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浙江省宁波市2025年九年级学业水平质量检测数学试卷
1．（2025·宁波模拟） 比-1大2的数为（　　）
A．-3 B．0 C．1 D．2
2．（2025·宁波模拟）如图所示的几何体的主视图是 　　
A． B． C． D．
3．（2025·宁波模拟） 2025年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金2497000000元.其中数2497000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·宁波模拟） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·宁波模拟） 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·宁波模拟） 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·宁波模拟） 已知 ，， 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 ，， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·宁波模拟） 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示：
跳绳成绩x 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 180≤x＜220
人数 5 10 15 10
则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（　　）
A．平均数一定是170
B．众数一定是170
C．中位数在160~180范围内（含160，不含180）
D．方差为0
9．（2025·宁波模拟） 下图是凸透镜成像的光路示意图，AB、CD、OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直.一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C.已知，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
10．（2025·宁波模拟） 如图在中，，，点，分别在AB，AC上，，记BD长为，CE长为，.当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
11．（2025·宁波模拟）分解因式： 　 　.
12．（2025·宁波模拟） 一个不透明的盒子里装有5个只有颜色不同的球，其中有2个红球、2个白球和1个绿球.现从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为　 　.
13．（2025·宁波模拟） 若，则 的值为　 　.
14．（2025·宁波模拟） 如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，于点E，，则的度数为　 　.
15．（2025·宁波模拟） 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点.若的外接圆与边CD相切，则的半径长为　 　.
16．（2025·宁波模拟） 如图，在 ABCD中，，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿所在的直线折叠，使点B和点D重合.若，，则AB的长为　 　.
17．（2025·宁波模拟）计算：.
18．（2025·宁波模拟）解方程组：.
19．（2025·宁波模拟）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为，测得旗杆顶端A的仰角为.若旗杆与教学楼的距离CD=6米，求旗杆AB的高度.（结果保留根号）
20．（2025·宁波模拟）据国家电影局统计，2025年春节档（1月28日至2月4日）A，B，C，D，E五部电影的总票房为92.5亿元，其中每部电影的票房占比制成如图1的扇形统计图.某影评网站随机抽取了100名观众对电影A的星级评价，该网站的星级共有“一星”“二星”“三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图2的条形统计图.
根据以上信息回答下列问题：
（1）上述图表中　 　，　 　；
（2）电影A春节档的票房是多少亿元？
（3）已知该影评网站每颗星代表2分，五星即为10分.若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影A在该网站的星级分值约是多少分？
21．（2025·宁波模拟） 小宁同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画；②以点 A 为圆心，3cm长为半径画弧，分别交 AM， AN 于点 B， D； ③分别以点 B， D， 为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接 BC， DC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形.
（2） 连结 BD，若 ，求四边形 ABCD 的面积.
22．（2025·宁波模拟）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演.甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行.乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米.如图，折线OAB，线段CD分别表示甲、乙的飞行高度s(米)与甲飞行时间t(秒)之间的函数图象.请结合图象解答下列问题.
（1） a=　 　，　 　；
（2） 分别求出线段AB，CD对应的函数表达式.
（3） 当两架无人机之间的飞行高度不超过20米时，能形成特定的表演效果.求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围.
23．（2025·宁波模拟） 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果.
（1） 甲同学的说法：当和时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.
（2） 乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时a的值.
（3） 丙同学的探索：若，当时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的结论，求出a的取值范围.
24．（2025·宁波模拟） 如图 1，四边形 ABCD 内接于 ，BD 为直径， 为锐角，过点 B 作 于点 E，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F.
（1） ，请用含 的代数式表示 ；
（2） 若 ，求证：；
（3） 如图 2，在 (2) 的条件下，BF 与 交于点 G，与 AD 延长线交于点 H，连结 DO.
①若 ，，求 AD 的长.
②若 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据题意得-1+2=1，
故答案为：C.
【分析】在数轴上，比某个数大的数可以通过在该数的基础上向右移动相应的单位长度得到.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A．
找到从前面看所得到的图形即可．
【分析】找到从前面看所得到的图形即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：24970000000=2.497×1010
故答案为：D.
【分析】科学记数法的形式为a×10n，其中1≤|a|<10，原数24970000000需要将小数点向左移动，直到得到一个在1到10之间的数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2)2-4(k-1)=0，
解得k=2.
故答案为：A.
【分析】根据判别式定理，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此需要计算判别式并令其等于零，解方程求出k的值.
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=-5<0，
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数图象上的三个点，且x1∴点C(x3，y3)在第四象限，则y3<0，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在第二象限，则y2>y1>0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3故答案为：D.
