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浙江省杭州市拱墅区2025初中学业水平模拟考试数学试题卷
1．（2025·拱墅模拟） 某同学家的冰箱有冷藏室、零度保鲜室和冷冻室三层，分别设置温度为、和. 这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·拱墅模拟） 近年来，人工智能大型模型的参数量飞速增长.某大型模型的参数量约为1750000000个，数据1750000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·拱墅模拟） 若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．（2025·拱墅模拟） 是锐角三角形，且 ，则 可能的度数是 (　　)
A． B． C． D．
5．（2025·拱墅模拟） 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·拱墅模拟） 如图，AB是的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD. 若，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（2025·拱墅模拟） 下列等式变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2025·拱墅模拟） 如图，在方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·拱墅模拟） 反比例函数的图象上有A(， ， 2m， 3m)三点， (　　)
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
10．（2025·拱墅模拟）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则 AG·GB 是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2025·拱墅模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·拱墅模拟） 化简：　 　.
13．（2025·拱墅模拟） 下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米），他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米，若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择　 　（填“甲”“乙”“丙”中的一个）.
成绩(米) 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80
乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84
丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85
14．（2025·拱墅模拟） 若一次函数 的图象过点 ，，其中 ，则 　 　.
15．（2025·拱墅模拟） 在图中，中，， BD是的角平分线，点在BD上，过点E作，交AB于点.若，，，则　 　.
16．（2025·拱墅模拟） 在直角坐标系中，设二次函数 (m，n为实数)，若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是　 　.
17．（2025·拱墅模拟）计算：.
18．（2025·拱墅模拟）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上.
19．（2025·拱墅模拟）如图，在中，AB=AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线.
（1） 若，求的度数.
（2） 求证：.
20．（2025·拱墅模拟）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间(单位：分钟)，随机调查了3位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数直方图(每组合前一个边界值，不含后一个边界值)，调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟.
某社区18周岁及以上居民
每日平均锻炼时间的频数表
组别(分钟) 频数
0~20 32
20~40 48
40~60 60
60~80 a
80~100 20
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数直方图
（1） 求a的值，并补全频数直方图.
（2） 写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由.
21．（2025·拱墅模拟）如图，直线 ，连接 AB，作 的平分线 BC，交 AM 于点 C.
（1） 求证：.
（2） 圆圆说：“以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，交 BN 于点 D，则四边形 ABCD 为菱形.”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形 ABCD 为菱形的点 D 的方法.
22．（2025·拱墅模拟）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示.已知投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg.
（1） 求投放8 kg塑料的奖励积分.
（2） 求a的值.
（3） 若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值.
23．（2025·拱墅模拟）在直角坐标系中，设二次函数 ，记 为 M， 为 N.
（1） 若 ，，
① 求函数 y 的图像的对称轴；
② 分别求当 x 取函数图象顶点横坐标时，M， N 的值.
（2） 若 M， N 的值互为相反数，说明此时 x 的取值（可用含 a， b， c 的代数式表示）.
24．（2025·拱墅模拟）如图，点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'对角线的交点，边且过点O，与边BC交于点E，A'D'与边DC交于点F，连接OO'，已知，.
（1） 求证：重叠部分的四边形A'PCE是矩形.
（2） 若，求a的值.
（3） 若正方形ABCD和正方形A'B'C'D'分别绕点O和点O'顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得
即这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高：
故答案为：D .
【分析】根据题意列出算式 然后根据有理数的减法法则计算即可得.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为： C .
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
3．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为0，
∴x+2=0，x-4≠0，
解得：x=-2，
故答案为：D .
【分析】根据分式的值为零的条件分子为零，分母不为零解答即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设 则
根据题意得：
解得：
故答案为：D .
【分析】设 利用三角形内角和定理，可得出 结合 是锐角三角形，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，进而可得出. 度数的范围，再对照四个选项，即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是
故答案为：D .
【分析】根据概率公式计算即可求得答案.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
故答案为：C .
