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第3课时　平面向量的数量积及其应用
[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，向量夹角的取值范围是__________．
当_____时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝___．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的__________，记为________________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝____________．
(2)模：|a|＝＝__．
(3)夹角：cos θ＝＝__．
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0 _______________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立．
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
7．三角形“四心”的概念
(1)重心——三角形的三条中线的交点；
(2)垂心——三角形的三条高线的交点；
(3)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
(4)外心——三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
3．三角形的“四心”的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝．
(2)O为△ABC的重心 ＝0．
(3)O为△ABC的垂心 ＝＝．
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是 ． (　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数． (　　)
(3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
考点一　平面向量数量积的运算
[典例1]　(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________．
[四字解题]
读 想 算 思
在正方形ABCD中，点E是AB边上的动点，求的最大值 数量积的求解方法 投影法 数量积的几何意义 数形结合
基向量 法 数量积的 运算 三角形 法则
坐标法 建系，求相关点的坐标，建立函数 几何问题代数化，函数思想
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)(2024·山东青岛二模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量为________．
(2)(2025·湖北荆门模拟)如图，ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为________．
考点二　平面向量数量积的应用
　求向量的模
[典例2]　 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　向量的夹角问题
[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝＝＝，若∠BAC为锐角，则实数k的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　向量的垂直问题
[典例4]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝．
(2)利用|a|＝．
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝．
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(1)(2025·辽宁大连模拟)已知向量a＝，b＝，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
(2)已知平面向量a，b满足(a＋b)·b＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．1
(3)(多选)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|a＋b|＝，则m＝4
B．若|a＋b|＝|a－b|，则m＝
C．若a∥b，则m＝－6
D．若向量a，b的夹角为钝角，则m的取值范围是
考点三　平面向量的应用
[典例5]　(1)(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　)
A．若＝＝，则P是△ABC的垂心
B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心
C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心
D．若＝0，则N是△ABC的重心
(2)(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ．给出以下结论，其中正确的是(　　)
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝时|＝|G|
D．当θ＝时|＝|G|
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[跟进训练]
3． (1)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝(　　)
A． B．5
C．10 D．20
(2)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第3课时　平面向量的数量积及其应用
梳理·必备知识
1．[0，π]　θ＝　θ＝0　θ＝π
2．|a||b|cos θ　0
3．投影　投影向量　|a|cos θ e
5．(1)x1x2＋y1y2　(2)
(3)　(4)x1x2＋y1y2＝0
激活·基本技能
一、(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、1．A　[＝5，|b|＝＝13，
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝．]
2．－　[向量b在向量a上的投影向量为．]
3．2　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2．]
4．8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，所以＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8．]
考点一
典例1　(1)B　(2)1　1　[(1)由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．
(2)法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则＝＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使最大，只要使向量在向量上的投影向量的长度达到最大即可，因为在向量上的投影向量的长度最大为||＝1，所以()max＝||2＝1．
法二(基向量法)：因为＝且⊥，所以＝()·＝||2＝1，＝()·＝＝||||＝||，所以要使最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1．
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1．
]
跟进训练
1．(1)　(2)[4，6]　[(1)依题意，a·b＝－1×(－3)＋2×1＝5，|b|＝＝，
所以a在b上的投影向量为b＝b＝．
(2)＝，由投影的定义结合图形得，当过点P的直线与半圆弧BC相切于点P且平行于BC时，||cos ∠PAB最大为3，此时＝||·(||cos ∠PAB)＝2×3＝6．
当点P与点C或点B重合时，cos∠PAB最小为2，
此时＝＝2×2＝4，
∴∈.]
