资源简介

浙江省宁波市鄞州区鄞州第二实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·鄞州期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，
2．（2024七下·鄞州期末）已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·鄞州期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（　　）
A． B． C． D．8
4．（2024七下·鄞州期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
5．（2024七下·鄞州期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（　　）
A．0 B．3
C．1 或 D．0 或 1 或
6．（2024七下·鄞州期末）将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·鄞州期末）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2024七下·鄞州期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·鄞州期末）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（2024七下·鄞州期末）因式分解： 　 　
11．（2024七下·鄞州期末）某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是　 　
12．（2024七下·鄞州期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为　 　
13．（2024七下·鄞州期末）有三面镜子如图放置，其中镜子和相交所成的角，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则镜子和相交所成的角　 　．（结果用含的代数式表示）
14．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：　 　
15．（2024七下·鄞州期末）解方程及方程组
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若，解方程组：；
（4）因式分解：．
16．（2024七下·鄞州期末）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，按下列要求作图．
（1）作出图中的边上的高线（需要标出垂足点）；
（2）在图2中找出一格点，使A，，，所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）；
（3）直接写出（2）中你所作四边形的面积．
17．（2024七下·鄞州期末）项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务．
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示．
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求．
任务一 整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
任务二 展望：该工厂从 2023 年 8 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求．
18．（2024七下·鄞州期末）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
19．（2024七下·鄞州期末）【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点的面积为 32，求的长．
20．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵3+4＜8，不能够成三角形，该选项是错误；
B、已知两角夹边，即ASA，三角形就确定了，该选项是正确；
C、边边角不能确定三角形，该选项是错误；
D、一角一边不能确定三角形，该选项是错误．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可判断A选项；根据三角形全等判定定理“两边及夹角相等的两个三角形全等”可判断B选项；根据两边其其中一边得对角对应相等的两个三角形，只有当角是直角的时候，两个三角形才全等，可判断C选项；根据确定一个三角形至少需要三个条件可判断D选项.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由二直线平行，内错角相等推出，得到，由直角三角形两锐角互余求出，得到，由三角形得一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠AEQ的度数.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
乘积中不含 与 项，
，则
，
故答案为：D．
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则“多项式乘以多项式，就是用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”展开括号，并且把p、q看作常数，合并关于x2与x3的同类项，根据“ 多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0 ”，得出关于最p、q的方程，求解得出p与q的值，最后再求和即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，是的高线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由垂直定义得∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，结合对顶角相等及三角形内角和定理可得∠DBF=∠CAD，从而用ASA判断出△ACD≌△BFD，由全等三角形的对应边相等得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．
5．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
分式方程两边同乘以得：
，
，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故答案为：C．
【分析】首先在分式方程两边同乘以约去分母将分式方程转化为整数方程；然后根据分式方程无解要从两个方面思考：①当分式方程转化为整式方程后，整式方程无解；②当分式方程转化为整式方程后有解，但这个解使得分式方程的分母为0，即产生增根，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分A、B的面积相等，
根据题意得：，
解得．
故答案为：A．
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，由图可得小长方形的长+3个小长方形宽=大长方形的长，据此可列方程x+3y=m，阴影A的长为x，宽为n-3y，其面积为x(x-3y)，阴影B的长为3y，宽为(n-x)，其面积为3y(n-x)，根据两块阴影部分A、B的面积相等可列方程x(x-3y)=3y(n-x)，联立两方程，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】证明，即可判断①；利用三角形的外角性质判断 ② ； 作于，于，再推导即可判断④解题即可.
8．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，
当时，的值最小为，
∵，
∴，，
当，时，代数式的值最小，；
当，时，代数式的值最大，；
∴，
故答案为：B．
【分析】由绝对值的意义可知求的是数轴上表示a的点到表示-1与-3的点距离和，从而可得当表示点A的点在表示-1与-3的点之间时，即当时，的值最小为，同理可得当时，的值最小为，再结合，可得，；然后根据有理数混合运算的顺序得出当，时，代数式的值最小，当，时，代数式的值最大，分别计算，，然后求和作答即可．
9．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得3-x≠0，则x≠3，
故答案为：x≠3.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，据此列式求出x的范围即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】此题多项式各项具有相同的因式y，故先提取公因式y，再利用完全平方公式将剩下的商式继续分解即可.
