位数为12.5，缺少15时中位数变为了12；；方差是用来衡量一组数据波动大小的量；众数是一组数据中出现次数最多的数这组数据变化前后众数都是12；即可得不变的时众数，求解即可．
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵四个顶点的坐标分别为，，，，
平行四边形的中心的坐标是，即为；
直线过点，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】
先求得平行四边形对角线的交点坐标，然后利用待定系数法代入点，求解即可．
11．【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】，
故答案为：2024.
【分析】利用二次根式的性质化简求解即可.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵丙、丁的平均分比甲和乙的平均分高，且平均分相同，丁的方差比丙的方差小，
∴成绩好且发挥稳定的是丁同学．
故答案为：丁．
【分析】
根据方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差越小的越稳定，求解即可．
14．【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知：在点（0，2）左边部分图像满足不等式
∴，
故答案为：．
【分析】
根据在点（0，2）左边部分图像满足不等式，即可得x的取值范围．
15．【答案】10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为，
把、代入，
得
解得
一次函数的解析式为，
当时，，
即不挂重物时，弹簧的长度是10cm．
故答案为：10．
【分析】
利用待定系数法设一次函数的解析式为，代入（5，12.5）、（20，20）两点即可求得一次函数的解析式为y=0.5x+10，当不挂重物时，即x=0，代入解析式求出对应的函数值即可弹簧的长度．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，如图所示：
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴由垂线段最短可知当时，最小，即EF最小；
∵为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质可得和都为等边三角形，即可得到，，因而利用SAS可证明，即得出，．利用角度的和差可得，即可证为等边三角形，得出，由垂线段最短可知当时，最小，此时最小；此时，结合含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式乘除法法则：乘法 ；除法可先计算乘除，再计算加减即可求解．
18．【答案】证明：∵，，分别是，，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即由，，分别是，，的中点，可得，，根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求证．
19．【答案】解：如图，过作于点，
∵
∴
∵，AC=40cm
∴，
在中，由勾股定理得：
∴，
答：衣架宽的长．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过作于点，由等腰三角形的“三线合一”得；再根据角所对直角边是斜边的一半得，最后由勾股定理即可求解AD，进而可计算AB得长．
20．【答案】（1）解：设该一次函数的解析式为，
分别把，；，代入得：
，
解得：，
∴该一次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【分析】
（1） 根据待定系数法：设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可解答；
（2）根据一次函数的性质：，随的增大而增大，即可求解．
（1）解：设该一次函数的解析式为，
分别把，；，代入得：
，
解得：，
所以，该一次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
21．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵分别平分，
∴
∴．
∴，
同理：，
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得，由角平分线得定义得从而可得，同理可得，根据矩形的判定有三个直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，利用矩形的性质即可证明．
22．【答案】解：（1）∠ADC是直角，理由如下：
∵DE是△ADC的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC2＝(1+4)2=25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC是直角；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中：∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别计算出AD2＝20，CD2＝5，结合已知条件计算AC2＝25，即可利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）由AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°即可根据垂直平分线的判定得AD垂直平分BC，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
23．【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
【知识点】二次根式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（）剩余部分面积等于长方形面积减去四个小正方形面积即可解答；
（）把，，的值代入计算即可求解.
