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2025 年高新区学考模拟测试数学试题2025.04
本试题分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷共 2 页，满分为 40 分；第 II 卷共 4 页，满分为 110 分．本试题共 6 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.-2025 的绝对值是（ ）
A．-2025 B．2025 C． D．
2.我国古代数学家利用 “牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图乙所示的几何体是可以形成 “牟合方盖” 的一种模型，它的左视图是（ ）
3．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为 0.00000014 米，将数据 “0.00000014” 用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10 8 B．1.4×10 7 C．0.14×10 6 D．1.4×10 9
4.下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
5．计算a2÷·b的结果是（ ）
A．a2 B． C．a2b2 D．2a2b2
6．某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G 的方向竖直向下，支持力 F1 的方向与斜面垂直，摩擦力 F2 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 α=31.5°，则摩擦力 F2 与重力 G 方向的夹角 β 的度数为（ ）
A．148.5° B．131.5° C．121.5° D．58.5°
7．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光耀的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同，若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有 “指南针” 的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.定义新运算：m*n=m2 2m 3n，例如：3*4=32 2×3 3×4= 9，若关于 x 的一元二次方程x*a=3
有实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a> B．a≥ C．a> D．a≥
9．如图，正方形 ABCD，连接 BD，点 E 为 BD 上一点，连接 CE，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到线段 CF，连接 EF 交 CD 于点 G，若=3，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
10．对于任意的实数 m、n，定义符号 max {m，n} 的含义为 m，n 之间的最大值，如 max {3，2}=3，max {-1，2}=2．定义一个新函数：y=max( x2+x+,∣x∣)，则y≥3时，x 的取值范围为（ ）
A．x≤ 3或x≥1 B．x≤ 1或1≤x≤3 C． -1 ≤x≤3 D．x≤-3 或 x≥3
二、填空题:（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11．因式分解：4m2 25= ．
12．大自然中有许多小动物都是 “小数学家”，如图 1 是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图 2 是由 7 个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图 2 所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为 ．
13.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用 10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图。则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为S2甲 S2乙（填"<"或">")
14．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 y =﹣x2，正常水位时水面宽 AB 为 24m，当水位上升 1.5m 时水面宽 CD 为 ．
15. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形 ABCD，连接 AC，探究tan∠ACD的值为 ．
三、解答题:（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．(本题满分 7 分) 计算： 2COS30°+() 2+∣ ∣ (π 3.14)0
17． (本题满分 7 分) 解不等式组：，并写出它的所有正整数解
18． (本题满分 7 分)如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且BE =BF．求证：DE = DF．
19．(本题满分 8 分) 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称 “走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称 “高絙”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有 “跳丸剑之挥霍，走索上而相逢” 的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图 1），杂技演员所在位置点 C 到 AD 所在直线的距离 CH =3m，BC =15m，此时∠DAC =36.87°（如图 2），当杂技演员走至钢丝中点 F 时，恰好∠FAD = ∠FBE =60°（如图 3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，≈1.73）
（1）求 AC 的长；
（2）求杂技演员从点 C 走到点 F，下降的高度（结果精确到 0.1m）．
20.(本题满分 8 分) 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上两点，过点 C 的切线垂直于 AD 的延长线，垂足为点 E，AC，BD 相交于点 F．
（1）求证：点 C 是BD的中点；
（2）若 BD =4，DC =，求 AD 的长．
21．(本题满分 9 分)【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣．数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取 10 名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 70 分，用 x 表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级 10 名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级 10 名学生的竞赛成绩在 B 组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a = ，b = ，m = ；
（2）请计算扇形统计图中 “B 组” 所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有 800 人，八年级学生有 1000 人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为 “优秀”（x≥90）的总共有多少人？
22．(本题满分 10 分) 某校在商场购进 A、B 两种品牌的篮球，购买 A 品牌篮球花费了 2500 元，购买 B 品牌篮球花费了 2000 元，且购买 A 品牌篮球数量是购买 B 品牌篮球数量的 2 倍，已知购买一个 B 品牌篮球比购买一个 A 品牌篮球多花 30 元．
（1）问购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进 A、B 两种品牌篮球共 50 个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A 品牌篮球售价比第一次购买时提高了 8%，B 品牌篮球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果该校此次购买 A、B 两种品牌篮球的总费用不超过 3060 元，那么该校此次最多可购买多少个 B 品牌篮球？