考点二
考向1　典例2　(1)B　(2)　[(1)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B．
(2)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．]
考向2　典例3　(1)C　(2)　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ＝，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝＝－6＋＋2＝－，
|a|＝＝＝，
|b|＝＝＝，
故cos〈a，b〉＝＝＝－，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝．
(2)＝＝＝＝，
因为∠BAC为锐角，
所以>0且与不是共线向量，
即
解得k∈，
所以实数k的取值范围是．]
考向3　典例4　 D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．
故选D．]
跟进训练
2．(1)C　(2)D　(3)BC　[(1)∵a＝，b＝，∴c＝a＋tb＝，
若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则＝，即＝，解得t＝5．故选C．
(2)由(a＋b)·b＝2可得a·b＋|b|2＝2，又|b|＝2可得|b|2＝4，所以a·b＝－2．|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋4－4＝1，所以|a＋b|＝1．
(3)A选项，a＋b＝(1，m＋3)，故＝，解得m＝0或m＝－6，A错误；
B选项，a－b＝(3，m－3)，|a＋b|＝|a－b|，即＝，解得m＝，B正确；
C选项，由题意得2×3－×m＝0，解得m＝－6，C正确；
D选项，若向量a，b的夹角为钝角，则a·b<0且a，b不反向共线，故－2＋3m<0且2×3＋m≠0，解得m<且m≠－6，D错误．故选BC．]
考点三
典例5　(1)ACD　(2)AD　[(1)对于A，由题意可得＝·()＝＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；
对于B，如图，设＝＝，则||＝||＝1，
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，
则＝＝，
所以＝λ＝λ，
又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；
对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确；
对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．
(2)对于A，由G＝)，所以|G|2＝|cos θ＝|2(1＋cos θ)，解得|2＝．由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时|2＝，所以|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时＝|G|2，所以|＝|G|，故D正确．故选AD．]
跟进训练
3．(1)B　(2)B　[(1)因为＝(1，2)，＝(－4，2)，
所以＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，
又||＝＝，||＝＝2，
所以四边形ABCD的面积S＝||||＝×2＝5．
(2)由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－．]
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第五章　
平面向量、复数
第3课时　平面向量的数量积及其应用
[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
链接教材·夯基固本
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，向量夹角的取值范围是__________．
当_________时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
[0，π]
θ＝
θ＝0
θ＝π
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝___．
|a||b|cos θ
0
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的__________，记为___________．
投影
投影向量
|a|cos θ e
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝____________．
(2)模：|a|＝＝_______．
(3)夹角：cos θ＝＝__________________．
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0 _______________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立．
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
7．三角形“四心”的概念
(1)重心——三角形的三条中线的交点；
(2)垂心——三角形的三条高线的交点；
(3)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；
(4)外心——三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
3．三角形的“四心”的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝．
(2)O为△ABC的重心 ＝0．
(3)O为△ABC的垂心 ＝＝．
(4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是 ． (　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数． (　　)
(3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)
×
√
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13，
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．]
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
－e　[向量b在向量a上的投影向量为e＝－e．]
－e
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2．]
2
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，所以＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8．]
8
考点一　平面向量数量积的运算
[典例1]　(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________．
典例精研·核心考点
√
1
1
[四字解题]
读 想 算 思
在正方形ABCD中，点E是AB边上的动点，求的最大值 数量积的求解方法 投影法 数量积的几何意义 数形结合
基向 量法 数量积的运算 三角形法则
坐标法 建系，求相关点的坐标，建立函数 几何问题代数化，函数思想
(1)B　(2)1　1　[(1)由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．
(2)法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则＝＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使最大，只要使向量在向量上的投影向量的长度达到最大即可，因为在向量上的投影向量的长度最大为||＝1，所以()max＝||2＝1．
法二(基向量法)：因为＝且⊥，所以＝()·＝||2＝1，＝()·＝＝||||＝||，所以要使最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1．
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1．]
【教用·备选题】
1．在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，＝2＝2，则＝(　　)
A．4　　　B．　　　C．　　　D．3
√
B　[如图所示，在平行四边形ABCD中，∵＝2，＝2，∴＝＝＝＝，∴＝＝－＋，又AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，∴||2＝16，||2＝4，＝4×2×cos 60°＝4，
∴＝．故选B．]
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则的值为________．
－　[在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝，
所以＝||||cos(π－A)
＝－||||·cos A＝－3×2×＝－．]
－
名师点评　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)(2024·山东青岛二模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量为________．
(2)(2025·湖北荆门模拟)如图，ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为________．
[4，6]
(1)　(2)[4，6]　[(1)依题意，a·b＝－1×(－3)＋2×1＝5，|b|＝＝，
所以a在b上的投影向量为b＝b＝．
(2)＝，由投影的定义结合图形得，当过点P的直线与半圆弧BC相切于点P且平行于BC时，||cos ∠PAB最大为3，此时＝||·(||cos ∠PAB)＝2×3＝6．
当点P与点C或点B重合时，cos∠PAB最小为2，
此时＝＝2×2＝4，
∴∈.]
