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浙江省绍兴市诸暨市星光联盟2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
1．（2025八下·诸暨期中） 选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1、发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，判断每个选项是否符合这两个条件.
2．（2025八下·诸暨期中）引体向上是我市初中毕业生体育学业考试男生自主选考科目之一．现有10位男生成绩如下：7，3，11，11，8，8，2，8，9，3（单位：个），10位男生引体向上的平均成绩为
A．9个 B．8个 C．7个 D．11个
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：10位男生引体向上的平均成绩为：10×(2+2×3+7+3×8+9+2×11)=7(个)，
故答案为：C.
【分析】将所有数据之和除以数据的个数.
3．（2025八下·诸暨期中） 下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，错误，不能合并；
B.，错误；
C.，错误；
D.，正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法法则，判断选项A、B；根据二次根式的乘除法法则，判断选项C、D.
4．（2025八下·诸暨期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 　 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为这组数据有唯一的众数，
所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10，
中位数都是9．
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此结合题意可得缺失的数据可能是9或10；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此找出这组数据的中位数即可.
5．（2025八下·诸暨期中）用反证法证明 “若实数 满足 ， 则 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（　　）
A． 中至多有一个是 0 B． 中至少有两个是 0
C． 都不等于 0 D． 都等于 0
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a，b是否等于0总共有①a等于0，b不等于0；②a不等于0，b等于0；③a、b都等于0；④a、b都不等于0四种情况，命题结论中“a，b中至少有一个是0”包含了前面三种情况，故用反证法应设a、b都不等于0.
故答案为：C
【分析】当直接证明一个命题为真有困难时，我们可采用反证法证明，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
6．（2025八下·诸暨期中）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、添加条件BD=CE，无法证明四边形BCED为平行四边形，符合题意；
B、∵ ABCD，
∴AE//BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C不符合题意；
∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵∠BDC=∠ECD
∴BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】添加条件BD=CE，无法得到四边形BCED为平行四边形，A符合题意；
添加条件AD=DE后，证明DE=BC，根据DE//BC，进而可得结论，B不符合题意；
添加条件BD//CE，根据AE//BC，从而证明结论，C不符合题意；
添加条件∠BDC=∠ECD，可证BD//CE，根据AE//BC进而证明结论，D不符合题意.
7．（2025八下·诸暨期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：k-1≠0且 =(-2k)2-4(k-1)×(k-3)≥0，
解得且k≠1.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k-1≠0且 ≥0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可.
8．（2025八下·诸暨期中）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°
∴∠ACB=120°-80°=40°
∴∠CAB=180°-120°=60°
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∴
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的内角和外角性质，通过计算三角形的内角来推导出正多边形的内角，进而求解正多边形的边数.
9．（2025八下·诸暨期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程x2-3x+2=0是倍根方程；②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则 4m2-5mn+n2=③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若关于x的方程ax2+b+c=0是倍根方程，则2b2=9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①解方程x2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
解得，x1=2，x2=1，得，x1=2x2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；
②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2-5mn+n2=(m-n)(4m-n)≠0，故②错误；
③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+b+c=0的根为：
，
，
若x1=2x2，则
，
即
∴
∴，
∴，
∴9(b2-4ac)=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，
，
则，
∴
∴，
∴，
∴b2=9(b2-4ac)，
∴2b2=9ac，故④正确；
综上所述，正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可.
10．（2025八下·诸暨期中）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵E(0，5)，F(-5，0)，
∴，解得
∴直线EF的解析式为y=x+5，
设C(x，x+5)，
∵四边形ACBD是平行四边形，A(0，8)，B(0，-2)，
∴D(-x，1-x)，
∴CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=x+5，设C(x，x+5)，根据平行四边形的性质得D(-x，1-x)由勾股定理可得CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值.
11．（2025八下·诸暨期中）若代数式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x+1≥0，解得x≥-1.
故答案为：.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即对于，必须满足a≥0.
12．（2025八下·诸暨期中） 计算： 　 　　 　。
【答案】5；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：5，.
【分析】本题考查的是二次根式的性质：；，根据性质依次解题即可.，
13．（2025八下·诸暨期中）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 　 　（填“甲”或“乙”）.
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
14．（2025八下·诸暨期中）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】根据内角和定理180° （n﹣2）即可求得．
15．（2025八下·诸暨期中）已知，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴x=2，，
则
.
故答案为：.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案.