23．(本题满分 10 分)
【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂，如图，即 FA×L1 =FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点 O 在竖直平面内转动，支点 O 距左端 L1 =1m，距右端 L2 =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为 80N 的物体 A．
（1）若在杠杆右端挂重物 B，杠杆在水平位置平衡时，重物 B 所受拉力为 N．
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物 B 的质量变化时，L2 的长度随之变化．设重物 B 的质量为 xN，L2 的长度为 y cm．则：
①y 关于 x 的函数解析式是 ．
②完成下表：
a= ，b= 。
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移 4 个单位长度，与原来的图象组成一个新的图象，记为 L．若点 A 的坐标为（2，0），在 L 上存在点Q，使得S△OAQ=9．请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
24．(本题满分 12 分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）过点（1，3），交 y 轴于 C 点，交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），连接 AC，BC，
tan∠CBA=．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D，点 Q 是抛物线对称轴上的一动点，连接 PQ，BQ，当线段 PD 长度取得最大值时，求 PQ +BQ 的最小值；
（3）在（2）中线段 PD 长度取得最大值的条件下，连接 PA，将抛物线沿射线 CB 方向平移得到新抛物线 y′，使得新抛物线 y′经过点 B，且与直线 CB 相交于另一点 M，点 N 为新抛物线 y' 上的一个动点，当∠PAC +∠BMN =45°， 请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标．
25．(本题满分 12 分) 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．
操作发现
（1）①如图 1 构造一个四边形 ABCD，使得 AB =AD，BC =DC，那么四边形 ABCD “垂美四边形”．（填 “是” 或 “不是”）
②如图 2，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE．那么四边形 BCGE 是 “垂美四边形” 吗？请说明理由．
拓展探究
（2）如图 3，四边形 ABCD 是 “垂美四边形”，则两组对边 AB、CD 与 BC、AD 之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图 4，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°， AC =3，BC =4．P、Q 分别是射线 AB，AC 上一个动点，同时从点 A 出发，分别沿 AB 和 AC 方向以每秒 5 个单位长度和每秒 21 个单位长度的速度匀速运动，运动时间为 t 秒，连接 CP、BQ、PQ、PC 与 BQ 交于点 O，当以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是 “垂美四边形” 时，直接写出 t 的值．
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.-2025 的绝对值是（ B ）
A．-2025 B．2025 C． D．
2.我国古代数学家利用 “牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图乙所示的几何体是可以形成 “牟合方盖” 的一种模型，它的左视图是（ B ）
3．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为 0.00000014 米，将数据 “0.00000014” 用科学记数法表示为（ B ）
A．1.4×10 8 B．1.4×10 7 C．0.14×10 6 D．1.4×10 9
4.下列数学符号中，是轴对称图形的是（ C ）
5．计算a2÷·b的结果是（ C ）
A．a2 B． C．a2b2 D．2a2b2
6．某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G 的方向竖直向下，支持力 F1 的方向与斜面垂直，摩擦力 F2 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 α=31.5°，则摩擦力 F2 与重力 G 方向的夹角 β 的度数为（ C ）
A．148.5° B．131.5° C．121.5° D．58.5°
7．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光耀的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同，若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有 “指南针” 的概率是（ A ）
A． B． C． D．
8.定义新运算：m*n=m2 2m 3n，例如：3*4=32 2×3 3×4= 9，若关于 x 的一元二次方程x*a=3
有实数根，则 a 的取值范围是（ D ）
A．a> B．a≥ C．a> D．a≥
9．如图，正方形 ABCD，连接 BD，点 E 为 BD 上一点，连接 CE，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到线段 CF，连接 EF 交 CD 于点 G，若=3，则的值为（ A ）
A． B． C． D．1
10．对于任意的实数 m、n，定义符号 max {m，n} 的含义为 m，n 之间的最大值，如 max {3，2}=3，max {-1，2}=2．定义一个新函数：y=max( x2+x+,∣x∣)，则y≥3时，x 的取值范围为（ A ）
A．x≤ 3或x≥1 B．x≤ 1或1≤x≤3 C． -1 ≤x≤3 D．x≤-3 或 x≥3
二、填空题:（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．）
11．因式分解：4m2 25= (2m+5)(2m﹣5) ．
12．大自然中有许多小动物都是 “小数学家”，如图 1 是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图 2 是由 7 个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图 2 所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为 ．
13.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用 10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图。则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为S2甲 ＞ S2乙（填"<"或">")
14．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 y =﹣x2，正常水位时水面宽 AB 为 24m，当水位上升 1.5m 时水面宽 CD 为 12 ．
15. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形 ABCD，连接 AC，探究tan∠ACD的值为 +1 ．
三、解答题:（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．(本题满分 7 分) 计算： 2COS30°+() 2+∣ ∣ (π 3.14)0
=2﹣+4+﹣1
=2+3
17． (本题满分 7 分) 解不等式组：，并写出它的所有正整数解
解不等式①可得，x≥﹣2
解不等式②可得，x＜3
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3
所有正整数解有：1、2 .