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答.
8．【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：A、不能确定平均数，故A不符合题意；
B、不能确定众数，故B不符合题意；
C、中位数在160~180范围内(含160，不含180)，故C符合题意；
D、不能确定方差，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分组数据判断统计量的正确性，分别分析平均数、中位数、众数、方差的定义及计算方法.
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，
∴，，OE=AB，
即，
解得DF=20cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得，，OE=AB，求出DF=20cm，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
∵AB=AC，BC=10，CD=BE=9，BD=x，CE=y，
∴设∠ABC=∠ACN=α，
在Rt△BDH中，，，
∴DH=BD·sin∠ABC=xsinα，
BH=BD·cos∠ABC=xcosα，
∴CH=BC-BH=10-xcosα，
由勾股定理得：DH2+CH2=CD2
∴(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，
∴x2sin2α+100-20xcosα-x2cos2α=81，
∴x2(sin2α+cos2α)+19= 20xcosα，
即x2+19=20xcosα①，
在Rt△CEF中，同理得：EF=ysinα，CF=ycosα，
∴BF=BC-CF=10-ycosα，
由勾股定理得：EF2+BF2=BE2
∴(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，
∴y2sin2α+100-20ycosα+y2cos2α=81，
∴y2(sin2α+cos2α)+19=20ycosα，
即y2+19=20ycosα②，
由①②得：
∴x2y+19y=xy2+19x，
∴x2y-xy2-19x+19y=0，
∴xy(x-y)-19(x-y)=0，
即(x-y)(xy-19)=0，
∴x>y，
∴x-y> 0，
∴xy-19=0，
∴xy=19，
∴当x，y的值发生变化时，代数式xy的值不变，始终等于19，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EE⊥BC于点E，设∠ABC=∠ACN=α，利用锐角三角函数的定义得DH=xsinα，BH=xcosα，则CH=10-xcosα，由勾股定理得DH2+CH2=CD2，则(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，整理得x2+19=20xcosα①，同理得EF=ysinα，CF=ycosα，BF=10-ycosα，由勾股定理得EF2+BF2=BE2，即(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，整理得x2+19y+19=20ycosα②，由①②得，整理得y2+19(x-y)(xy-19)=0，然后根据x>y得xy=19，据此即可得出答案.
11．【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：.
【分析】根据比例的性质，可得答案.
14．【答案】35°
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵DE⊥AC，∠BDE=20°，
∴∠BOC=110°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC=AO=DO，
∴∠ACB=∠OBC=35°
故答案为：35°.
【分析】由外角的性质可得∠BOC=110°，由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，
∵△ABE的外接圆⊙O与边CD相切，
∴OF⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BAD=90°
∴四边形ANFD为矩形，
∴NF=AD=4，
∴NF//AD，
∴NF⊥AB，
∴AN=NB=2，
在Rt△OAN中，OA2=AN2+ON2，
即OA2=22+(4-OA)2，
解得：
故答案为：.
【分析】设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，根据切线的性质得到OF⊥CD，根据矩形的性质切线NF，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形AHEM是矩形，
∴AH=EM，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=90°，
∵AB=AE，AH⊥BE，
∴BH= EH，
∴，
∵ED=EB，
∴ED=2AH=2EM，
∵EM⊥AD，
∴∠EDM=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CED=∠ADE=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠DEC=∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB=15°，
∴∠EFO=∠FEO+∠EBO =60°
∵EO⊥BD，
∴∠FEO=30°，
∴EF=2OF=2，
设AH=HE=EM=AM=a，则BE=2a，，
∵AD//BE，
∴
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点，则四边形AHEM是矩形，证明∠EFO=60°，就直接求出EF，再利用平行线分线段成比例定理求解AF即可.
17．【答案】解：原式=2-4+3
=1
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．【答案】解：
由②，得 ，③
把③代入①，得 ，解得 .
把 代入③，得 .
所以原方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由②得x=y+4，代入①求出y=-3，再把y=-3代入③求出x即可.
19．【答案】解： 由题意得 ，，，，
，
，
∵，
∴，
∴，
即旗杆的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案.
20．【答案】（1）24；20
（2）解： 亿元
（3）解：电影A的星级平均得分为
∴电影A在该网站的星级分值约是8.5分
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(1)根据图1可知，
a%=1-52%-11%-7%-6%=24%，
由图2可知，m=100-5-5-10-60=20，
故答案为：24，20.
【分析】(1)由图1可以求出a，由图2可以求出m；
(2)用总票房×电影A所占百分比即可；
(3)求出电影A的星级平均得分即可.