【分析】根据圆周角定理求出. 根据直角三角形的性质求出. 再根据圆周角定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A.若 当 时， 当 时， x为任意数，因此选项A不符合题意；
B.若 而 所以 因此选项B符合题意；
C.若 则 因此选项C不符合题意；
D.若 则 而 因此选项D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据等式的性质，分式方程的解法，分式有意义的条件以及偶次方、算术平方根的定义逐项进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知， 的等腰三角形，它的对称轴是底边AB的中线所在的直线，即 的对称轴经过格点
故答案为：C .
【分析】根据轴对称的性质解答即可.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：分别将点A(x1， m)， B(x2， 2m)， C(x3， 3m)坐标代入解析式得：
故选项A正确，符合题意；
故选项B错误，不符合题意；
故选项C错误，不符合题意；
故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图， 连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P，
在矩形ABCD中， 直线OP垂直平分BC，
∵EF∥BC，
∴直线OP垂直平分GH，
∵点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OA=OE，
∴点A、E、B、C、F、D共圆，
∴△EGA∽△BGF，
∴AG·GB=GF·EG=3×1=3.
故答案为：B .
【分析】连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P， 利用条件证明出点A、E、B、C、F、D共圆，再利用条件判定 根据相似三角形性质得到AG·GB=GF·EG=3×1=3即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变.
13．【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲的成绩在2.80至2.95之间波动， 乙的成绩在2.83至2.88之间波动， 丙的成绩在2.70至2.90之间波动，∴乙的方差最小，成绩最稳定，
∴应选择乙.
故答案为： 乙.
【分析】根据方差的定义解答即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.
14．【答案】-1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象过点(1，m)， (m，1)，
解得：
故答案为：
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的方程组，解之即可得出结论.
15．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H， 则∠BHD =∠C =90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠HBD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△HBD≌△CBD(AAS)
∵EF⊥BD于点E，
∴∠BEF = 90°，
∵BE=4， BF=5，
∴BD=BE+DE=4+3=7，
故答案为：
【分析】作DH⊥AB于点H， 则∠BHD=∠C=90°， 而∠HBD=∠CBD， BD=BD， 可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，根据勾股定理求得DE =EF=3， 则BD=7， 由余弦的定义求出BH长，即可求出BC长解题.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 点，点 代入 得到，
∴
故答案为： .
【分析】把两点坐标代入得到用m，n表示k1，k2的代数式，然后求差计算解题即可.
17．【答案】解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、绝对值和算术平方根，然后加减解题即可.
18．【答案】解：
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1进行计算，即可解答.
19．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC =∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°， 且∠A =40°，
∴2∠C+40°=180°，
∴∠C=70°，
∵BD是边AC上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠C=20°，
∴∠CBD的度数是20°
（2）证明：在AD上取一点F， 使FD=CD， 连接FB， 分别取AB、FB的中点H、L， 连接EH、DL、HL，
∵BE是边AC上的中线，
∴点E是AC的中点，
∴EH∥BC， 且
且
且.
∴四边形DEHL是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由AB=AC， 得∠ABC =∠C， 而∠A =40°， 所以2∠C+40°=180°， 求得∠C = 70°， 因为BD是边AC上的高， 所以∠BDC=90°， 则∠CBD=20°；
(2)在AD上取一点F， 使FD=CD， 连接FB， 分别取AB、FB的中点H、L， 连接EH、DL、HL，因为BE是边AC上的中线，所以点E是AC的中点， 则EH∥DL∥BC， 且. 所以四边形DEHL是平行四边形，则HL=DE，所以AF=2HL=2DE， 即可证明结论.
20．【答案】（1）解：
补全的频数分布直方图如下所示，
（2）解：这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40~60这一组，
理由： 某社区随机调查了200位18周岁及以上居民，∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40~60这一组
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；中位数
【解析】【分析】(1)根据频数分布表中的数据，可以计算出a的值，然后将频数分布直方图补充完整即可；
(2)先写出中位数所在的组别，然后根据频数分布表中的数据，通过计算说明即可.