16．（2025八下·诸暨期中）若是关于的方程的解，则的值为 　 　．
【答案】2021
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵x=2是关于x的方程mx2-nx=6的解，
∴4m-2n=6，
即2m-n=3，
∴2024-2m+n=2024-(2m-n)=2024-3=2021
故答案为：2021.
【分析】把x=2代入方程mx2-nx=6得出4m-2n=6，求出2m-n=3，再代入求出答案即可.
17．（2025八下·诸暨期中）如图，是三角形的中位线，平分，且，若，，则的长为 　 　.
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是三角形ABC的中位线，BC=11，
∴，
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=7，
则，
∴EF=DE-DF=5.5-3.5=2，
故答案为：2.
【分析】利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质来求解EF的长度.
18．（2025八下·诸暨期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　 　．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
由题意可得：25(1+x)2=36，
整理得，25x2+50x-11=0，
解得：x1=0.2，x2=-2.2(舍去)；
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
故答案为：20%.
【分析】已知初始值、终值和增长期数，可通过复利公式建立方程求解增长率.
19．（2025八下·诸暨期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为　 　．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
20．（2025八下·诸暨期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 AB的中点F，连接 NF、ME，
∵∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵AM=MD，AF=FB，
∴MF是△ABD的中位线，
∴，MF//BC，
∴∠AFM=∠CBA，
同理，，NF//AC
∴∠BFN=∠CAB，
∴∠AFM∠BEN=∠CAB+∠CBA=90°
∴∠MFN=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】取AB的中点F，连接 NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA=90°，根据三角形中位线定理分别求出ME、NF，以及∠MEN=90°，根据勾股定理计算，得到答案.
21．（2025八下·诸暨期中）计算
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.
22．（2025八下·诸暨期中）解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解： =32-4×2×(-1)=17
（2）解：(x-3)(x-4)=0
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用公式法求解；
(2)利用提取公因式法求解.
23．（2025八下·诸暨期中）为了解诸暨某校九年级学生的科学实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）．请根据相关信息，解答下列问题：
（1） 本次采用的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”），在图（2）中，“①”的描述应为“7分”所对应的圆心角度数　 　；
（2）求抽取学生实验操作得分数据众数和中位数；
（3）若该校九年级共有1200名学生，估计该校科学实验操作得满分的学生有多少人？
【答案】（1）抽样调查；
（2）解：由图表得知，众数是9分；
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，因此中位数为8分.
（3）解：根据题意得：17.5%×1200=210(人)，
答：估计该校科学实验操作得满分的学生有210人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
24．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
25．（2025八下·诸暨期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价元．
（1）降价后平均每天的销售量为　 　，每台的利润为　 　．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
【答案】（1）24+4x；60-5x
（2）解：依题意，可列方程：
(60-5x)(24+4x)=1540，
解方程得：，
答：x的值为1或5
（3）解：不能。依题意，可列方程：（60-5x）（24+4x）=2000，
化简得x2-6x+28=0，
Δ=（-6）2-4×1×28=-76＜0．
故方程无实数根．
故该电风扇每天销售利润不能达到2000元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)降价后平均每天的销售量：24+5x÷5×4=24+4x，降价后销售的每台利润：60-5x；
故答案为：24+4x；60-5x.
【分析】(1)降价后平均每天的销售量=24+降价的钱数÷5×4，每台的利润=原利润-降价；
(2)根据每台的盈利×销售的件数=1540元，即可列方程求解；
(3)根据每台的盈利×销售的件数=2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解.
26．（2025八下·诸暨期中）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒．
（1）当点从向运动时，　 　，　 　；当点从向运动时，　 　；（用含的代数式表示）．
（2）当直线恰好平分的面积时，求的值．
（3）如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）；；
（2）解：当直线PQ经过 ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ABCD的面积，
∵ ABCD，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠BCA.
∵AO=CO，∠AOP=∠COQ，
∴△AOP △COQ.
∴AP=CQ.
∴5t=12-2t或24-5t=12-2t，
解得或t=4
（3）解：设平行四边形的高为h，则平行四边形的面积
为12h，
当时，PM=6-5t，QN=6-2t，
由题意得，，
解得；
当时，PM=5t-6，QN=6-2t，
由题意得，，
解得(舍去)；
当时，PM=18-5t，QN=6-2t，
由题意得，，
解得 (舍去)；
当时，PM=18-5t，QN=2t-6.