21．【答案】（1）证明：根据作法得 ，
∴ 四边形 ABCD 为菱形
（2）解：连结 AC，BD 交于点 O，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴，，
∵，
∴.
∴ 的面积为 ，
∴ 菱形 ABCD 的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】(1)由作图过程可知AB=AD=CD=BC，则可得四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，，则，，再根据四边形ABCD的面积为可得答案.
22．【答案】（1）6；8
（2）解：设AB对应的函数表达式为，
，
解得.
AB对应的函数表达式为.
设CD对应的函数表达式为.
图象过，
，
解得.
对应的函数表达式为
（3）解：当30解得t=40或t=60(舍去)，
∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围是40≤t≤60
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)120+(60-30)a=300，
解得a=6，
120-(30-20)b=40，
解得b=8.
故答案为：6，8.
【分析】(1)根据“OA段飞行的路程+AB段飞行的路程=300”列关于a的方程并求解，根据“当t=30时，甲飞行的高度-乙飞行的高度=40”列关于b的方程并求解即可；
(2)根据待定系数法即可求解；
(3)分别求出当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时对应的t的值，从而得到符合条件的t的取值范围即可.
23．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=0和x-2时，函数值相等，甲同学说法正确
（2）解：∵抛物线顶点坐标为(1，-1)，
∴顶点到x轴的距离为1，由条件可知a>0，三角形的另两个顶点的纵坐标都为1，
∴题设中的三角形是高为2，底边长为3的等腰三角形，
∴底边顶点坐标为(，()，
代入得，
∴
（3）解： ∵，抛物线顶点坐标为(1， -1)，
∴当时，，
∴4个不同的整数值为-1， 0， 1， 2，即，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据对称轴计算公式求出对称轴为直线x=1，据此可得结论；
(2)求出顶点坐标为(1，-1)，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为3，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可；
(3)根据增减性可求出当024．【答案】（1）解：∵BD为直径，
，
∵，
∴，
∵于点E，
∴；
（2）证明： ∵，
∴，
∵，，
∴（AAS）.
∴
（3）解：①连结AG，作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ BD为直径，
∴，
∵，
∴四边形DGEM为矩形，
∴ME = DG = 1，DM = EG，
设，，
∴，，
∴，
解得：，（舍），
∴AD的长为；
②连结AG，
∵BD为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
1 / 1浙江省宁波市2025年九年级学业水平质量检测数学试卷
1．（2025·宁波模拟） 比-1大2的数为（　　）
A．-3 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据题意得-1+2=1，
故答案为：C.
【分析】在数轴上，比某个数大的数可以通过在该数的基础上向右移动相应的单位长度得到.
2．（2025·宁波模拟）如图所示的几何体的主视图是 　　
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A．
找到从前面看所得到的图形即可．
【分析】找到从前面看所得到的图形即可．
3．（2025·宁波模拟） 2025年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金2497000000元.其中数2497000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：24970000000=2.497×1010
故答案为：D.
【分析】科学记数法的形式为a×10n，其中1≤|a|<10，原数24970000000需要将小数点向左移动，直到得到一个在1到10之间的数.
4．（2025·宁波模拟） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
5．（2025·宁波模拟） 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2)2-4(k-1)=0，
解得k=2.
故答案为：A.
【分析】根据判别式定理，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此需要计算判别式并令其等于零，解方程求出k的值.
6．（2025·宁波模拟） 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
7．（2025·宁波模拟） 已知 ，， 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 ，， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=-5<0，
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数图象上的三个点，且x1∴点C(x3，y3)在第四象限，则y3<0，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在第二象限，则y2>y1>0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3故答案为：D.
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答.
8．（2025·宁波模拟） 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示：
跳绳成绩x 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 180≤x＜220
人数 5 10 15 10
则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（　　）
A．平均数一定是170
B．众数一定是170
C．中位数在160~180范围内（含160，不含180）
D．方差为0
【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：A、不能确定平均数，故A不符合题意；
B、不能确定众数，故B不符合题意；
C、中位数在160~180范围内(含160，不含180)，故C符合题意；
D、不能确定方差，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分组数据判断统计量的正确性，分别分析平均数、中位数、众数、方差的定义及计算方法.
9．（2025·宁波模拟） 下图是凸透镜成像的光路示意图，AB、CD、OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直.一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C.已知，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，
∴，，OE=AB，
即，
解得DF=20cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得，，OE=AB，求出DF=20cm，即可求解.