21．【答案】（1）证明：∵AC∥BN，
∵BC平分
（2）解：圆圆的说法错误.如图，点D的位置不唯一， 四边形ABDC不一定是菱形.
正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
【知识点】菱形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)欲证明 只要证明 即可；
(2)点D不唯一，圆圆的说法错误.正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
22．【答案】（1）解：投放塑料超过5kg后，奖励积分为(300-100)÷(10-5)=40(分/kg)，
100+40×(8--5)=220(分)。
答：投放8kg塑料的奖励积分为220分
（2）解：，
解得a=18
（3）解：①当时，，无解；
②当时，，
解得；
③当时，，
解得 ；
综上，或
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】(1)求出投放塑料超过5kg后每千克的奖励积分，从而计算投放8kg塑料的奖励积分即可；
(2)根据题意列关于a的方程并求解即可；
(3)按照m不同的取值范围，根据题意列关于m的方程并求解即可.
23．【答案】（1）解：①，
对称轴：；
②，，
当时，，
（2）解：，
，
，
解得：
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)①依据题意， 由 ，从而可得对称轴是直线 进而得解；
②依据题意，当 时， 进而可以得解；
(2)依据题意，由M，N的值互为相反数，可得 即 进而计算可以得解.
24．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD和正方形
∴四边形是矩形
（2）解：连接 作 于点H，
∵点O是正方形ABCD对角线的交点，且，
∵点 是正方形对角线的交点，
（3）解：作 于点H，
由 (2) 知(
∵点 是正方形 对角线的交点，
∴正方形 的边长为6，
∵重叠部分的四边形恰好为正方形，
∴正方形ABCD和正方形 的对角线重合，
∴点A、A'、O、O'、C、C'共线，
如图，重叠部分的四边形 的对角线为
∴重叠部分的四边形 的L边长
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
1 / 1浙江省杭州市拱墅区2025初中学业水平模拟考试数学试题卷
1．（2025·拱墅模拟） 某同学家的冰箱有冷藏室、零度保鲜室和冷冻室三层，分别设置温度为、和. 这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得
即这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高：
故答案为：D .
【分析】根据题意列出算式 然后根据有理数的减法法则计算即可得.
2．（2025·拱墅模拟） 近年来，人工智能大型模型的参数量飞速增长.某大型模型的参数量约为1750000000个，数据1750000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为： C .
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
3．（2025·拱墅模拟） 若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为0，
∴x+2=0，x-4≠0，
解得：x=-2，
故答案为：D .
【分析】根据分式的值为零的条件分子为零，分母不为零解答即可.
4．（2025·拱墅模拟） 是锐角三角形，且 ，则 可能的度数是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设 则
根据题意得：
解得：
故答案为：D .
【分析】设 利用三角形内角和定理，可得出 结合 是锐角三角形，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，进而可得出. 度数的范围，再对照四个选项，即可得出结论.
5．（2025·拱墅模拟） 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球，
∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是
故答案为：D .
【分析】根据概率公式计算即可求得答案.
6．（2025·拱墅模拟） 如图，AB是的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD. 若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
故答案为：C .
【分析】根据圆周角定理求出. 根据直角三角形的性质求出. 再根据圆周角定理求解即可.
7．（2025·拱墅模拟） 下列等式变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A.若 当 时， 当 时， x为任意数，因此选项A不符合题意；
B.若 而 所以 因此选项B符合题意；
C.若 则 因此选项C不符合题意；
D.若 则 而 因此选项D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据等式的性质，分式方程的解法，分式有意义的条件以及偶次方、算术平方根的定义逐项进行判断即可.
8．（2025·拱墅模拟） 如图，在方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知， 的等腰三角形，它的对称轴是底边AB的中线所在的直线，即 的对称轴经过格点
故答案为：C .
【分析】根据轴对称的性质解答即可.
