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第1课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称____)．
(2)零向量：长度为___的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于_________长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向______或______的非零向量．规定：0与任意向量______．
(5)相等向量：长度相等且方向______的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向______的向量．零向量的相反向量仍是零向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 几何意义 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向______； 当λ<0时，λa的方向与a的方向______； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
提醒：λ，μ为实数．
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______．
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
[常用结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 ＝)．
2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．
3．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；(2)＝)．
4．对于任意两个向量a，b，都有
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关． (　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝0
D．＝
2．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形　　B．菱形　　C．矩形　　D．正方形
3．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
考点一　平面向量的概念
[典例1]　 (1)下列说法正确的是(　　)
A．向量的模都是正实数
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝
B．与共线
C．与是相反向量
D．＝||
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与非零向量a同方向的单位向量．
[跟进训练]
1．(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是(　　)
A．若＝，则a＝b
B．若a＝b，则a∥b
C．若a≠b，则a与b不是共线向量
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
考点二　平面向量的线性运算
　向量加、减法的几何意义
[典例2]　若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　)
A．[3，7] B．(3，7)
C．[3，11] D．(3，11)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　向量的线性运算
[典例3]　(1)如图，O是 ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
(2)(2024·山东济南二模)在△ABC中，E为边AB的中点，＝，则＝(　　)
A．－ B．
C． D．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　根据向量的线性运算求参数
[典例4]　在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　平面向量线性运算的求解策略
(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值．
[跟进训练]
2．(1)(2025·广东中山模拟)在平行四边形ABCD中，＝＝．若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·湖北黄石模拟)如图，在四边形ABCD中，＝2＝2，设＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(3)已知单位向量e1，e2，…，e2 025，则|e1＋e2＋…＋e2 025|的最大值是________，最小值是________．
考点三　向量共线定理的应用
[典例5]　(1)(2025·浙江杭州模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
(2)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线．
[跟进训练]
3．(1)在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与a＋b共线(k∈R)，则k的值是________．
第1课时　平面向量的概念及线性运算
梳理·必备知识
1．(1)方向　模　(2)0　(3)1个单位　(4)相同　相反　平行　(5)相同　(6)相反
2．相同　相反
3．b＝λa
激活·基本技能
一、(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、1．D
2．B　[∵＝－3e，
∴，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵＝3，∴四边形ABCD是菱形，故选B．]
3．　[∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),
∴∴]
4．8　2　[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8．
又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，
当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．]
考点一
典例1　(1)C　(2)ABC　[(1)对于A，零向量的模是0，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，
若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|．
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C．
(2)对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以，故A正确；
对于B，因为DE∥AB，所以与共线，故B正确；
对于C，因为BD＝CD，所以与是相反向量，故C正确；
对于D，，故D错误．故选ABC．]
跟进训练
1．B　[对于A，若|a|＝|b|，则a，b只是大小相等，并不能说方向相同，A错误；
对于B，若a＝b，则a，b方向相同，B正确；
对于C，当a≠b时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a与b可以为共线向量，故C错误；
对于D，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，D错误．故选B．]
考点二
考向1　典例2　 C　[由题意知||＝7，||＝4，且||＝||，
当同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3；
当反向时，||取得最大值，||＝||＝|||＋|||＝|4＋7|＝11；
当不共线时，3＝|||－|||<||<|||＋|||＝11．
故||的取值范围是[3，11]．]
考向2　典例3　(1)D　(2)D　[(1)由向量减法的运算可得＝，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝．故选D．
(2)因为E为边AB的中点，＝，
所以＝＝＝＝．
故选D．]
考向3　典例4　 A　[因为D是BC的中点，所以＝＝＝．
又因为M是AD的中点，
所以＝＝－)＝－，
又＝m＋n，所以m＝－，n＝，
所以m＋n＝－．
故选A．]
跟进训练
2．(1)D　(2)C　(3)2 025　0　[(1)由题意可得＝＝＝＝＝，
又＝m＋n，
所以m＝，n＝，所以m＋n＝．
故选D．
(2)因为＝2＝2，所以＝＝＝＝＝＝＝a＋b．故选C．
(3)当单位向量e1，e2，…，e2 025方向相同时，
|e1＋e2＋…＋e2 025|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 025|max＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 025|＝2 025；