10．（2025·宁波模拟） 如图在中，，，点，分别在AB，AC上，，记BD长为，CE长为，.当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
∵AB=AC，BC=10，CD=BE=9，BD=x，CE=y，
∴设∠ABC=∠ACN=α，
在Rt△BDH中，，，
∴DH=BD·sin∠ABC=xsinα，
BH=BD·cos∠ABC=xcosα，
∴CH=BC-BH=10-xcosα，
由勾股定理得：DH2+CH2=CD2
∴(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，
∴x2sin2α+100-20xcosα-x2cos2α=81，
∴x2(sin2α+cos2α)+19= 20xcosα，
即x2+19=20xcosα①，
在Rt△CEF中，同理得：EF=ysinα，CF=ycosα，
∴BF=BC-CF=10-ycosα，
由勾股定理得：EF2+BF2=BE2
∴(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，
∴y2sin2α+100-20ycosα+y2cos2α=81，
∴y2(sin2α+cos2α)+19=20ycosα，
即y2+19=20ycosα②，
由①②得：
∴x2y+19y=xy2+19x，
∴x2y-xy2-19x+19y=0，
∴xy(x-y)-19(x-y)=0，
即(x-y)(xy-19)=0，
∴x>y，
∴x-y> 0，
∴xy-19=0，
∴xy=19，
∴当x，y的值发生变化时，代数式xy的值不变，始终等于19，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EE⊥BC于点E，设∠ABC=∠ACN=α，利用锐角三角函数的定义得DH=xsinα，BH=xcosα，则CH=10-xcosα，由勾股定理得DH2+CH2=CD2，则(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，整理得x2+19=20xcosα①，同理得EF=ysinα，CF=ycosα，BF=10-ycosα，由勾股定理得EF2+BF2=BE2，即(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，整理得x2+19y+19=20ycosα②，由①②得，整理得y2+19(x-y)(xy-19)=0，然后根据x>y得xy=19，据此即可得出答案.
11．（2025·宁波模拟）分解因式： 　 　.
【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
12．（2025·宁波模拟） 一个不透明的盒子里装有5个只有颜色不同的球，其中有2个红球、2个白球和1个绿球.现从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
13．（2025·宁波模拟） 若，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由，得.
故答案为：.
【分析】根据比例的性质，可得答案.
14．（2025·宁波模拟） 如图，AC，BD为矩形ABCD的对角线，于点E，，则的度数为　 　.
【答案】35°
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵DE⊥AC，∠BDE=20°，
∴∠BOC=110°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC=AO=DO，
∴∠ACB=∠OBC=35°
故答案为：35°.
【分析】由外角的性质可得∠BOC=110°，由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解.
15．（2025·宁波模拟） 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点.若的外接圆与边CD相切，则的半径长为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，
∵△ABE的外接圆⊙O与边CD相切，
∴OF⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BAD=90°
∴四边形ANFD为矩形，
∴NF=AD=4，
∴NF//AD，
∴NF⊥AB，
∴AN=NB=2，
在Rt△OAN中，OA2=AN2+ON2，
即OA2=22+(4-OA)2，
解得：
故答案为：.
【分析】设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，根据切线的性质得到OF⊥CD，根据矩形的性质切线NF，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.
16．（2025·宁波模拟） 如图，在 ABCD中，，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿所在的直线折叠，使点B和点D重合.若，，则AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形AHEM是矩形，
∴AH=EM，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=90°，
∵AB=AE，AH⊥BE，
∴BH= EH，
∴，
∵ED=EB，
∴ED=2AH=2EM，
∵EM⊥AD，
∴∠EDM=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CED=∠ADE=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠DEC=∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB=15°，
∴∠EFO=∠FEO+∠EBO =60°
∵EO⊥BD，
∴∠FEO=30°，
∴EF=2OF=2，
设AH=HE=EM=AM=a，则BE=2a，，
∵AD//BE，
∴
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点，则四边形AHEM是矩形，证明∠EFO=60°，就直接求出EF，再利用平行线分线段成比例定理求解AF即可.
17．（2025·宁波模拟）计算：.
【答案】解：原式=2-4+3
=1
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．（2025·宁波模拟）解方程组：.
【答案】解：
由②，得 ，③
把③代入①，得 ，解得 .
把 代入③，得 .
所以原方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由②得x=y+4，代入①求出y=-3，再把y=-3代入③求出x即可.
19．（2025·宁波模拟）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为，测得旗杆顶端A的仰角为.若旗杆与教学楼的距离CD=6米，求旗杆AB的高度.（结果保留根号）
【答案】解： 由题意得 ，，，，
，
，
∵，
∴，
∴，
即旗杆的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案.
