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浙江省台州市临海市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
1．（2025八下·临海期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴x-2≥0，
解得x≥2，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．（2025八下·临海期中）已知下列各组线段的长度，能作为一个直角三角形三边的是（　　）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：由于1+2=3，不能构成三角形，不能构成直角三角形；
B：由于，不能构成直角三角形；
C：由于，能构成直角三角形；
D：由于，不能构成直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边的关系、勾股定理的逆定理逐项判断解题即可
3．（2025八下·临海期中）在中，，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-50°=130°，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
4．（2025八下·临海期中）下列运算正确的是（　　） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，计算正确；
C：，不能合并，原计算错误；
D：，原计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的加法和二次根式的减法逐项判断解题即可.
5．（2025八下·临海期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：AC=米，
∴ 这棵大树折断前的高度为5+13=18米，
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理得到CA长，然后求出折断前大树的高度即可.
6．（2025八下·临海期中）已知平行四边形中的两条对角线长分别为4，6，则其中一条边长可能是（　　）．
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD是平行四边形，
∴，，
∴3-2符合的长度为3，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形的三边关系解答即可.
7．（2025八下·临海期中）如图，在中，，交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A：根据可得是菱形，故符合题意；
B：根据可得平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
C：根据可得平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D：根据，得到OA=OB=OC=OD，则平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定定理解答即可.
8．（2025八下·临海期中）如图，圆柱形玻璃杯的底面直径．当吸管直立于杯底时，高出杯口，当吸管与点A，C接触时，杯外部分长，则吸管长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设吸管的长度为xcm，则玻璃杯的高度为(x-5)cm，
则，
解得：x=11，
故答案为：C.
【分析】设吸管的长度为xcm，利用勾股定理列方程求出x的值即可解题.
9．（2025八下·临海期中）如图，在中，，，以为斜边作，连接，恰好有，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则AE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴ADFE是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∵AB=AC，
∴BE=CE=4，
∴DF=AE=，
设BF=x，则FC=8-x，
∴，即，
解得：或（舍去），
诉AD=EF=BF-BE=，
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，即可得到ADFE是矩形，然后根据三线合一得到BE=CE=4，根据勾股定理求出DF=AE=3，然后设BF=x， 根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出AD长.
10．（2025八下·临海期中）如图，在中，，，于点D，分别以，为边作等腰直角三角形，，使点E，F落在上，则四边形的面积为（　　）．
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 等腰直角三角形，，
∴BD=DE，CD=DF，
∴
故答案为：B.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得BD=DE，CD=DF，然后根据勾股定理，利用解答即可.
11．（2025八下·临海期中）在中，若，，则它的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AD=BC=4，
∴ 的周长为2×(6+4)=20，
故答案为：20.
【分析】根据平行四边形的对边相等解题即可.
12．（2025八下·临海期中）计算：　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的乘法运算法则解答即可.
13．（2025八下·临海期中）如图的矩形草坪中，长，宽，沿对角线修筑了一条小路，若要从点B走到D，沿着小路走，比沿着草坪边缘走，路程能节省　 　m．
【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：米，
∴路程节省8+6-10=4米，
故答案为：4.
【分析】先根据勾股定理求出BD长，然后根据BC+CD-BD解题即可.
14．（2025八下·临海期中）根据下列等式：①；②；③；…的排列规律，可得第④个等式为　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵①；
②；
③；
∴第④个等式为
故答案为：.
【分析】根据题目中式子得到规律，然后根据规律得到第④个等式即可.
15．（2025八下·临海期中）如图，已知数轴上点A，O，B分别表示数，0，1．分别以点O，B为圆心，长半径画弧，两条弧交于点C；以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接OC，BC，
由作图可得OC=OB=BC=OA=1，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO=∠OCB=∠BOC=60°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠ACB=90°，
∴AC=，
∴AD=AC=，
∴ 点D表示的数为；
故答案为：.