9．（2025·拱墅模拟） 反比例函数的图象上有A(， ， 2m， 3m)三点， (　　)
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：分别将点A(x1， m)， B(x2， 2m)， C(x3， 3m)坐标代入解析式得：
故选项A正确，符合题意；
故选项B错误，不符合题意；
故选项C错误，不符合题意；
故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
10．（2025·拱墅模拟）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则 AG·GB 是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图， 连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P，
在矩形ABCD中， 直线OP垂直平分BC，
∵EF∥BC，
∴直线OP垂直平分GH，
∵点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OA=OE，
∴点A、E、B、C、F、D共圆，
∴△EGA∽△BGF，
∴AG·GB=GF·EG=3×1=3.
故答案为：B .
【分析】连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P， 利用条件证明出点A、E、B、C、F、D共圆，再利用条件判定 根据相似三角形性质得到AG·GB=GF·EG=3×1=3即可.
11．（2025·拱墅模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．（2025·拱墅模拟） 化简：　 　.
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变.
13．（2025·拱墅模拟） 下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米），他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米，若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择　 　（填“甲”“乙”“丙”中的一个）.
成绩(米) 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80
乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84
丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85
【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲的成绩在2.80至2.95之间波动， 乙的成绩在2.83至2.88之间波动， 丙的成绩在2.70至2.90之间波动，∴乙的方差最小，成绩最稳定，
∴应选择乙.
故答案为： 乙.
【分析】根据方差的定义解答即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.
14．（2025·拱墅模拟） 若一次函数 的图象过点 ，，其中 ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象过点(1，m)， (m，1)，
解得：
故答案为：
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的方程组，解之即可得出结论.
15．（2025·拱墅模拟） 在图中，中，， BD是的角平分线，点在BD上，过点E作，交AB于点.若，，，则　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H， 则∠BHD =∠C =90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠HBD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△HBD≌△CBD(AAS)
∵EF⊥BD于点E，
∴∠BEF = 90°，
∵BE=4， BF=5，
∴BD=BE+DE=4+3=7，
故答案为：
【分析】作DH⊥AB于点H， 则∠BHD=∠C=90°， 而∠HBD=∠CBD， BD=BD， 可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，根据勾股定理求得DE =EF=3， 则BD=7， 由余弦的定义求出BH长，即可求出BC长解题.
16．（2025·拱墅模拟） 在直角坐标系中，设二次函数 (m，n为实数)，若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 点，点 代入 得到，
∴
故答案为： .
【分析】把两点坐标代入得到用m，n表示k1，k2的代数式，然后求差计算解题即可.
17．（2025·拱墅模拟）计算：.
【答案】解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、绝对值和算术平方根，然后加减解题即可.
18．（2025·拱墅模拟）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上.
【答案】解：
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1进行计算，即可解答.
19．（2025·拱墅模拟）如图，在中，AB=AC，BD，BE分别是边AC上的高线和中线.
（1） 若，求的度数.
（2） 求证：.
【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC =∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°， 且∠A =40°，
∴2∠C+40°=180°，
∴∠C=70°，
∵BD是边AC上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠C=20°，
∴∠CBD的度数是20°
（2）证明：在AD上取一点F， 使FD=CD， 连接FB， 分别取AB、FB的中点H、L， 连接EH、DL、HL，
∵BE是边AC上的中线，
∴点E是AC的中点，
∴EH∥BC， 且
且
且.
∴四边形DEHL是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由AB=AC， 得∠ABC =∠C， 而∠A =40°， 所以2∠C+40°=180°， 求得∠C = 70°， 因为BD是边AC上的高， 所以∠BDC=90°， 则∠CBD=20°；
(2)在AD上取一点F， 使FD=CD， 连接FB， 分别取AB、FB的中点H、L， 连接EH、DL、HL，因为BE是边AC上的中线，所以点E是AC的中点， 则EH∥DL∥BC， 且. 所以四边形DEHL是平行四边形，则HL=DE，所以AF=2HL=2DE， 即可证明结论.