11．【答案】37
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边上的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为，
∴，
故答案为：37．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=AE，然后根据三角形的周长公式、等量代换及线段的和差可举哀那个△ACE的周长转化为AC+BC，从而代值即可求解．
12．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；分类讨论
【解析】【解答】解：∵是“三倍角三角形”，且，不妨设，
当时，则，
，
当时，
，
，
，
当时，则，不合题意舍去，
综上：是“三倍角三角形”，中最小内角的度数为或．
故答案为：或．
【分析】不妨设△ABC的三个内角满足，根据“三倍角三角形”定义，分当时，当时，当时三种情况，再结合三角形的内角和定理可得答案．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，则EF∥GP∥HK．
入射角等于反射角
入射角等于反射角
根据入射角等于反射角，可知：
故答案为：．
【分析】根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，则EF∥GP∥HK．由入射角等于反射角得，由三角形的内角和定理得；由入射角等于反射角得，由平角定义得，由二直线平行，同旁内角互补得，根据角的构成及等式性质可推出，由入射角等于反射角得∠GHC=∠KHD=20°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数.
14．【答案】12（答案不唯一）
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
15．【答案】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为一得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程组化简为：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
（3）解：
①+②×2得
即(x+y)2=12，
①-②×2得，
，即(x-y)2=8，
即，
，
∴①，②，③，④，
解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：，
∵，
∴方程组的解为或．
（4）解：
．
【知识点】解分式方程；因式分解﹣十字相乘法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以(x+1)(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可；
（2）首先将方程化简整理成一般形式，观察方程组中两个方程，发现未知数x的系数完全相同，故利用加减消元法求解较为简单，首先用方程①-②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，即可得出方程组的解；
（3）用①+②×2得应①-②×2得，则，进而将所得四个一次方程交叉两两组合得出四个二元一次方程组，利用加减消元法分别求解即可；
（4）把x2+x看成一个整体，首先将多项式去括号整理成关于x2+x的二次三项式形式，然后利用十字相乘法分解因式为(x2+x+5)(x2+x-2)的形式，进而再利用十字相乘法将(x2+x-2)继续分解即可.
（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为一得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程组化简为：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
（3）解：
，
，
，
，
即，
，
∴①，②，③，④，
解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：，
∵，
∴方程组的解为或．
（4）解：
令，
则
．
16．【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求；

（2）解：如图所示，四边形即为所求；

（3）解：四边形ADBC的面积为2.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（3）解：四边形的面积．
【分析】（1）利用方格纸的特点，根据垂线的定义作出图形即可；
（2）利用方格纸的特点，根据轴对称的性质，作出点C关于AB的对称点D，再连接AD、BD，四边形ADBC就是所求的四边形；
（3）利用网格特点，根据三角形的面积公式，由S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC，列式计算即可得到结论．
（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求；
（3）解：四边形的面积．
17．【答案】解：（1）∵7 月份二氧化硫排放量为，
补全折线统计图如下图所示.
（2）可知 2023 年二氧化硫排放总量为
，
故能达到年度减排要求.
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图提供的信息，计算7月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可；
（2）根据折线统计图中的数据结合从2023年8月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少0.1 吨，可依次得出后面几个月二氧化硫的排放量，然后计算出2023年全年二氧化硫的排放总量，然后与42t比较即可得出结论.
18．【答案】解：（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD；
（2）AB＝AC＋CD；
（3）猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，结合公共边AD，用SAS证出△ACD≌△AED，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得∠AED=∠C=90，CD=ED；易得∠B=45°，由三角形内角和定理得∠EDB=∠B=45°，由等角对等边得DE=BE，等量代换得到CD=BE，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（2）在AC取E使AB=AE，连接DE，同（1）得△AED≌△ACD，由全等三角形对应边相等，对应角相等得∠C=∠AED，CD=DE，由已知及三角形外角性质可推出∠B=∠BDE，由等角对等边得BE=ED，等量代换得到BE=CD，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（3）在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，首先利用SAS证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得∠ACD=∠AED，CD=DE，由邻补角及等角的补角相等得∠ACB=∠FED，由三角形外角性质及已知可推出∠EDB=∠B，由等角对等边得DE=BE，最后根据线段和差及等量代换可得结论.