【分析】先得到△OBC是等边三角形，然后得到∠ACB=90°，根据勾股定理求出AC长解题即可.
16．（2025八下·临海期中）如图，点C，D在线段上（点C在A，D之间），分别以，，为边向同侧作正方形，正方形，正方形，边长分别记为a，b，c．
（1）若两个阴影部分的周长相等，则　 　（用含b的代数式表示）；
（2）若两个阴影部分的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）根据周长相等可得：2(a+b-c+a)=c-b+b-a+b+b+c-b+c+c-a，
整理得c-a=，
（2）根据面积相等得到a(a+b-c)=c2-a2-b2+a(a+b-c)，
解得：
故答案为：，.
【分析】（1）分别表示阴影部分的周长，根据周长相等得到c-a的值即可；
（2）分别表示阴影部分的面积，根据面积相等列代数式，整理求出关系式即可.
17．（2025八下·临海期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可；
（2）利用平方差公式计算解题.
18．（2025八下·临海期中）已知，求的值．
【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，然后得到b的值，代入计算解题即可.
19．（2025八下·临海期中）如图，在中，，交于点O，点E为中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴．
∵点E为中点，∴为的中位线．
∴．
（2）解：∵，，，
∴．
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到为的中位线，根据中位线性质定理解答即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，然后根据三角形的中位线定理解答即可.
20．（2025八下·临海期中）如图，在四边形中，，交于点O，已知，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，∴，．
又∵，∴≌．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是菱形．
理由：∵平分，，
又∵，∴，
∴．
又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据AAS得到≌，即可得到，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解题；
（2）根据角平分线的定义可得， 即可得到，然后根据等角对等边得到，即可得到四边形是菱形.
21．（2025八下·临海期中）图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．
（1）求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
（2）将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
【答案】（1）解：作于点H，在上取点P，使．
∵，，∴．
∵，∴．
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为
（2）解：，．
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）作于点H，在上取点P，使．根据30°的直角三角形的性质求出AH长，然后根据勾股定理求出PH长解题即可；
（2）先求出平移后的球机安装位置，然后根据有理数的减法解题即可.
22．（2025八下·临海期中）如图，在中，于点D．
（1）已知，，，求证：；
（2）已知．
①若，，求的长；
②若设，，，则m，n，k的数量关系为 ▲ ．
【答案】（1）证明：∵，，，，
∴，．
∵，∴．
∴．
（2）解：①设，则，．
∵，∴．
即．
解得．即的长为；
②．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（2）②∵，
即，
整理得：，
故答案为：.
【分析】（1）根据勾股定理求出AC2和BC2，即可得到解题即可；
（2）根据勾股定理得到，整理计算解题.
23．（2025八下·临海期中）如图，在菱形中，，交于点O，，．
（1）求的面积；
（2）点E在边上，且．
①求的长；
②若点F在边上，且，则的长为 ▲ ．
【答案】（1）解：∵菱形，，，
∴，，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴．
∴，．
∴；
（2）解：①作于点H．∵，∴．
∵，∴，．
∴．
∴．
②5或7．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】（2）②解：如图，过点O作OG⊥AB于点G，则OG=，，
又∵，
∴AF=AG+GF=7或AF=AG-GF=5；
故答案为：5或7.
【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABD是等边三角形，即可得到CD长，然后根据勾股定理得到OC长，利用三角形的面积公式计算解题；
（2）①作于点H，根据30°的直角三角形的性质得到EH和CH长，然后根据勾股定理解题即可；
②过点O作OG⊥AB于点G，根据勾股定理求出FG和AG长，然后根据线段的和差解题即可.