（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
24．【答案】（1）8；；
（2）解：（人）；
答：估计该组成绩为优秀的学生有300人．
【知识点】统计表；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）组数据中8出现的次数最多，
∴，
组中第10个和第11个数据为7和8，
∴，
；
故答案为：8；；；
【分析】
（1）根据众数的定义出现次数最多的为8可求出a的值；本组数据为20个，因而中位数为第10个和第11个数据的平均数，即可求出b的值，利用及格人数除以总数求出百分比，可得到的值；
（2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
（1）解：组数据中8出现的次数最多，
∴，
组中第10个和第11个数据为7和8，
∴，
；
故答案为：8；；；
（2）解：（人）；
答：估计该组成绩为优秀的学生有300人．
25．【答案】（1）解：根据题意得：，
与的函数表达式为；
（2）解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的，
，
解得，
，
y 随x增大而减小
当时，最大，最大值为（元），
答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据总利润=每支康乃馨的利润康乃馨数量每支百合的利润百合的数量即可列出函数解析式；
（2）根据购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的列不等式可得，再根据一次函数的性质，y 随x增大而减小，可得当时，最大，即可求出最大值．
（1）解：根据题意得：，
与的函数表达式为；
（2）解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的，
，
解得，
，
当时，最大，最大值为（元），
答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元．
26．【答案】（1）证明：∵点F是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴BF=DF ，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CD，即2EF=CD；
（2）证明：当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵2EF=CD，2EF=BC，
∴CD=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形，
∵EF⊥BC，EF//CD，
∴CD⊥BC即∠BCD=90度，
∴ ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD性质得出BF=DF ，根据点E是BC的中点，得出EF是△BCD的中位线即可根据三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半得到结论 ；
（2）先证CD=BC，得出 ABCD是菱形，再由CD⊥BC，可得 ABCD是矩形，即可解答．
（1）证明：∵点F是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴BF=DF ，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF//CD，EF=CD，即2EF=CD；
（2）证明：当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，
∵2EF=CD，2EF=BC，
∴CD=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形，
∵EF⊥BC，EF//CD，
∴CD⊥BC即∠BCD=90度，
∴ ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
27．【答案】（1）；
（2）解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
由（1）可知，，，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∵轴，，轴，
∴，
∵，
∴，
在和
，
∴，
同理可得：
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴；
②．
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图，连接、、，
∵直线：交轴于点，交轴于点，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵点是点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）②如图，连接，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，，
又∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
由①可知，在中，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，，
由①得：，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）根据直线：交轴于点，交轴于点，可确定，，再根据点是点关于直线的对称点， 得到垂直平分，利用垂直平分线得性质可得，可说明四边形是菱形；从而得出四边形是正方形，确定正方形的边长即可解答；
（2）①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，由点是的中点，先得出，然后利用一线三垂直模型，结合正方形得性质即可证明，再求出和即可得到F的坐标；
②连接，，利用正方形的性质证明，得出，得到，根据等腰直角三角形的性质计算出AM=1；结合①中全等得到的边长关系计算出CD，EM，OH，即可求解．
（1）解：如图，连接、、，
∵直线：交轴于点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∵点是点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
由（1）可知，，，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
，
∵轴，，轴，
∴，
∵，
∴，
在和和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴；
②如图，连接，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，，
又∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
由①可知，在中，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，，
由①得：，，
∴，
∴．
1 / 1甘肃省定西市临洮县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·临洮期末）使函数有意义的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴，则，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的二次根式有意义的条件：a，即可求出的范围.
2．（2024八下·临洮期末）为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故答案为：．
【分析】
根据题意卡通橡皮的总费用为：； 笔记本的总费用为 3x ；列出函数关系式即可解答．
3．（2024八下·临洮期末）如图，，且，，则线段的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴在中，，
在中，，
故答案为：B．
【分析】
由，可判断， 于是根据勾股定理先求出，再求出即可解答．
4．（2024八下·临洮期末）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据矩形的性质：对角线相等，可得，解答即可．
5．（2024八下·临洮期末）下列各数中，与的积为有理数的是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、为无理数，故A不符合题意；
B、为无理数，故B不符合题意；
C、为无理数，故C不符合题意；
D、为有理数，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式的乘法法则进行计算， 乘积为有理数的条件是被开方数是为完全平方数；再判定含有开不尽方的数都是无理数，即可得出答案．
6．（2024八下·临洮期末）已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数中y随x的增大而减少，
∴k﹤0，
在中，
∵2﹥0，k﹤0，
∴直线经过第一、三、四象限；
故答案为：D．
【分析】
根据正比例函数的性质可得k﹤0，于是由2﹥0，k﹤0可得直线经过第一、三、四象限.
7．（2024八下·临洮期末）以下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；实数运算的实际应用
【解析】【解答】、∵，
∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故C符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此D不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：三角形三边满足 a2 + b2= c2 即可判断该三角形构成直角三角形，每个选项逐一计算即可.