由题意得，，
解得(舍去)；
当时，PM=5t-18，QN=2t-6，
由题意得，，
解得；
综上，的值为或
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市星光联盟2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
1．（2025八下·诸暨期中） 选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1、发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·诸暨期中）引体向上是我市初中毕业生体育学业考试男生自主选考科目之一．现有10位男生成绩如下：7，3，11，11，8，8，2，8，9，3（单位：个），10位男生引体向上的平均成绩为
A．9个 B．8个 C．7个 D．11个
3．（2025八下·诸暨期中） 下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·诸暨期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 　 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．（2025八下·诸暨期中）用反证法证明 “若实数 满足 ， 则 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（　　）
A． 中至多有一个是 0 B． 中至少有两个是 0
C． 都不等于 0 D． 都等于 0
6．（2025八下·诸暨期中）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·诸暨期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·诸暨期中）淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2025八下·诸暨期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程x2-3x+2=0是倍根方程；②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则 4m2-5mn+n2=③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若关于x的方程ax2+b+c=0是倍根方程，则2b2=9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
10．（2025八下·诸暨期中）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
11．（2025八下·诸暨期中）若代数式有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025八下·诸暨期中） 计算： 　 　　 　。
13．（2025八下·诸暨期中）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 　 　（填“甲”或“乙”）.
14．（2025八下·诸暨期中）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是　 　．
15．（2025八下·诸暨期中）已知，则的值为 　 　．
16．（2025八下·诸暨期中）若是关于的方程的解，则的值为 　 　．
17．（2025八下·诸暨期中）如图，是三角形的中位线，平分，且，若，，则的长为 　 　.
18．（2025八下·诸暨期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　 　．
19．（2025八下·诸暨期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为　 　．
20．（2025八下·诸暨期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　．
21．（2025八下·诸暨期中）计算
（1）；
（2）
22．（2025八下·诸暨期中）解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
23．（2025八下·诸暨期中）为了解诸暨某校九年级学生的科学实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）．请根据相关信息，解答下列问题：
（1） 本次采用的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”），在图（2）中，“①”的描述应为“7分”所对应的圆心角度数　 　；
（2）求抽取学生实验操作得分数据众数和中位数；
（3）若该校九年级共有1200名学生，估计该校科学实验操作得满分的学生有多少人？
24．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
25．（2025八下·诸暨期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价元．
（1）降价后平均每天的销售量为　 　，每台的利润为　 　．
（2）若要使每天销售利润达到1540元，求的值．
（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
26．（2025八下·诸暨期中）如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒．
（1）当点从向运动时，　 　，　 　；当点从向运动时，　 　；（用含的代数式表示）．
（2）当直线恰好平分的面积时，求的值．
（3）如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，判断每个选项是否符合这两个条件.
2．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：10位男生引体向上的平均成绩为：10×(2+2×3+7+3×8+9+2×11)=7(个)，
故答案为：C.
【分析】将所有数据之和除以数据的个数.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，错误，不能合并；
B.，错误；
C.，错误；
D.，正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法法则，判断选项A、B；根据二次根式的乘除法法则，判断选项C、D.
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为这组数据有唯一的众数，
所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10，
中位数都是9．
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此结合题意可得缺失的数据可能是9或10；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此找出这组数据的中位数即可.
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a，b是否等于0总共有①a等于0，b不等于0；②a不等于0，b等于0；③a、b都等于0；④a、b都不等于0四种情况，命题结论中“a，b中至少有一个是0”包含了前面三种情况，故用反证法应设a、b都不等于0.
故答案为：C
【分析】当直接证明一个命题为真有困难时，我们可采用反证法证明，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、添加条件BD=CE，无法证明四边形BCED为平行四边形，符合题意；
B、∵ ABCD，
∴AE//BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C不符合题意；
∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵∠BDC=∠ECD
∴BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】添加条件BD=CE，无法得到四边形BCED为平行四边形，A符合题意；
添加条件AD=DE后，证明DE=BC，根据DE//BC，进而可得结论，B不符合题意；
添加条件BD//CE，根据AE//BC，从而证明结论，C不符合题意；
添加条件∠BDC=∠ECD，可证BD//CE，根据AE//BC进而证明结论，D不符合题意.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：k-1≠0且 =(-2k)2-4(k-1)×(k-3)≥0，
解得且k≠1.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k-1≠0且 ≥0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可.
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°
∴∠ACB=120°-80°=40°
∴∠CAB=180°-120°=60°
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∴
故答案为：C.