24．（2025八下·临海期中）图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
1 / 1浙江省台州市临海市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
1．（2025八下·临海期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2025八下·临海期中）已知下列各组线段的长度，能作为一个直角三角形三边的是（　　）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2025八下·临海期中）在中，，则（　　）．
A． B． C． D．
4．（2025八下·临海期中）下列运算正确的是（　　） ．
A． B． C． D．
5．（2025八下·临海期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（　　）．
A． B． C． D．
6．（2025八下·临海期中）已知平行四边形中的两条对角线长分别为4，6，则其中一条边长可能是（　　）．
A．1 B．3 C．5 D．7
7．（2025八下·临海期中）如图，在中，，交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025八下·临海期中）如图，圆柱形玻璃杯的底面直径．当吸管直立于杯底时，高出杯口，当吸管与点A，C接触时，杯外部分长，则吸管长为（　　）．
A． B． C． D．
9．（2025八下·临海期中）如图，在中，，，以为斜边作，连接，恰好有，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2025八下·临海期中）如图，在中，，，于点D，分别以，为边作等腰直角三角形，，使点E，F落在上，则四边形的面积为（　　）．
A．16 B．18 C．20 D．24
11．（2025八下·临海期中）在中，若，，则它的周长为　 　．
12．（2025八下·临海期中）计算：　 　．
13．（2025八下·临海期中）如图的矩形草坪中，长，宽，沿对角线修筑了一条小路，若要从点B走到D，沿着小路走，比沿着草坪边缘走，路程能节省　 　m．
14．（2025八下·临海期中）根据下列等式：①；②；③；…的排列规律，可得第④个等式为　 　．
15．（2025八下·临海期中）如图，已知数轴上点A，O，B分别表示数，0，1．分别以点O，B为圆心，长半径画弧，两条弧交于点C；以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为　 　．
16．（2025八下·临海期中）如图，点C，D在线段上（点C在A，D之间），分别以，，为边向同侧作正方形，正方形，正方形，边长分别记为a，b，c．
（1）若两个阴影部分的周长相等，则　 　（用含b的代数式表示）；
（2）若两个阴影部分的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为　 　．
17．（2025八下·临海期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·临海期中）已知，求的值．
19．（2025八下·临海期中）如图，在中，，交于点O，点E为中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
20．（2025八下·临海期中）如图，在四边形中，，交于点O，已知，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，判断四边形的形状，并说明理由．
21．（2025八下·临海期中）图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．
（1）求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
（2）将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
22．（2025八下·临海期中）如图，在中，于点D．
（1）已知，，，求证：；
（2）已知．
①若，，求的长；
②若设，，，则m，n，k的数量关系为 ▲ ．
23．（2025八下·临海期中）如图，在菱形中，，交于点O，，．
（1）求的面积；
（2）点E在边上，且．
①求的长；
②若点F在边上，且，则的长为 ▲ ．
24．（2025八下·临海期中）图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴x-2≥0，
解得x≥2，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：由于1+2=3，不能构成三角形，不能构成直角三角形；
B：由于，不能构成直角三角形；
C：由于，能构成直角三角形；
D：由于，不能构成直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边的关系、勾股定理的逆定理逐项判断解题即可
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-50°=130°，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，计算正确；
C：，不能合并，原计算错误；
D：，原计算错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的加法和二次根式的减法逐项判断解题即可.
5．【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：AC=米，
∴ 这棵大树折断前的高度为5+13=18米，
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理得到CA长，然后求出折断前大树的高度即可.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD是平行四边形，
∴，，
∴3-2符合的长度为3，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形的三边关系解答即可.
7．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A：根据可得是菱形，故符合题意；
B：根据可得平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
C：根据可得平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D：根据，得到OA=OB=OC=OD，则平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定定理解答即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设吸管的长度为xcm，则玻璃杯的高度为(x-5)cm，
则，
解得：x=11，
故答案为：C.