8．（2024八下·临洮期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．邻边相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是假命题，故A不符合题意；
、有一个角是直角的四边形不能判定为矩形，原命题是假命题，故B不合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，故C合题意；
、邻边相等的四边形不能判定为菱形，原命题是假命题，故D不合题意；
故答案为：．
【分析】
根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断A；根据有一个角是直角的平行四边形为矩形可判断B；根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判断C；根据邻边相等的平行四边形为菱形，可判断D；逐项判断即可解答．
9．（2024八下·临洮期末）安定区博物馆2023年暑假决定延时开放，并在中小学生中选拔了六位小讲解员，他们的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15，但年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据与原年龄数据相比，不变的是（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵六位小讲解员原来的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15，
∴年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据为10，12，12，13，14，
∴新得到的年龄数据与原年龄数据相比，会改变的是平均数、中位数和方差，不会改变的是众数，仍然为12．
故答案为：B．
【分析】
平均数平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）原数据中位数为12.5，缺少15时中位数变为了12；；方差是用来衡量一组数据波动大小的量；众数是一组数据中出现次数最多的数这组数据变化前后众数都是12；即可得不变的时众数，求解即可．
10．（2024八下·临洮期末）四个顶点的坐标分别为，，，，若直线经过该对角线的交点，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵四个顶点的坐标分别为，，，，
平行四边形的中心的坐标是，即为；
直线过点，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】
先求得平行四边形对角线的交点坐标，然后利用待定系数法代入点，求解即可．
11．（2024八下·临洮期末）化简　 　
【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】，
故答案为：2024.
【分析】利用二次根式的性质化简求解即可.
12．（2024八下·临洮期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．（2024八下·临洮期末）下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数 105 102 108 108
方差 2.7 2 4.7 2
根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是　 　．
【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵丙、丁的平均分比甲和乙的平均分高，且平均分相同，丁的方差比丙的方差小，
∴成绩好且发挥稳定的是丁同学．
故答案为：丁．
【分析】
根据方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差越小的越稳定，求解即可．
14．（2024八下·临洮期末）如图，这是一次函数的图象，则关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知：在点（0，2）左边部分图像满足不等式
∴，
故答案为：．
【分析】
根据在点（0，2）左边部分图像满足不等式，即可得x的取值范围．
15．（2024八下·临洮期末）若弹簧的总长度是所挂重物的一次函数，图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是　 　cm．
【答案】10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为，
把、代入，
得
解得
一次函数的解析式为，
当时，，
即不挂重物时，弹簧的长度是10cm．
故答案为：10．
【分析】
利用待定系数法设一次函数的解析式为，代入（5，12.5）、（20，20）两点即可求得一次函数的解析式为y=0.5x+10，当不挂重物时，即x=0，代入解析式求出对应的函数值即可弹簧的长度．
16．（2024八下·临洮期末）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边，上，且，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，如图所示：
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴由垂线段最短可知当时，最小，即EF最小；
∵为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质可得和都为等边三角形，即可得到，，因而利用SAS可证明，即得出，．利用角度的和差可得，即可证为等边三角形，得出，由垂线段最短可知当时，最小，此时最小；此时，结合含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
17．（2024八下·临洮期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式乘除法法则：乘法 ；除法可先计算乘除，再计算加减即可求解．
18．（2024八下·临洮期末）如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，，分别是，，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即由，，分别是，，的中点，可得，，根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求证．
19．（2024八下·临洮期末）如图，挂衣架可以近似看成一个等腰三角形，记为．若，，求衣架宽的长．
【答案】解：如图，过作于点，
∵
∴
∵，AC=40cm
∴，
在中，由勾股定理得：
∴，
答：衣架宽的长．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过作于点，由等腰三角形的“三线合一”得；再根据角所对直角边是斜边的一半得，最后由勾股定理即可求解AD，进而可计算AB得长．
20．（2024八下·临洮期末）已知y是x的一次函数，且当时，，当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点，在该一次函数的图象上，比较m，n的大小．
【答案】（1）解：设该一次函数的解析式为，
分别把，；，代入得：
，
解得：，
∴该一次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【分析】
（1） 根据待定系数法：设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可解答；
（2）根据一次函数的性质：，随的增大而增大，即可求解．
（1）解：设该一次函数的解析式为，
分别把，；，代入得：
，
解得：，
所以，该一次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
21．（2024八下·临洮期末）如图，在中，，，，分别是，，与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵分别平分，
∴
∴．
∴，
同理：，
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得，由角平分线得定义得从而可得，同理可得，根据矩形的判定有三个直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，利用矩形的性质即可证明．
22．（2024八下·临洮期末）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．
（2）求DF的长．
【答案】解：（1）∠ADC是直角，理由如下：
∵DE是△ADC的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC2＝(1+4)2=25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC是直角；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中：∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别计算出AD2＝20，CD2＝5，结合已知条件计算AC2＝25，即可利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）由AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°即可根据垂直平分线的判定得AD垂直平分BC，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
23．（2024八下·临洮期末）如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）若，，，求剩余部分的面积．
【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
【知识点】二次根式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（）剩余部分面积等于长方形面积减去四个小正方形面积即可解答；
（）把，，的值代入计算即可求解.