20．（2025·宁波模拟）据国家电影局统计，2025年春节档（1月28日至2月4日）A，B，C，D，E五部电影的总票房为92.5亿元，其中每部电影的票房占比制成如图1的扇形统计图.某影评网站随机抽取了100名观众对电影A的星级评价，该网站的星级共有“一星”“二星”“三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图2的条形统计图.
根据以上信息回答下列问题：
（1）上述图表中　 　，　 　；
（2）电影A春节档的票房是多少亿元？
（3）已知该影评网站每颗星代表2分，五星即为10分.若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影A在该网站的星级分值约是多少分？
【答案】（1）24；20
（2）解： 亿元
（3）解：电影A的星级平均得分为
∴电影A在该网站的星级分值约是8.5分
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(1)根据图1可知，
a%=1-52%-11%-7%-6%=24%，
由图2可知，m=100-5-5-10-60=20，
故答案为：24，20.
【分析】(1)由图1可以求出a，由图2可以求出m；
(2)用总票房×电影A所占百分比即可；
(3)求出电影A的星级平均得分即可.
21．（2025·宁波模拟） 小宁同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画；②以点 A 为圆心，3cm长为半径画弧，分别交 AM， AN 于点 B， D； ③分别以点 B， D， 为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接 BC， DC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形.
（2） 连结 BD，若 ，求四边形 ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：根据作法得 ，
∴ 四边形 ABCD 为菱形
（2）解：连结 AC，BD 交于点 O，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴，，
∵，
∴.
∴ 的面积为 ，
∴ 菱形 ABCD 的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】(1)由作图过程可知AB=AD=CD=BC，则可得四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，，则，，再根据四边形ABCD的面积为可得答案.
22．（2025·宁波模拟）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演.甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行.乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米.如图，折线OAB，线段CD分别表示甲、乙的飞行高度s(米)与甲飞行时间t(秒)之间的函数图象.请结合图象解答下列问题.
（1） a=　 　，　 　；
（2） 分别求出线段AB，CD对应的函数表达式.
（3） 当两架无人机之间的飞行高度不超过20米时，能形成特定的表演效果.求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围.
【答案】（1）6；8
（2）解：设AB对应的函数表达式为，
，
解得.
AB对应的函数表达式为.
设CD对应的函数表达式为.
图象过，
，
解得.
对应的函数表达式为
（3）解：当30解得t=40或t=60(舍去)，
∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围是40≤t≤60
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)120+(60-30)a=300，
解得a=6，
120-(30-20)b=40，
解得b=8.
故答案为：6，8.
【分析】(1)根据“OA段飞行的路程+AB段飞行的路程=300”列关于a的方程并求解，根据“当t=30时，甲飞行的高度-乙飞行的高度=40”列关于b的方程并求解即可；
(2)根据待定系数法即可求解；
(3)分别求出当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时对应的t的值，从而得到符合条件的t的取值范围即可.
23．（2025·宁波模拟） 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果.
（1） 甲同学的说法：当和时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.
（2） 乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时a的值.
（3） 丙同学的探索：若，当时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的结论，求出a的取值范围.
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=0和x-2时，函数值相等，甲同学说法正确
（2）解：∵抛物线顶点坐标为(1，-1)，
∴顶点到x轴的距离为1，由条件可知a>0，三角形的另两个顶点的纵坐标都为1，
∴题设中的三角形是高为2，底边长为3的等腰三角形，
∴底边顶点坐标为(，()，
代入得，
∴
（3）解： ∵，抛物线顶点坐标为(1， -1)，
∴当时，，
∴4个不同的整数值为-1， 0， 1， 2，即，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据对称轴计算公式求出对称轴为直线x=1，据此可得结论；
(2)求出顶点坐标为(1，-1)，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为3，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可；
(3)根据增减性可求出当024．（2025·宁波模拟） 如图 1，四边形 ABCD 内接于 ，BD 为直径， 为锐角，过点 B 作 于点 E，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F.
（1） ，请用含 的代数式表示 ；
（2） 若 ，求证：；
（3） 如图 2，在 (2) 的条件下，BF 与 交于点 G，与 AD 延长线交于点 H，连结 DO.
①若 ，，求 AD 的长.
②若 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵BD为直径，
，
∵，
∴，
∵于点E，
∴；
（2）证明： ∵，
∴，
∵，，
∴（AAS）.
∴
（3）解：①连结AG，作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ BD为直径，
∴，
∵，
∴四边形DGEM为矩形，
∴ME = DG = 1，DM = EG，
设，，
∴，，
∴，
解得：，（舍），
∴AD的长为；
②连结AG，
∵BD为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
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