19．【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如图2，过点A作于点G，
则，
由①可知，，
，
点F为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
，
∴，
，
∵S△BCF=S△ABC-S△ABF，S△AFE=S△ABE-S△ABF，
∴S△BCF=S△AEF
，
，负值舍去，
即的长为8．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等式性质，根据等量减去等量差相等得∠CAE=∠BAD，从而由SAS判断出△AEC≌△ADB；
（2）①由邻补角可得∠ADB=135°，由三角形全等对应角相等可得∠AEC=∠ADB=135°，由角的和差可得∠BEC=∠AEC-∠AED=90°；
②过点A作AG⊥DE于点G，结合对顶角相等，由AAS判断出△AGF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得AG=CE=2，GF=EF，根据等腰直角三角形的性质得到DG=AG=GE=2，进而得出EF的长，然后根据同高等底三角形面积相等可得S△ACE=2S△CEF，从而利用三角形面积计算公式列式计算即可；
（3）连接CE，同（2）可得△CDE≌△FDA，由全等三角形的性质得CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，由角的和差求出∠ACE=90°，由内错角相等两直线平行得CE∥AB，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得，然后利用各部分求出S△BCF=S△AEF，从而根据三角形面积计算公式计算可得答案.
20．【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
1 / 1浙江省宁波市鄞州区鄞州第二实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·鄞州期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵3+4＜8，不能够成三角形，该选项是错误；
B、已知两角夹边，即ASA，三角形就确定了，该选项是正确；
C、边边角不能确定三角形，该选项是错误；
D、一角一边不能确定三角形，该选项是错误．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可判断A选项；根据三角形全等判定定理“两边及夹角相等的两个三角形全等”可判断B选项；根据两边其其中一边得对角对应相等的两个三角形，只有当角是直角的时候，两个三角形才全等，可判断C选项；根据确定一个三角形至少需要三个条件可判断D选项.
2．（2024七下·鄞州期末）已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由二直线平行，内错角相等推出，得到，由直角三角形两锐角互余求出，得到，由三角形得一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠AEQ的度数.
3．（2024七下·鄞州期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
乘积中不含 与 项，
，则
，
故答案为：D．
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则“多项式乘以多项式，就是用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”展开括号，并且把p、q看作常数，合并关于x2与x3的同类项，根据“ 多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0 ”，得出关于最p、q的方程，求解得出p与q的值，最后再求和即可.
4．（2024七下·鄞州期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，是的高线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由垂直定义得∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，结合对顶角相等及三角形内角和定理可得∠DBF=∠CAD，从而用ASA判断出△ACD≌△BFD，由全等三角形的对应边相等得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．
5．（2024七下·鄞州期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（　　）
A．0 B．3
C．1 或 D．0 或 1 或
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
分式方程两边同乘以得：
，
，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故答案为：C．
【分析】首先在分式方程两边同乘以约去分母将分式方程转化为整数方程；然后根据分式方程无解要从两个方面思考：①当分式方程转化为整式方程后，整式方程无解；②当分式方程转化为整式方程后有解，但这个解使得分式方程的分母为0，即产生增根，求解即可.
6．（2024七下·鄞州期末）将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分A、B的面积相等，
根据题意得：，
解得．
故答案为：A．
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，由图可得小长方形的长+3个小长方形宽=大长方形的长，据此可列方程x+3y=m，阴影A的长为x，宽为n-3y，其面积为x(x-3y)，阴影B的长为3y，宽为(n-x)，其面积为3y(n-x)，根据两块阴影部分A、B的面积相等可列方程x(x-3y)=3y(n-x)，联立两方程，求解即可.
7．（2024七下·鄞州期末）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】证明，即可判断①；利用三角形的外角性质判断 ② ； 作于，于，再推导即可判断④解题即可.