（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
24．（2024八下·临洮期末）英才中学2024年4月举行了航空航天知识竞赛，分A，B两组，各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀，6分及以上为及格）进行整理和分析如下：
B组20名学生的测试成绩如下：10，5，7，9，6，8，5，7，9，6，10，8，10，7，6，6，8，8，7，8．
两组数据分析表
A组 B组
平均数 7.4 7.5
众数 7 a
中位数 b 7.5
及格人数百分比 c 90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）如果B组有600名学生参加测试，估计该组成绩为优秀的学生有多少人．
【答案】（1）8；；
（2）解：（人）；
答：估计该组成绩为优秀的学生有300人．
【知识点】统计表；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）组数据中8出现的次数最多，
∴，
组中第10个和第11个数据为7和8，
∴，
；
故答案为：8；；；
【分析】
（1）根据众数的定义出现次数最多的为8可求出a的值；本组数据为20个，因而中位数为第10个和第11个数据的平均数，即可求出b的值，利用及格人数除以总数求出百分比，可得到的值；
（2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
（1）解：组数据中8出现的次数最多，
∴，
组中第10个和第11个数据为7和8，
∴，
；
故答案为：8；；；
（2）解：（人）；
答：估计该组成绩为优秀的学生有300人．
25．（2024八下·临洮期末）为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示：
　 进价/（元/支） 售价/（元/支）
康乃馨 6 9
百合花 8 12
已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：根据题意得：，
与的函数表达式为；
（2）解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的，
，
解得，
，
y 随x增大而减小
当时，最大，最大值为（元），
答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据总利润=每支康乃馨的利润康乃馨数量每支百合的利润百合的数量即可列出函数解析式；
（2）根据购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的列不等式可得，再根据一次函数的性质，y 随x增大而减小，可得当时，最大，即可求出最大值．
（1）解：根据题意得：，
与的函数表达式为；
（2）解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的，
，
解得，
，
当时，最大，最大值为（元），
答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元．
26．（2024八下·临洮期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．
（1）求证：2EF=CD；
（2）当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵点F是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴BF=DF ，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CD，即2EF=CD；
（2）证明：当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵2EF=CD，2EF=BC，
∴CD=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形，
∵EF⊥BC，EF//CD，
∴CD⊥BC即∠BCD=90度，
∴ ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD性质得出BF=DF ，根据点E是BC的中点，得出EF是△BCD的中位线即可根据三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半得到结论 ；
（2）先证CD=BC，得出 ABCD是菱形，再由CD⊥BC，可得 ABCD是矩形，即可解答．
（1）证明：∵点F是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴BF=DF ，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF//CD，EF=CD，即2EF=CD；
（2）证明：当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，
∵2EF=CD，2EF=BC，
∴CD=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形，
∵EF⊥BC，EF//CD，
∴CD⊥BC即∠BCD=90度，
∴ ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
27．（2024八下·临洮期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点．
（1）点C的坐标是________；
（2）D是线段上的一动点，以为边向右作正方形．
①若D是线段的中点，求点F的坐标；
②连接，若，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
由（1）可知，，，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∵轴，，轴，
∴，
∵，
∴，
在和
，
∴，
同理可得：
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴；
②．
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图，连接、、，
∵直线：交轴于点，交轴于点，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵点是点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）②如图，连接，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，，
又∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
由①可知，在中，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，，
由①得：，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）根据直线：交轴于点，交轴于点，可确定，，再根据点是点关于直线的对称点， 得到垂直平分，利用垂直平分线得性质可得，可说明四边形是菱形；从而得出四边形是正方形，确定正方形的边长即可解答；
（2）①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，由点是的中点，先得出，然后利用一线三垂直模型，结合正方形得性质即可证明，再求出和即可得到F的坐标；
②连接，，利用正方形的性质证明，得出，得到，根据等腰直角三角形的性质计算出AM=1；结合①中全等得到的边长关系计算出CD，EM，OH，即可求解．
（1）解：如图，连接、、，
∵直线：交轴于点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∵点是点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
由（1）可知，，，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
，
∵轴，，轴，
∴，
∵，
∴，
在和和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴；
②如图，连接，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，，
又∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
由①可知，在中，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，，
由①得：，，
∴，
∴．
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