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2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷
一、单选题
1．若 的运算结果为整式，则“O”中的式子可能为( )
A. B. C. D.
2．北斗系统是由卫星、卫星和卫星三种轨道卫星组成的混合导航系统，其中，卫星的轨道高度约为21500000米，将21500000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3．计算的结果是 ( )
A. B. C. D.
4．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，.下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤.问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重7两：一立方寸的石重6两，一块内部含有玉的正方体石头，总重11斤（古代1斤两），体积为27立方寸.问玉、石各重多少？设玉重x两，石重y两，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
7．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算.例如：.则方程的解是( )
A. B. C. D.
8．数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径、小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接,作的垂直平分线交于点D,交于点C,测出,,则该圆形工件的半径为( )
A. B. C. D.
9．如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是( )
A. B. C. D.
10．如图(1)，在正方形中，点E是对角线上 一动点，点F是上的点，且. 设，，已知y与x之间的函数关系图象如图(2)所示，点是图象的最低点，那么m的值为 ( )
A. B. C. D.2
11．如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，则的大小为( )
A. B. C. D.
12．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知代数式，其中x为的小数部分，则A的值为_______.
14．有四张完全一样正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是______.
15．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，在内作等边三角形，使它的一边在x轴上，一个顶点在边上，作出的第1个等边三角形是，第2个等边三角形是，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于__.
16．如图,直线与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C在线段上,将沿所在直线折叠后,点A恰好落在y轴上点D处,则点C的坐标为______.
三、解答题
17．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便.
解析：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为.
(1)请你用上述方法解方程组.
(2)猜想：关于x、y的方程组（是常数，）的解，并说明理由.
18．金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车 油箱容积：升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元.
分别求出这两款车的每千米行驶费用.
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元.问：每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用)
19．某校运动会田赛部分由A、B、C、D四个项目组成,学生可以任选一项参加.为了了解学生参与情况,进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)求A区域扇形圆心角的度数；
(3)已知每项比赛获奖取前3名,小丽和小杰都参加了A项目的比赛,小丽取得了第一名的好成绩,求小杰获奖的概率.
20．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离为1.3米，C、D、E在同一直线上，且.求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1米）.
21．如图，中，.将沿翻折，点B落到点D处，过点D作，交的延长线于点H，，垂足为点F，点M在线段上，，连接.
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若.
①求证：；
②求的长度.
22．如图，是的直径，点C是圆上的一点，于点D，交于点F，连接，若平分，过点F作于点G交于点H.

(1)求证：是的切线；
(2)延长和交于点E，若，求的值；
(3)在(2)的条件下，求的值.
23．滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光.该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来.某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏.建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点D出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点F处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点M为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功.已知碗池边缘，均垂直地面，点N与点B关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线.
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点M，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围.
24．综合与实践：小华发现这么一类四边形，它们有一组对角之和为直角，小华将这类四边形命名为对余四边形.
性质判断
(1)若四边形是对余四边形，则与是否互余？_____（填“一定”或“不一定”）；
性质探究
(2)如图1， 在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D.求证：四边形是对余四边形；
(3)如图2， 在对余四边形中，，，，则线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由；
拓展应用
(4)如图3， 在对余四边形中， ， 对角线边.若.，，直接写出的长.
参考答案
1．答案：C
解析：A.，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B.，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C.，是整式，故本选项符合题意；
D.是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：C.
2．答案：B
解析：.
故选：B.
3．答案：A
解析：m个相加的和为，n个4相乘是，那么原式
故选：A.
4．答案：C
解析：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．答案：D
解析：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④,
故选D.
6．答案：A
解析：设玉重x两，石重y两，
由 “总重11斤”，得，
由“体积为27立方寸”，得，
∴列方程组为，
故选：A.
7．答案：C
解析：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C.
8．答案：C
解析：∵是线段的垂直平分线,
∴直线经过圆心,设圆心为O,连接.
中,,
根据勾股定理得：
,即：
,
解得：；
故圆形工件的半径为,
故选：C.
9．答案：D
解析：∵正六边形，是正三角形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴正六边形的面积是，
故选：D.
10．答案：A
解析：由正方形的性质可知点A，C关于直线对称，连接，，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
当点E在上时，的值最小，此时y的值最小，
点，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
，
，
，
故选：A.
11．答案：B
解析：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
12．答案：D
解析：在中，
当，，
解得，，
，，
当时，，
原抛物线与y轴交点坐标为，
翻折后与y轴的交点坐标为，
如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点，
把代入中，得，
抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：，
翻折后的部分解析式为：，
当直线与抛物线只有一个交点C时，
直线与图象有3个交点，
把代入中，
得到方程有两个相等的实数根，
整理得，
，解得，
当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是.
故选：D.
13．答案：
解析：
，
∵，x为的小数部分，
∴，
∴，
故答案为：.
14．答案：
解析：列表如下：
中 考 必 胜
中 （中，中） （中，考） （中，必） （中，胜）
考 （考，中） （考，考） （考，必） （考，胜）
必 （必，中） （必，考） （必，必） （必，胜）
胜 （胜，中） （胜，考） （胜，必） （胜，胜）
共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于，
∴第2024个等边三角形的边长等于.
故答案为：.
16．答案：
解析：由折叠可得,,
∵直线,当时,,当时,,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
设,
则,
∴,
在中,,
∴,
解得,
∴点C的坐标为,
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)，理由见解析
解析：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
(2)解析：猜想关于x、y的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是.
18．答案：(1)新能源车的每千米行驶费用为元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元,新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时,买新能源车的年费用更低
解析：(1)由表格可得,
新能源车的每千米行驶费用为：(元),
即新能源车的每千米行驶费用为元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元,
,
解得：,
经检验,是原分式方程的解,
,,
答：燃油车的每千米行驶费用为元,新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为,
由题意得：,
解得,
答：当每年行驶里程大于时,买新能源车的年费用更低.
19．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)样本的容量为,
则参加B项目的人数为.
补全统计图如下：
(2)A区域扇形圆心角的度数为；
(3)根据题意可知A项目有5个人参赛,小丽已获得第一名,所以小杰获奖的概率是.
20．答案：
解析：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴安装热水器的铁架水平横管的长度约为.
21．答案：(1)见解析
(2)①见解析；②
解析：，沿翻折，点B落到点D处，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
(2)①证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
②过点A作于点N，
由折叠的性质可知，，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
.
22．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)如图1，连接，

∵是的半径，
∴是的切线；
(2)∵，
设，则，
∴；
(3)由(2)知：，
∴
∴，
∴.
23．答案：(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米
(2)①；②
解析：∵点N与点B关于原点对称，米，米，
∴米，
∴米，
∵米，
∴，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
将代入，则，
解得：，
则“U”型碗池最低点到地面的距离为米；
(2)解析：①由(1)知“U”型碗池抛物线解析式为，
∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，
设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，
过点M作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵点M为斜坡的中点，
∴，即，
∴米，米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
②由①知，
∵，
根据题意：，
解得：；
∴若此次挑战成功，b的取值范围为.
24．答案：(1)不一定
(2)见解析
(3)
(4)12
解析：四边形是对余四边形，
或，
四边形的内角和为，
当时，，
或，
故答案为：不一定.
(2)证明：连接，
是的直径，点A、B、C在上，
，，
，
，
即，
四边形是对余四边形，
(3)解析：，
理由：，，
将绕着点B逆时针旋转得到，连接，如图，
则，，
，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
(4)解析： ， 对角线边，
，
，
将绕点A顺时针旋转得到，连接，如图，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
.

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