18． (本题满分 7 分)如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且BE =BF
（2）过点 F 作FI⊥AD，垂足为 I，
∵点F 为钢丝中点，AC＝5m，BC＝15m，
∴AF=×(5+15)=10m
在 Rt△FAI 中，∠FAD＝60°, ∴AI＝AF cos60 °= 10×=5m
在 Rt△ACH 中，CH＝3m， ∠DAC＝36.87°
∴AH=≈4（m）
∴HI＝Al﹣AH＝5﹣4 ＝1（m）
20.(本题满分 8 分) 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上两点，过点 C 的切线垂直于 AD 的延长线，垂足为点 E，AC，BD 相交于点 F．
（1）求证：点 C 是BD的中点；
（2）若 BD =4，DC =，求 AD 的长．
证明：连接 OC 交 BD 于 G
∵CE 切圆于 C
∴半径 OC⊥CE
∵AE⊥CE，
∴OC∥AE
∴∠OCA= ∠EAC
∵OA＝OC
∴∠OCA = ∠OAC
∴∠EAC= ∠OAC
∴CD =BC
∴C 是BD的中点
（2）解：连接 BC
∵AB 为直径
∴ ∠ACB=90°
∵ ∠EAC= ∠OAC，且∠CDB = ∠OAC
∴ ∠CDB = ∠EAC
∵ ∠DCA = ∠DAC
∴△CDF∽△CAD
∴CD2＝CF ·CA
∴CF=1
∵ ∠EAC= ∠OAC
∴BC=DC= 5
在 Rt△BCF 中，FB2＝FC2+BC2
∴FB=6
21．(本题满分 9 分)【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣．数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取 10 名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 70 分，用 x 表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级 10 名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级 10 名学生的竞赛成绩在 B 组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a = ，b = ，m = ；
（2）请计算扇形统计图中 “B 组” 所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有 800 人，八年级学生有 1000 人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为 “优秀”（x≥90）的总共有多少人？
（1）答案为：88，87，40；
（2）扇形统计图中“B 组 ”所在扇形的圆心角的度数为：360° ×40% ＝144°;
（3）八年级学生数学文化知识较好
理 由 ：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高 ，所以八年级学生数学文化知识较好
（4）800× +1000×40% ＝640（人），
答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有 640 人
22．(本题满分 10 分) 某校在商场购进 A、B 两种品牌的篮球，购买 A 品牌篮球花费了 2500 元，购买 B 品牌篮球花费了 2000 元，且购买 A 品牌篮球数量是购买 B 品牌篮球数量的 2 倍，已知购买一个 B 品牌篮球比购买一个 A 品牌篮球多花 30 元．
（1）问购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进 A、B 两种品牌篮球共 50 个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A 品牌篮球售价比第一次购买时提高了 8%，B 品牌篮球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果该校此次购买 A、B 两种品牌篮球的总费用不超过 3060 元，那么该校此次最多可购买多少个 B 品牌篮球？
解：（1）设购买一个 A 品牌的篮球需 x 元，则购买一个 B 品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得=2×
解得：x＝50，
经检验，x ＝50 是原方程的解，且符合题意，
则 x+30＝80.
答：购买一个 A 品牌的篮球需 50 元，购买一个 B 品牌的篮球需 80 元.