当单位向量e1，e2，…，e2 025满足e1＋e2＋…＋e2 025＝0时，|e1＋e2＋…＋e2 025|的最小值为0．]
考点三
典例5　(1)C　(2)A　[(1)对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，D三点不共线，故B错误；
对于C，因为＝＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝－，故A，C，D三点共线，故C正确；
对于D，因为＝－3e1＋2e2，＝－()＝－(e1＋2e2＋3e1－6e2)＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得＝λ，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C．
(2)延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，
∴＝＝)＝)＝＝．
∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3．故选A．]
跟进训练
3．(1)D　(2)　[(1)由＝，得＝3，
由＝＋m，得＝＋m()＝－m＝－m．
因为B，N，M三点共线，所以＝1，解得m＝．故选D．
(2)若a＋kb与a＋b共线，则设a＋kb＝λ ＝λa＋λb，
因为向量a与b不共线，所以
所以k2＋k－1＝0，解得k＝．]
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第五章　平面向量、复数
第五章　平面向量、复数
[教师备选资源]
新高考卷三年考情图解

第五章　平面向量、复数
高考命题规律把握
1．常考点：复数、向量的模及夹角．
主要考查复数的概念及运算，向量的模及夹角的运算，难度较小．
2．轮考点：向量的线性运算及数量积．
数量积侧重数量积的运算和其几何意义的理解；线性运算侧重于共线向量的应用．
第1课时
平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
链接教材·夯基固本
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称____)．
(2)零向量：长度为___的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于_________长度的向量．
方向
模
0
1个单位
(4)平行向量(共线向量)：方向______或______的非零向量．规定：0与任意向量______．
(5)相等向量：长度相等且方向______的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向______的向量．零向量的相反向量仍是零向量．
相同
相反
平行
相同
相反
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
减法 几何意义 a－b＝a＋(－b)
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
数乘 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向______； 当λ<0时，λa的方向与a的方向______； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
相同
相反
提醒：λ，μ为实数．
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______．
b＝λa
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
[常用结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 ＝ ．
2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．
3．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；(2)＝ ．
4．对于任意两个向量a，b，都有
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
)
)
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关． (　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (　　)
√
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是
(　　)
A．＝
B．＝
C．＝0
D．＝
2．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形　　B．菱形　　C．矩形　　D．正方形
√
B　[∵＝3e，＝－3e，
∴＝－，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵||＝3，∴四边形ABCD是菱形，故选B．]
3．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
　[∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),
∴∴]
4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
8　2　[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8．
又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，
当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．]
8
2
考点一　平面向量的概念
[典例1]　 (1)下列说法正确的是(　　)
A．向量的模都是正实数
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
典例精研·核心考点
√
(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝
B．与共线
C．与是相反向量
D．＝||
√
√
√
(1)C　(2)ABC　[(1)对于A，零向量的模是0，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，
若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|．
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C．
(2)对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以＝，故A正确；
对于B，因为DE∥AB，所以与共线，故B正确；
对于C，因为BD＝CD，所以与是相反向量，故C正确；
对于D，＝，故D错误．故选ABC．]
名师点评　向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与非零向量a同方向的单位向量．
[跟进训练]
1．(2025·江苏扬州模拟)下列命题中，正确的是(　　)
A．若＝，则a＝b
B．若a＝b，则a∥b
C．若a≠b，则a与b不是共线向量
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
√
B　[对于A，若|a|＝|b|，则a，b只是大小相等，并不能说方向相同，A错误；
对于B，若a＝b，则a，b方向相同，B正确；
对于C，当a≠b时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a与b可以为共线向量，故C错误；
对于D，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，D错误．故选B．]
考点二　平面向量的线性运算
考向1　向量加、减法的几何意义
[典例2]　若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　)
A．[3，7] B．(3，7)
C．[3，11] D．(3，11)
√
C　[由题意知||＝7，||＝4，且||＝||，
当同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3；
当反向时，||取得最大值，||＝||＝|||＋|||＝|4＋7|＝11；
当不共线时，3＝|||－|||<||<|||＋|||＝11．
故||的取值范围是[3，11]．]
考向2　向量的线性运算
[典例3]　(1)如图，O是 ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
√
(2)(2024·山东济南二模)在△ABC中，E为边AB的中点，＝，则＝(　　)
A．－ B．
C． D．
√