【分析】设吸管的长度为xcm，利用勾股定理列方程求出x的值即可解题.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则AE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴ADFE是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∵AB=AC，
∴BE=CE=4，
∴DF=AE=，
设BF=x，则FC=8-x，
∴，即，
解得：或（舍去），
诉AD=EF=BF-BE=，
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，即可得到ADFE是矩形，然后根据三线合一得到BE=CE=4，根据勾股定理求出DF=AE=3，然后设BF=x， 根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出AD长.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 等腰直角三角形，，
∴BD=DE，CD=DF，
∴
故答案为：B.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得BD=DE，CD=DF，然后根据勾股定理，利用解答即可.
11．【答案】20
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AD=BC=4，
∴ 的周长为2×(6+4)=20，
故答案为：20.
【分析】根据平行四边形的对边相等解题即可.
12．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的乘法运算法则解答即可.
13．【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：米，
∴路程节省8+6-10=4米，
故答案为：4.
【分析】先根据勾股定理求出BD长，然后根据BC+CD-BD解题即可.
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵①；
②；
③；
∴第④个等式为
故答案为：.
【分析】根据题目中式子得到规律，然后根据规律得到第④个等式即可.
15．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接OC，BC，
由作图可得OC=OB=BC=OA=1，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO=∠OCB=∠BOC=60°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠ACB=90°，
∴AC=，
∴AD=AC=，
∴ 点D表示的数为；
故答案为：.
【分析】先得到△OBC是等边三角形，然后得到∠ACB=90°，根据勾股定理求出AC长解题即可.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）根据周长相等可得：2(a+b-c+a)=c-b+b-a+b+b+c-b+c+c-a，
整理得c-a=，
（2）根据面积相等得到a(a+b-c)=c2-a2-b2+a(a+b-c)，
解得：
故答案为：，.
【分析】（1）分别表示阴影部分的周长，根据周长相等得到c-a的值即可；
（2）分别表示阴影部分的面积，根据面积相等列代数式，整理求出关系式即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可；
（2）利用平方差公式计算解题.
18．【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，然后得到b的值，代入计算解题即可.
19．【答案】（1）证明：∵，∴．
∵点E为中点，∴为的中位线．
∴．
（2）解：∵，，，
∴．
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可得到为的中位线，根据中位线性质定理解答即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，然后根据三角形的中位线定理解答即可.
20．【答案】（1）证明：∵，∴，．
又∵，∴≌．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是菱形．
理由：∵平分，，
又∵，∴，
∴．
又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据AAS得到≌，即可得到，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解题；
（2）根据角平分线的定义可得， 即可得到，然后根据等角对等边得到，即可得到四边形是菱形.
21．【答案】（1）解：作于点H，在上取点P，使．
∵，，∴．
∵，∴．
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为
（2）解：，．
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）作于点H，在上取点P，使．根据30°的直角三角形的性质求出AH长，然后根据勾股定理求出PH长解题即可；
（2）先求出平移后的球机安装位置，然后根据有理数的减法解题即可.
22．【答案】（1）证明：∵，，，，
∴，．
∵，∴．
∴．
（2）解：①设，则，．
∵，∴．
即．
解得．即的长为；
②．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（2）②∵，
即，
整理得：，
故答案为：.
【分析】（1）根据勾股定理求出AC2和BC2，即可得到解题即可；
（2）根据勾股定理得到，整理计算解题.
23．【答案】（1）解：∵菱形，，，
∴，，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴．
∴，．
∴；
（2）解：①作于点H．∵，∴．
∵，∴，．
∴．
∴．
②5或7．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】（2）②解：如图，过点O作OG⊥AB于点G，则OG=，，
又∵，
∴AF=AG+GF=7或AF=AG-GF=5；
故答案为：5或7.
【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABD是等边三角形，即可得到CD长，然后根据勾股定理得到OC长，利用三角形的面积公式计算解题；
（2）①作于点H，根据30°的直角三角形的性质得到EH和CH长，然后根据勾股定理解题即可；
②过点O作OG⊥AB于点G，根据勾股定理求出FG和AG长，然后根据线段的和差解题即可.
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
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