20．（2025·拱墅模拟）某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间(单位：分钟)，随机调查了3位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数直方图(每组合前一个边界值，不含后一个边界值)，调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟.
某社区18周岁及以上居民
每日平均锻炼时间的频数表
组别(分钟) 频数
0~20 32
20~40 48
40~60 60
60~80 a
80~100 20
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数直方图
（1） 求a的值，并补全频数直方图.
（2） 写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由.
【答案】（1）解：
补全的频数分布直方图如下所示，
（2）解：这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40~60这一组，
理由： 某社区随机调查了200位18周岁及以上居民，∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40~60这一组
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；中位数
【解析】【分析】(1)根据频数分布表中的数据，可以计算出a的值，然后将频数分布直方图补充完整即可；
(2)先写出中位数所在的组别，然后根据频数分布表中的数据，通过计算说明即可.
21．（2025·拱墅模拟）如图，直线 ，连接 AB，作 的平分线 BC，交 AM 于点 C.
（1） 求证：.
（2） 圆圆说：“以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，交 BN 于点 D，则四边形 ABCD 为菱形.”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形 ABCD 为菱形的点 D 的方法.
【答案】（1）证明：∵AC∥BN，
∵BC平分
（2）解：圆圆的说法错误.如图，点D的位置不唯一， 四边形ABDC不一定是菱形.
正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
【知识点】菱形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)欲证明 只要证明 即可；
(2)点D不唯一，圆圆的说法错误.正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
22．（2025·拱墅模拟）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示.已知投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg.
（1） 求投放8 kg塑料的奖励积分.
（2） 求a的值.
（3） 若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值.
【答案】（1）解：投放塑料超过5kg后，奖励积分为(300-100)÷(10-5)=40(分/kg)，
100+40×(8--5)=220(分)。
答：投放8kg塑料的奖励积分为220分
（2）解：，
解得a=18
（3）解：①当时，，无解；
②当时，，
解得；
③当时，，
解得 ；
综上，或
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】(1)求出投放塑料超过5kg后每千克的奖励积分，从而计算投放8kg塑料的奖励积分即可；
(2)根据题意列关于a的方程并求解即可；
(3)按照m不同的取值范围，根据题意列关于m的方程并求解即可.
23．（2025·拱墅模拟）在直角坐标系中，设二次函数 ，记 为 M， 为 N.
（1） 若 ，，
① 求函数 y 的图像的对称轴；
② 分别求当 x 取函数图象顶点横坐标时，M， N 的值.
（2） 若 M， N 的值互为相反数，说明此时 x 的取值（可用含 a， b， c 的代数式表示）.
【答案】（1）解：①，
对称轴：；
②，，
当时，，
（2）解：，
，
，
解得：
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)①依据题意， 由 ，从而可得对称轴是直线 进而得解；
②依据题意，当 时， 进而可以得解；
(2)依据题意，由M，N的值互为相反数，可得 即 进而计算可以得解.
24．（2025·拱墅模拟）如图，点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'对角线的交点，边且过点O，与边BC交于点E，A'D'与边DC交于点F，连接OO'，已知，.
（1） 求证：重叠部分的四边形A'PCE是矩形.
（2） 若，求a的值.
（3） 若正方形ABCD和正方形A'B'C'D'分别绕点O和点O'顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长.
【答案】（1）证明：∵正方形ABCD和正方形
∴四边形是矩形
（2）解：连接 作 于点H，
∵点O是正方形ABCD对角线的交点，且，
∵点 是正方形对角线的交点，
（3）解：作 于点H，
由 (2) 知(
∵点 是正方形 对角线的交点，
∴正方形 的边长为6，
∵重叠部分的四边形恰好为正方形，
∴正方形ABCD和正方形 的对角线重合，
∴点A、A'、O、O'、C、C'共线，
如图，重叠部分的四边形 的对角线为
∴重叠部分的四边形 的L边长
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
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