(1)D　(2)D　[(1)由向量减法的运算可得＝，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝．故选D．
(2)因为E为边AB的中点，＝，
所以＝＝＝＝
．
故选D．]
【教用·备选题】
在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
√
A　[法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝，因为＝，所以＝＝，所以＝
＝a＋b，故选A．
法二：＝＝＝)＝＝a＋b，故选A．
法三：由＝，得＝)，所以＝)＝＝a＋b，故选A．]
考向3　根据向量的线性运算求参数
[典例4]　在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．1　　　D．－1
√
A　[因为D是BC的中点，所以＝＝＝．
又因为M是AD的中点，
所以＝＝－)＝－，
又＝m＋n，所以m＝－，n＝，
所以m＋n＝－．
故选A．]
名师点评　平面向量线性运算的求解策略
(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值．
[跟进训练]
2．(1)(2025·广东中山模拟)在平行四边形ABCD中，＝＝．若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·湖北黄石模拟)如图，在四边形ABCD中，＝2＝2，设＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(3)已知单位向量e1，e2，…，e2 025，则|e1＋e2＋…＋e2 025|的最大值是________，最小值是________．
√
2 025
0
(1)D　(2)C　(3)2 025　0　[(1)由题意可得＝＝＝＝＝，
又＝m＋n，
所以m＝，n＝，所以m＋n＝．
故选D．
(2)因为＝2＝2，所以＝＝＝＝＝＝＝a＋b．故选C．
(3)当单位向量e1，e2，…，e2 025方向相同时，
|e1＋e2＋…＋e2 025|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 025|max＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 025|＝2 025；
当单位向量e1，e2，…，e2 025满足e1＋e2＋…＋e2 025＝0时，|e1＋e2＋…＋e2 025|的最小值为0．]
考点三　向量共线定理的应用
[典例5]　(1)(2025·浙江杭州模拟)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
√
(2)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
√
(1)C　(2)A　[(1)对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，D三点不共线，故B错误；
对于C，因为＝＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝
－，故A，C，D三点共线，故C正确；
对于D，因为＝－3e1＋2e2，＝－()＝－(e1＋2e2＋3e1－6e2)＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得＝λ，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C．
(2)延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，
∴＝＝)＝)＝＝．
∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3．故选A．]
名师点评　利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线．
[跟进训练]
3．(1)在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)(2024·广东广州二模)已知向量a与b不共线，若a＋kb与a＋b共线(k∈R)，则k的值是________．
√
(1)D　(2)　[(1)由＝，得＝3，
由＝＋m，得＝＋m()＝－m＝－m．
因为B，N，M三点共线，所以＝1，解得m＝．故选D．
(2)若a＋kb与a＋b共线，则设a＋kb＝λ ＝λa＋λb，
因为向量a与b不共线，所以
所以k2＋k－1＝0，解得k＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．单位向量均相等
B．单位向量e＝1
C．零向量与任意向量平行
D．零向量是唯一没有方向的向量
13
课后作业(二十九)　平面向量的概念及线性运算
√
14
C　[单位向量的模相等，但是方向不一定相同，故A错误；对于B，单位向量|e|＝1，故B错误；零向量与任意向量平行，故C正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，故D错误．]
题号
1
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2
4
6
8
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9
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12
13
14
2．(人教A版必修第二册P4例2改编)如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则＝(　　)
A．0 B．0
C． D．
题号
1
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5
2
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8
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12
13
14
√
A　[由正六边形的性质，可知△OAB与△OBC都是等边三角形， ∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是平行四边形，∴＝，
∴＝＝0，故选A．]
题号
1
3
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2
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12
13
14
3．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋2＋2＝(　　)
A． B．
C．2 D．
题号
1
3
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6
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12
13
14
√
A　[M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝－＝－，
所以＋2＋2＝＝＝＝＝．故选A．]
题号
1
3
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2
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11
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13
14
4．已知a，b是平面内两个不共线的向量，＝a＋λb，＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2
C．λμ＝1 D．＝1
题号
1
3
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12
13
14
√
C　[若A，B，C三点共线，则存在不为0的实数m，使得＝m，即a＋λb＝m(μa＋b)，
可得 所以λμ＝1．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
13
14
5．(2025·辽宁实验中学模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，能使＝一定成立的是(　　)
A．a＝－2b B．a2＝b2
C．a＝2b D．＝
题号
1
3
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13
14
√
C　[因为＝，故a，b同向．
对于A，a＝－2b，a，b方向相反，A选项错误；
对于B，a2＝b2，得出＝，不能得出方向，B选项错误；对于C，a＝2b，a，b方向相同，则＝成立，C选项正确；对于D，＝，不能确定a，b的方向，D选项错误．故选C．]
题号
1
3
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2
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6
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12