【教用·备选题】
1．已知△ABC是边长为1的正三角形，＝2，＝2，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
√
A　[由＝2，可知E为BC的中点，所以AE⊥BC，AE＝．
在向量上的投影向量为，所以＝||2＝．]
2．(2024·浙江绍兴三模)若非零向量a，b满足＝＝，则a＋2b在b方向上的投影向量为(　　)
A．2b B．b
C．b D．b
√
B　[根据题意＝＝可得＝＝，
所以2cos 〈a，b〉＋＝0，则cos 〈a，b〉＝－，
所以a·b＝－＝－，则a＋2b在b方向上的投影向量为b＝b＝b＝b．故选B．]
考点二　平面向量数量积的应用
考向1　求向量的模
[典例2]　 (1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
√
(1)B　(2)　[(1)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B．
(2)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．]
考向2　向量的夹角问题
[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·广东深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝＝＝，若∠BAC为锐角，则实数k的取值范围是_________________．
√
(1)C　(2)　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ＝，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝＝－6＋＋2＝－，
|a|＝＝＝，
|b|＝＝＝，
故cos〈a，b〉＝＝＝－，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝．
(2)＝＝＝＝，
因为∠BAC为锐角，
所以>0且与不是共线向量，
即
解得k∈，
所以实数k的取值范围是．]
【教用·备选题】
若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为
钝角，则k的取值范围是_____________________．
　[因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，
所以4k－6－6＜0，所以k＜3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪．]
考向3　向量的垂直问题
[典例4]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．
故选D．]
√
名师点评　1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝．
(2)利用|a|＝．
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝．
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(1)(2025·辽宁大连模拟)已知向量a＝，b＝，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
(2)已知平面向量a，b满足(a＋b)·b＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．1
√
√
(3)(多选)已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，3)，则下列说法中正确的是
(　　)
A．若|a＋b|＝，则m＝4
B．若|a＋b|＝|a－b|，则m＝
C．若a∥b，则m＝－6
D．若向量a，b的夹角为钝角，则m的取值范围是
√
√
(1)C　(2)D　(3)BC　[(1)∵a＝，b＝，∴c＝a＋tb＝，
若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则＝，即＝，解得t＝5．故选C．
(2)由(a＋b)·b＝2可得a·b＋|b|2＝2，又|b|＝2可得|b|2＝4，所以a·b＝－2．|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋4－4＝1，所以|a＋b|＝1．
(3)A选项，a＋b＝(1，m＋3)，故＝，解得m＝0或m＝－6，A错误；
B选项，a－b＝(3，m－3)，|a＋b|＝|a－b|，即＝，解得m＝，B正确；
C选项，由题意得2×3－×m＝0，解得m＝－6，C正确；
D选项，若向量a，b的夹角为钝角，则a·b<0且a，b不反向共线，故－2＋3m<0且2×3＋m≠0，解得m<且m≠－6，D错误．故选BC．]
考点三　平面向量的应用
[典例5]　(1)(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　)
A．若＝＝，则P是△ABC的垂心
B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心
C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心
D．若＝0，则N是△ABC的重心
√
√
√
(2)(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ．给出以下结论，其中正确的是(　　)
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝时|＝|G|
D．当θ＝时|＝|G|
√
√
(1)ACD　(2)AD　[(1)对于A，由题意可得＝·()＝＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；
对于B，如图，设＝＝，
则||＝||＝1，
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，
则＝＝，
所以＝λ＝λ，
又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；
对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确；
对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．
(2)对于A，由G＝)，所以|G|2＝|cos θ＝|2(1＋cos θ)，解得|2＝．由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时|2＝，所以|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时＝|G|2，所以|＝|G|，故D正确．故选AD．]
名师点评
1．用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[跟进训练]
3．(1)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S＝(　　)
A． B．5
C．10 D．20
√
(2)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
√
(1)B　(2)B　[(1)因为＝(1，2)，＝(－4，2)，
所以＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，
又||＝＝，||＝＝2，