8．（2024七下·鄞州期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，
当时，的值最小为，
∵，
∴，，
当，时，代数式的值最小，；
当，时，代数式的值最大，；
∴，
故答案为：B．
【分析】由绝对值的意义可知求的是数轴上表示a的点到表示-1与-3的点距离和，从而可得当表示点A的点在表示-1与-3的点之间时，即当时，的值最小为，同理可得当时，的值最小为，再结合，可得，；然后根据有理数混合运算的顺序得出当，时，代数式的值最小，当，时，代数式的值最大，分别计算，，然后求和作答即可．
9．（2024七下·鄞州期末）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得3-x≠0，则x≠3，
故答案为：x≠3.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，据此列式求出x的范围即可.
10．（2024七下·鄞州期末）因式分解： 　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】此题多项式各项具有相同的因式y，故先提取公因式y，再利用完全平方公式将剩下的商式继续分解即可.
11．（2024七下·鄞州期末）某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是　 　
【答案】37
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边上的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为，
∴，
故答案为：37．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=AE，然后根据三角形的周长公式、等量代换及线段的和差可举哀那个△ACE的周长转化为AC+BC，从而代值即可求解．
12．（2024七下·鄞州期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为　 　
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；分类讨论
【解析】【解答】解：∵是“三倍角三角形”，且，不妨设，
当时，则，
，
当时，
，
，
，
当时，则，不合题意舍去，
综上：是“三倍角三角形”，中最小内角的度数为或．
故答案为：或．
【分析】不妨设△ABC的三个内角满足，根据“三倍角三角形”定义，分当时，当时，当时三种情况，再结合三角形的内角和定理可得答案．
13．（2024七下·鄞州期末）有三面镜子如图放置，其中镜子和相交所成的角，已知入射光线经反射后，反射光线与入射光线平行，若，则镜子和相交所成的角　 　．（结果用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，则EF∥GP∥HK．
入射角等于反射角
入射角等于反射角
根据入射角等于反射角，可知：
故答案为：．
【分析】根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，则EF∥GP∥HK．由入射角等于反射角得，由三角形的内角和定理得；由入射角等于反射角得，由平角定义得，由二直线平行，同旁内角互补得，根据角的构成及等式性质可推出，由入射角等于反射角得∠GHC=∠KHD=20°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数.
14．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：　 　
【答案】12（答案不唯一）
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
15．（2024七下·鄞州期末）解方程及方程组
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若，解方程组：；
（4）因式分解：．
【答案】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为一得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程组化简为：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
（3）解：
①+②×2得
即(x+y)2=12，
①-②×2得，
，即(x-y)2=8，
即，
，
∴①，②，③，④，
解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：，
∵，
∴方程组的解为或．
（4）解：
．
【知识点】解分式方程；因式分解﹣十字相乘法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以(x+1)(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可；
（2）首先将方程化简整理成一般形式，观察方程组中两个方程，发现未知数x的系数完全相同，故利用加减消元法求解较为简单，首先用方程①-②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，即可得出方程组的解；
（3）用①+②×2得应①-②×2得，则，进而将所得四个一次方程交叉两两组合得出四个二元一次方程组，利用加减消元法分别求解即可；
（4）把x2+x看成一个整体，首先将多项式去括号整理成关于x2+x的二次三项式形式，然后利用十字相乘法分解因式为(x2+x+5)(x2+x-2)的形式，进而再利用十字相乘法将(x2+x-2)继续分解即可.