13
14
6．若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a＝0
B．存在实数λ，使得a＝λb
C．存在实数m，n，使得ma＝nb
D．|a－b|＝|a|－|b|
题号
1
3
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2
4
6
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14
√
C　[当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝，其中m，n同号，即a＝b，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C．]
题号
1
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2
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13
14
二、多项选择题
7．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是
(　　)
A．||＝||＝||
B．＝0
C．＝
D．S△MBC＝S△ABC
题号
1
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13
14
√
√
BD　[如图，M为△ABC的重心，则＝0，A错误，B正确；
＝＝
＝)＝，C错误；
由DM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确．]
题号
1
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13
14
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A．＝－
B．＝
C．＝－
D．＝
题号
1
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4
6
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13
14
√
√
√
ABC　[∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝＝－＝－，故A正确；
∵＝3，∴＝＝－，
∴＝＝＝，又F为AE的中点，∴＝＝，故B正确；
＝＝－＝－，故C正确；
＝＝＝－＝－，故D错误．]
题号
1
3
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2
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14
三、填空题
9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为________．
题号
1
3
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6
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14
－
－　[由于c与d反向共线，
则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，
整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b．
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－3λ－2＝0，
解得λ＝2或λ＝－．
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．]
题号
1
3
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6
8
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11
12
13
14
10．如图，在平行四边形ABCD中，＝4＝2，＝a＋b，则a－b＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
14
－
－　[由题意可得，＝＝＝＝＝，
所以a＝，b＝，所以a－b＝－．]
题号
1
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13
14
11．在平面上有△ABC及其内部一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”．已知点O是△ABC所在平面内一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
题号
1
3
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2
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14
√
B　[记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3，S△OAB＝c·h1，因为S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，则a·h2·b·h3·c·h1·＝0，即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，又因为a·＋b·＋c·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点O是△ABC的内心．故选B．]
题号
1
3
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2
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13
14
12．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是
(　　)
A．若＝，则＝
B．若＝2－3，则M，B，C三点共线
C．若＝λ()，＝(1－2μ)，λ，μ∈R，则λ＋μ＝
D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
14
√
√
√
ACD　[A选项，＝＝＝)＝，A正确；
B选项，假设M，B，C三点共线，则＝λ，即＝λ()，整理得＝－λ＋(1＋λ)，故当λ＝－2时，即＝2，与条件中的＝2－3不一致，所以M，B，C三点不共线，B错误；
C选项，根据＝λ()以及向量加法的
平行四边形法则，
题号
1
3
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13
14
可知点M在直线AD上，又由＝(1－2μ)，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝，1－2μ＝，即μ＝，所以λ＋μ＝，C正确；
D选项，因为＝x＋y，而x＋y＝，所以3＝3x＋3y，其中3x＋3y＝1，不妨设＝3，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．]
题号
1
3
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2
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8
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9
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13
14
13．(2025·广东佛山模拟)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若＝，则△ABC的面积为________．
题号
1
3
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2
4
6
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9
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11
12
13
14
　[如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC
分别于点E，F，
由于＝，
所以＝＝，则||＝4，||＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，故△ABC的面积S＝×5×5＝．]
题号
1
3
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2
4
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8
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13
14