所以四边形ABCD的面积S＝||||＝×2＝5．
(2)由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有＝0，即10×
4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．已知向量a，b夹角的余弦值为－，且|a|＝4，|b|＝1，则(a－b)·(b－2a)＝(　　)
A．－36 B．－12
C．6 D．36
13
课后作业(三十一)　平面向量的数量积及其应用
√
14
A　[(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b
＝3a·b－b2－2a2
＝3×4×1×－1－2×16＝－36．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2025·广东深圳模拟)已知向量a，b的夹角为45°，＝1，＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[由题意知，
＝＝
＝＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．(2025·山东威海模拟)若平面向量a，b满足＝＝1，＝，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[设向量a，b夹角为θ，
＝两边平方得a2＋b2＋2a·b＝5，
又＝＝1，即2＋1＋2××1×cos θ＝5，解得cos θ＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2024·浙江温州一模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[a在b上的投影向量为cos 〈a，b〉＝b＝b＝－b＝，故选B．]
5．(2025·广东深圳模拟)已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个不共线．若＝，则直线AD一定经过三角形ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[因为＝，所以＝＝＝0，
即⊥，所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的边BC上的高，即直线AD一定经过三角形ABC的垂心．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2025·河北沧州模拟)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由a⊥b得，a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝，故选B．]
二、多项选择题
7．(2024·山东聊城二模)已知向量a＝，b＝，若b在a上的投影向量为a，则(　　)
A．λ＝3 B．a∥b
C．a⊥ D．a与b的夹角为45°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ACD　[对于A，因为b在a上的投影向量为a，即＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝，b＝，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确；
对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C．＝
D．＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
AC　[由题可知，||＝＝1，||＝所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，
则P2，则||≠||，故B错误；
因为＝cos (α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝
cos (α＋β)，所以＝，故C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
因为＝cos α，＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (α＋2β)，取α＝，β＝，
则＝＝cos ＝－，所以 ≠，故D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
9．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为_______________________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(－1，－2)(答案不唯一)
(－1，－2)(答案不唯一)　[根据题意可得：＝(1，2)，＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥，且m与的夹角为钝角，所
以所以x<0，不妨令x＝－1，所以y＝－2，
m＝(－1，－2)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
－
－　[法一：由a＋b＋c＝0 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－．
法二：由a＋b＝－c a2＋b2＋2a·b＝c2 a·b＝－，
由a＋c＝－b a2＋c2＋2a·c＝b2 a·c＝－，
由b＋c＝－a b2＋c2＋2b·c＝a2 b·c＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
11．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝(　　)
A．8
B．－8
C．4
D．－4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[法一：＝－＝－cos ∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos ∠CAB＝AO＝2，所以＝×2＝－8．故选B．
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，∴＝－8．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．已知非零向量满足＝，且＝，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[∵＝，∴＝，∴cos 〈〉＝cos 〈〉，
∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵＝，
∴cos 〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．(2024·四川成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为(　　)
A． B．1＋
C． D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝，
即(x，y)满足＋＝1．
而|c－a|可以看作圆＋＝1上的一点到点(1，0)的距离，
所以|c－a|的最大值即为＋1＝1＋，故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．已知△ABC的面积S满足≤2S≤3，且＝3，与的夹角为θ，则与夹角的取值范围为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