（2）设该校此次可购买 a 个 B 品牌篮球，则购进 A 品牌篮球（50﹣a）个
由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060
解得：a≤20
答：该校此次最多可购买 20 个 B 品牌篮球.
23．(本题满分 10 分)
【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂，如图，即 FA×L1 =FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点 O 在竖直平面内转动，支点 O 距左端 L1 =1m，距右端 L2 =0.4m，在杠杆左端悬挂重力为 80N 的物体 A．
（1）若在杠杆右端挂重物 B，杠杆在水平位置平衡时，重物 B 所受拉力为 N．
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物 B 的质量变化时，L2 的长度随之变化．设重物 B 的质量为 xN，L2 的长度为 y cm．则：
①y 关于 x 的函数解析式是 ．
②完成下表：
a= ，b= 。
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移 4 个单位长度，与原来的图象组成一个新的图象，记为 L．若点 A 的坐标为（2，0），在 L 上存在点Q，使得S△OAQ=9．请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
（1）答案为：200；
（2）①答案为y=；
②a = 4，b =
③函数图象如下所示：
（3）点 Q 的坐标为（，9）或（，9）.
24．(本题满分 12 分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）过点（1，3），交 y 轴于 C 点，交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），连接 AC，BC，
tan∠CBA=．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D，点 Q 是抛物线对称轴上的一动点，连接 PQ，BQ，当线段 PD 长度取得最大值时，求 PQ +BQ 的最小值；
（3）在（2）中线段 PD 长度取得最大值的条件下，连接 PA，将抛物线沿射线 CB 方向平移得到新抛物线 y′，使得新抛物线 y′经过点 B，且与直线 CB 相交于另一点 M，点 N 为新抛物线 y' 上的一个动点，当∠PAC +∠BMN =45°， 请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标．
（1）y=﹣x2+x+2
（2）3
（3）N（3，﹣2）或（，）
25．(本题满分 12 分) 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．
操作发现
（1）①如图 1 构造一个四边形 ABCD，使得 AB =AD，BC =DC，那么四边形 ABCD “垂美四边形”．（填 “是” 或 “不是”）
②如图 2，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE．那么四边形 BCGE 是 “垂美四边形” 吗？请说明理由．
拓展探究
（2）如图 3，四边形 ABCD 是 “垂美四边形”，则两组对边 AB、CD 与 BC、AD 之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图 4，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°， AC =3，BC =4．P、Q 分别是射线 AB，AC 上一个动点，同时从点 A 出发，分别沿 AB 和 AC 方向以每秒 5 个单位长度和每秒 21 个单位长度的速度匀速运动，运动时间为 t 秒，连接 CP、BQ、PQ、PC 与 BQ 交于点 O，当以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是 “垂美四边形” 时，直接写出 t 的值．
解：（1）①“AB＝AD，
∵点 A 在 BD 的垂直平分线上，
∴BC＝CD，
∵点 C 在 BD 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分 BD，
∴AC丄 BD，
∴四边形 ABCD 是“垂美四边形”
②四边形 BCGE 是“垂美四边形”
理由如下：设 CE 与 BG 交于点 H，
∵以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE
∴BA＝EA，AG＝AC， ∠EAB = ∠CAG＝90°, ∴ ∠CAE= ∠GAB＝90°+∠BAC
∴△ACE≌△AGB（SAS）
∴ ∠AEC= ∠ABG
∴ ∠HEB+∠HBE= ∠HEB+∠ABE+∠ABG = ∠HBE+∠ABE+∠AEC＝90 °
∴∠BHE＝90°, ∴CE⊥BG
∴四边形 BCGE 是“垂美四边形”
（2）DC2+AB2 ＝AD2+BC2
理由如下：
设 AC 与 BD 交于点 G，
∵四边形 ABCD 是“垂美四边形”
∴AC⊥BD
∠CFE= ∠AFC= ∠EFD＝90 °
∴DC2＝GD2+CG2，AD2＝GD2+GA2，AB2＝BG2+GA2，BC2＝GC2+GB2
∵DC2+AB2 ＝GD2+CG2+BG2+GA2 ，AD2+BC2 ＝GD2+GA2+GC2+GB2
∴DC2+AB2＝AD2+BC2
（3）t=或

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