14．(2024·天津和平区期末)如图，在△ABC中，＝3，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，记＝a，＝b，用a，b表示＝________；设＝m＝n，若m>0，n>0，则的最小值为________．
题号
1
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6
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14
a＋b
a＋b　　[由题知，＝＝
＝＝，
即＝b＋a．
由＝＝m＝n，
所以＝，
因为M，N，O三点共线，
题号
1
3
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2
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14
所以＝1，
所以＝
＝＋2＝，
当且仅当＝，即m＝4－8，n＝时等号成立．]
题号
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谢 谢！课后作业(二十九)　平面向量的概念及线性运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．单位向量均相等
B．单位向量e＝1
C．零向量与任意向量平行
D．零向量是唯一没有方向的向量
2．(人教A版必修第二册P4例2改编)如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则＝(　　)
A．0 B．0
C． D．
3．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋2＋2＝(　　)
A． B．
C．2 D．
4．已知a，b是平面内两个不共线的向量，＝a＋λb，＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2
C．λμ＝1 D．＝1
5．(2025·辽宁实验中学模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，能使＝一定成立的是(　　)
A．a＝－2b B．a2＝b2
C．a＝2b D．＝
6．若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a＝0
B．存在实数λ，使得a＝λb
C．存在实数m，n，使得ma＝nb
D．|a－b|＝|a|－|b|
二、多项选择题
7．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)
A．||＝||＝||
B．＝0
C．＝
D．S△MBC＝S△ABC
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A．＝－
B．＝
C．＝－
D．＝
三、填空题
9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为________．
10．如图，在平行四边形ABCD中，＝4＝2，＝a＋b，则a－b＝________．
11．在平面上有△ABC及其内部一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”．已知点O是△ABC所在平面内一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
12．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝，则＝
B．若＝2－3，则M，B，C三点共线
C．若＝λ()，＝(1－2μ)，λ，μ∈R，则λ＋μ＝
D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
13．(2025·广东佛山模拟)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若＝，则△ABC的面积为________．
14．(2024·天津和平区期末)如图，在△ABC中，＝3，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，记＝a，＝b，用a，b表示＝________；设＝m＝n，若m>0，n>0，则的最小值为________．
课后作业(二十九)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．C　[单位向量的模相等，但是方向不一定相同，故A错误；对于B，单位向量|e|＝1，故B错误；零向量与任意向量平行，故C正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，故D错误．]
2．A　[由正六边形的性质，可知△OAB与△OBC都是等边三角形， ∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四边形OABC是平行四边形，∴＝，
∴＝＝0，故选A．]
3．A　[M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝－＝－，
所以＋2＋2＝＝＝＝＝．故选A．]
4．C　[若A，B，C三点共线，则存在不为0的实数m，使得＝m，即a＋λb＝m(μa＋b)，
可得 所以λμ＝1．
故选C．]
5．C　[因为＝，故a，b同向．
对于A，a＝－2b，a，b方向相反，A选项错误；
对于B，a2＝b2，得出＝，不能得出方向，B选项错误；对于C，a＝2b，a，b方向相同，则＝成立，C选项正确；对于D，＝，不能确定a，b的方向，D选项错误．故选C．]
6．C　[当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝，其中m，n同号，即a＝b，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C．]
7．BD　[如图，M为△ABC的重心，则＝0，A错误，B正确；
＝＝
＝)＝，C错误；
由DM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确．]
8．ABC　[∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝＝－＝－，故A正确；
∵＝3，∴＝＝－，
∴＝＝＝，又F为AE的中点，∴＝＝，故B正确；
＝＝－＝－，故C正确；
＝＝＝－＝－，故D错误．]
9．－　[由于c与d反向共线，
则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，
整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b．
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－3λ－2＝0，
解得λ＝2或λ＝－．
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．]
10．－　[由题意可得，＝＝＝＝＝，
所以a＝，b＝，所以a－b＝－．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．B　[记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3，S△OAB＝c·h1，因为S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，则a·h2·b·h3·c·h1·＝0，即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，又因为a·＋b·＋c·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点O是△ABC的内心．故选B．]
12．ACD　[A选项，＝＝＝)＝，A正确；
B选项，假设M，B，C三点共线，则＝λ，即＝λ()，整理得＝－λ＋(1＋λ)，故当λ＝－2时，即＝2，与条件中的＝2－3不一致，所以M，B，C三点不共线，B错误；
C选项，根据＝λ()以及向量加法的平行四边形法则，
可知点M在直线AD上，又由＝(1－2μ)，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝，1－2μ＝，即μ＝，所以λ＋μ＝，C正确；
D选项，因为＝x＋y，而x＋y＝，所以3＝3x＋3y，其中3x＋3y＝1，不妨设＝3，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．]
13．　[如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，
由于＝，
所以＝＝，则||＝4，||＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，故△ABC的面积S＝×5×5＝．]
14．a＋b　　[由题知，＝＝
＝＝，
即＝b＋a．
由＝＝m＝n，
所以＝，
因为M，N，O三点共线，
所以＝1，
所以＝
＝＋2＝，
当且仅当＝，即m＝4－8，n＝时等号成立．]
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