【分析】利用正多边形的内角和外角性质，通过计算三角形的内角来推导出正多边形的内角，进而求解正多边形的边数.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①解方程x2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
解得，x1=2，x2=1，得，x1=2x2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；
②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2-5mn+n2=(m-n)(4m-n)≠0，故②错误；
③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+b+c=0的根为：
，
，
若x1=2x2，则
，
即
∴
∴，
∴，
∴9(b2-4ac)=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，
，
则，
∴
∴，
∴，
∴b2=9(b2-4ac)，
∴2b2=9ac，故④正确；
综上所述，正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵E(0，5)，F(-5，0)，
∴，解得
∴直线EF的解析式为y=x+5，
设C(x，x+5)，
∵四边形ACBD是平行四边形，A(0，8)，B(0，-2)，
∴D(-x，1-x)，
∴CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=x+5，设C(x，x+5)，根据平行四边形的性质得D(-x，1-x)由勾股定理可得CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x+1≥0，解得x≥-1.
故答案为：.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即对于，必须满足a≥0.
12．【答案】5；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：5，.
【分析】本题考查的是二次根式的性质：；，根据性质依次解题即可.，
13．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
14．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】根据内角和定理180° （n﹣2）即可求得．
15．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴x=2，，
则
.
故答案为：.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案.
16．【答案】2021
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵x=2是关于x的方程mx2-nx=6的解，
∴4m-2n=6，
即2m-n=3，
∴2024-2m+n=2024-(2m-n)=2024-3=2021
故答案为：2021.
【分析】把x=2代入方程mx2-nx=6得出4m-2n=6，求出2m-n=3，再代入求出答案即可.
17．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是三角形ABC的中位线，BC=11，
∴，
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=7，
则，
∴EF=DE-DF=5.5-3.5=2，
故答案为：2.
【分析】利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质来求解EF的长度.
18．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
由题意可得：25(1+x)2=36，
整理得，25x2+50x-11=0，
解得：x1=0.2，x2=-2.2(舍去)；
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
故答案为：20%.
【分析】已知初始值、终值和增长期数，可通过复利公式建立方程求解增长率.
19．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
20．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 AB的中点F，连接 NF、ME，
∵∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵AM=MD，AF=FB，
∴MF是△ABD的中位线，
∴，MF//BC，
∴∠AFM=∠CBA，
同理，，NF//AC
∴∠BFN=∠CAB，
∴∠AFM∠BEN=∠CAB+∠CBA=90°
∴∠MFN=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】取AB的中点F，连接 NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA=90°，根据三角形中位线定理分别求出ME、NF，以及∠MEN=90°，根据勾股定理计算，得到答案.
21．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.
22．【答案】（1）解： =32-4×2×(-1)=17
（2）解：(x-3)(x-4)=0
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用公式法求解；
(2)利用提取公因式法求解.
23．【答案】（1）抽样调查；
（2）解：由图表得知，众数是9分；
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，因此中位数为8分.
（3）解：根据题意得：17.5%×1200=210(人)，
答：估计该校科学实验操作得满分的学生有210人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
25．【答案】（1）24+4x；60-5x
（2）解：依题意，可列方程：
(60-5x)(24+4x)=1540，
解方程得：，
答：x的值为1或5
（3）解：不能。依题意，可列方程：（60-5x）（24+4x）=2000，
化简得x2-6x+28=0，
Δ=（-6）2-4×1×28=-76＜0．
故方程无实数根．
故该电风扇每天销售利润不能达到2000元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)降价后平均每天的销售量：24+5x÷5×4=24+4x，降价后销售的每台利润：60-5x；
故答案为：24+4x；60-5x.
【分析】(1)降价后平均每天的销售量=24+降价的钱数÷5×4，每台的利润=原利润-降价；
(2)根据每台的盈利×销售的件数=1540元，即可列方程求解；
(3)根据每台的盈利×销售的件数=2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解.
26．【答案】（1）；；
（2）解：当直线PQ经过 ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ABCD的面积，
∵ ABCD，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠BCA.
∵AO=CO，∠AOP=∠COQ，
∴△AOP △COQ.
∴AP=CQ.
∴5t=12-2t或24-5t=12-2t，
解得或t=4
（3）解：设平行四边形的高为h，则平行四边形的面积
为12h，
当时，PM=6-5t，QN=6-2t，
由题意得，，
解得；
当时，PM=5t-6，QN=6-2t，
由题意得，，
解得(舍去)；
当时，PM=18-5t，QN=6-2t，
由题意得，，
解得 (舍去)；
当时，PM=18-5t，QN=2t-6.
由题意得，，
解得(舍去)；
当时，PM=5t-18，QN=2t-6，
由题意得，，
解得；
综上，的值为或
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
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