　[∵＝3，
∴的夹角θ为锐角，
则||||cos θ＝3，∴||||＝，
又S∈，∴||||sin (π－θ)≤，
∴||||sin θ≤，
∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1，
∴≤θ≤，
∴与夹角的取值范围为 ．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
谢 谢！课后作业(三十一)　平面向量的数量积及其应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共72分
一、单项选择题
1．已知向量a，b夹角的余弦值为－，且|a|＝4，|b|＝1，则(a－b)·(b－2a)＝(　　)
A．－36 B．－12
C．6 D．36
2．(2025·广东深圳模拟)已知向量a，b的夹角为45°，＝1，＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．5
3．(2025·山东威海模拟)若平面向量a，b满足＝＝1，＝，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A． B．－
C． D．－
4．(2024·浙江温州一模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·广东深圳模拟)已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个不共线．若＝，则直线AD一定经过三角形ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
6．(2025·河北沧州模拟)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
二、多项选择题
7．(2024·山东聊城二模)已知向量a＝，b＝，若b在a上的投影向量为a，则(　　)
A．λ＝3 B．a∥b
C．a⊥ D．a与b的夹角为45°
8．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C．＝
D．＝
三、填空题
9．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为________．
10．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
11．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝(　　)
A．8 B．－8
C．4 D．－4
12．已知非零向量满足＝，且＝，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
13．(2024·四川成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为(　　)
A． B．1＋
C． D．2
14．已知△ABC的面积S满足≤2S≤3，且＝3，与的夹角为θ，则与夹角的取值范围为________．
课后作业(三十一)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．A　[(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b
＝3a·b－b2－2a2
＝3×4×1×－1－2×16＝－36．]
2．A　[由题意知，
＝＝
＝＝．故选A．]
3．A　[设向量a，b夹角为θ，
＝两边平方得a2＋b2＋2a·b＝5，
又＝＝1，即2＋1＋2××1×cos θ＝5，解得cos θ＝．故选A．]
4．B　[a在b上的投影向量为cos 〈a，b〉＝b＝b＝－b＝，故选B．]
5．D　[因为＝，所以＝＝＝0，
即⊥，所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的边BC上的高，即直线AD一定经过三角形ABC的垂心．
故选D．]
6．B　[由a⊥b得，a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝，故选B．]
7．ACD　[对于A，因为b在a上的投影向量为a，即＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝，b＝，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确；
对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．
故选ACD．]
8．AC　[由题可知，||＝＝1，||＝所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，
则P2，则||≠||，故B错误；
因为＝cos (α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，所以＝，故C正确；
因为＝cos α，＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (α＋2β)，取α＝，β＝，
则＝＝cos ＝－，所以≠，故D错误．故选AC．]
9．(－1，－2)(答案不唯一)　[根据题意可得：＝(1，2)，＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥，且m与的夹角为钝角，所以所以x<0，不妨令x＝－1，所以y＝－2，m＝(－1，－2)．]
10．－　[法一：由a＋b＋c＝0 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－．
法二：由a＋b＝－c a2＋b2＋2a·b＝c2 a·b＝－，
由a＋c＝－b a2＋c2＋2a·c＝b2 a·c＝－，
由b＋c＝－a b2＋c2＋2b·c＝a2 b·c＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．B　[法一：＝－＝－cos ∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos ∠CAB＝AO＝2，所以＝×2＝－8．故选B．
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，∴＝－8．故选B．
]
12．D　[∵＝，∴＝，∴cos 〈〉＝cos 〈〉，
∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵＝，∴cos 〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D．]
13．B　[依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝，
即(x，y)满足＋＝1．
而|c－a|可以看作圆＋＝1上的一点到点(1，0)的距离，
所以|c－a|的最大值即为＋1＝1＋，故选B．]
14． 　[∵＝3，
∴的夹角θ为锐角，
则||||cos θ＝3，∴||||＝，
又S∈，∴||||sin (π－θ)≤，
∴||||sin θ≤，
∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1，
∴≤θ≤，
∴与夹角的取值范围为 ．]
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