（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为一得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程组化简为：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
（3）解：
，
，
，
，
即，
，
∴①，②，③，④，
解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：，
∵，
∴方程组的解为或．
（4）解：
令，
则
．
16．（2024七下·鄞州期末）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，按下列要求作图．
（1）作出图中的边上的高线（需要标出垂足点）；
（2）在图2中找出一格点，使A，，，所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）；
（3）直接写出（2）中你所作四边形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求；

（2）解：如图所示，四边形即为所求；

（3）解：四边形ADBC的面积为2.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（3）解：四边形的面积．
【分析】（1）利用方格纸的特点，根据垂线的定义作出图形即可；
（2）利用方格纸的特点，根据轴对称的性质，作出点C关于AB的对称点D，再连接AD、BD，四边形ADBC就是所求的四边形；
（3）利用网格特点，根据三角形的面积公式，由S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC，列式计算即可得到结论．
（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求；
（3）解：四边形的面积．
17．（2024七下·鄞州期末）项目化学习：
2020 年以来某大型化工厂响应节能减排的号召， 控制温室气体二氧化硫排放量， 2023 年暑假， 某数学小屋对该工厂近年来二氧化硫排放量进行了调查， 完成下列任务．
【材料一】该工厂在 2023 年前 7 个月的二氧化硫排放情况如图 1 所示， 该工厂 7 月份排放量可以看作 4 个工作周的总和， 排放情况如图 2 所示．
【材料二】受疫情对经济造成的影响， 该工厂决定在 2023 年适度降低二氧化硫排放量的减少速度来激发工业发展， 并对化工生产提出 2023 年二氧化硫总排放量不超过 42 吨的年度减排要求．
任务一 整理：据材料计算 7 月份二氧化硫排放量并补全图 1
任务二 展望：该工厂从 2023 年 8 月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少 0.1 吨， 请你计算说明， 该工厂是否能够完成 2023 年的年度减排要求．
【答案】解：（1）∵7 月份二氧化硫排放量为，
补全折线统计图如下图所示.
（2）可知 2023 年二氧化硫排放总量为
，
故能达到年度减排要求.
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图提供的信息，计算7月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可；
（2）根据折线统计图中的数据结合从2023年8月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少0.1 吨，可依次得出后面几个月二氧化硫的排放量，然后计算出2023年全年二氧化硫的排放总量，然后与42t比较即可得出结论.
18．（2024七下·鄞州期末）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【答案】解：（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD；
（2）AB＝AC＋CD；
（3）猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，结合公共边AD，用SAS证出△ACD≌△AED，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得∠AED=∠C=90，CD=ED；易得∠B=45°，由三角形内角和定理得∠EDB=∠B=45°，由等角对等边得DE=BE，等量代换得到CD=BE，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（2）在AC取E使AB=AE，连接DE，同（1）得△AED≌△ACD，由全等三角形对应边相等，对应角相等得∠C=∠AED，CD=DE，由已知及三角形外角性质可推出∠B=∠BDE，由等角对等边得BE=ED，等量代换得到BE=CD，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（3）在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，首先利用SAS证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得∠ACD=∠AED，CD=DE，由邻补角及等角的补角相等得∠ACB=∠FED，由三角形外角性质及已知可推出∠EDB=∠B，由等角对等边得DE=BE，最后根据线段和差及等量代换可得结论.
19．（2024七下·鄞州期末）【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点的面积为 32，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如图2，过点A作于点G，
则，
由①可知，，
，
点F为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
，
∴，
，
∵S△BCF=S△ABC-S△ABF，S△AFE=S△ABE-S△ABF，
∴S△BCF=S△AEF
，
，负值舍去，
即的长为8．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等式性质，根据等量减去等量差相等得∠CAE=∠BAD，从而由SAS判断出△AEC≌△ADB；
（2）①由邻补角可得∠ADB=135°，由三角形全等对应角相等可得∠AEC=∠ADB=135°，由角的和差可得∠BEC=∠AEC-∠AED=90°；
②过点A作AG⊥DE于点G，结合对顶角相等，由AAS判断出△AGF≌△CEF，由全等三角形的对应边相等得AG=CE=2，GF=EF，根据等腰直角三角形的性质得到DG=AG=GE=2，进而得出EF的长，然后根据同高等底三角形面积相等可得S△ACE=2S△CEF，从而利用三角形面积计算公式列式计算即可；
（3）连接CE，同（2）可得△CDE≌△FDA，由全等三角形的性质得CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，由角的和差求出∠ACE=90°，由内错角相等两直线平行得CE∥AB，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得，然后利用各部分求出S△BCF=S△AEF，从而根据三角形面积计算公式计算可得答案.
20．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
1 / 1

展开更多......

收起↑