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第4课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是___，虚部是___．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi (a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di ____________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 ______________(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_______或___________，即|z|＝|a＋bi|＝__(a，b∈R)．(即表示点Z(a，b)与原点O的距离)
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点___________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_____________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_________________________；
④除法：＝＝＝___(c＋di≠0)．
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＝．
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
3．z·|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
5．若ω＝－±i，则
(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0．
6．z＝ z∈R．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0． (　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi． (　　)
(4)方程x2＋2x＋4＝0没有解． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
2．(人教A版必修第二册P80练习T2改编)(1＋i)(1－2i)＝(　　)
A．－1＋2i B．－1－2i
C．3＋i D．3－i
3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数的共轭复数是________．
考点一　复数的有关概念
[典例1]　(1)(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－i D．
(2)若z是纯虚数，|z|＝1，则的实部为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·广东惠州调研)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)
A．z的虚部为1
B．|z|＝2
C．z2为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
(2)(多选)已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是(　　)
A．若z1＝，则z1＋z2与z1z2均为实数
B．若z1＋z2与z1z2均为实数，则z1＝
C．若z1，z2均为纯虚数，则为实数
D．若为实数，则z1，z2均为纯虚数
考点二　复数的四则运算
[典例2]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(多选)若z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两个虚数根，则(　　)
A．a的取值范围为[－2，2]
B．z1的共轭复数是z2
C．z1z2＝1
D．z1＋为纯虚数
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
[跟进训练]
2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－i D．－i
(2)已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 025＝________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点三　复数的几何意义
[典例3]　(1)(2024·山西晋城一模)设z在复平面内对应的点为(1，－2)，则在复平面内对应的点为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，则下列结论正确的是(　　)
A．点P0的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D．点P0与z在复平面内对应的点Z间的距离的最小值为
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[跟进训练]
3． (1)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2) B．(－3，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3)
(2)(2025·湖南长沙模拟)已知复数z满足＝2，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
(3)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第4课时　复数
梳理·必备知识
1．(1)a　b　(2)＝　≠　(3)a＝c且b＝d
(4)a＝c且b＝－d　(5)
2．Z(a，b)
3．(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　i
激活·基本技能
一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、1．A　[因为z为纯虚数，
所以所以x＝－1．]
2．D　[(1＋i)(1－2i)＝1＋2－2i＋i＝3－i，故选D．]
3．D　[由复数的几何意义可知，＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)．所以向量对应的复数是－3－4i．]
4．2＋i　[＝＝2－i，
故其共轭复数是2＋i．]
考点一
典例1　(1)A　(2)1　[(1)由z(1＋i)＝i2 024得z＝，
故复数的虚部为－．故选A．
(2)z是纯虚数，且|z|＝1，则有z＝±i，故＝1±i，实部为1．]
跟进训练
1．(1)AC　(2)ABC　[(1)对于A，z＝＝1＋i，则z的虚部为1，故A正确；
对于B，|z|＝，故B错误；
对于C，z2＝2i为纯虚数，故C正确；
对于D，＝1－i在复平面内对应的点为(1，－1)，
位于第四象限，故D错误．
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，b≠0，d≠0)．
z1＋z2＝a＋c＋i，z1z2＝ac－bd＋(ad＋bc)i．
若z1＝，则a＝c，b＋d＝0，所以z1＋z2＝2a∈R，z1z2＝a2＋b2∈R，所以A正确；
若z1＋z2与z1z2均为实数，则b＋d＝0，且ad＋bc＝0，又b≠0，d≠0，所以a＝c，所以B正确；
若z1，z2均为纯虚数，则a＝c＝0，所以∈R，所以C正确；
取z1＝2＋2i，z2＝1＋i，则为实数，但z1，z2不是纯虚数，所以D错误．故选ABC．]
考点二
典例2　(1)C　(2)BCD　[(1)因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．故选C．
(2)因为z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0的两个虚数根，所以Δ＝a2－4＜0，所以－2＜a＜2，方程x2＋ax＋1＝0的虚数根为z＝，不妨取z1＝－i，z2＝－i．对于A，因为－2＜a＜2，故A错误；对于B，z1＝－i和z2＝－i互为共轭复数，故B正确；对于C，z1z2＝＝＝1，故C正确；对于D，z1＋＝i，因为≠0，所以z1＋为纯虚数，故D正确．]
跟进训练
2．(1)C　(2)1＋i　[(1)因为＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4，
所以＝＝－i．故选C．
(2)法一：因为z＝1＋＝1＋＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 025＝＝＝＝1＋i．
法二：因为z＝1＋＝1＋＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 025＝1＋i＋i2＋…＋i2 025＝506×(1＋i－1－i)＋1＋i＝1＋i．]
考点三
典例3　(1)C　(2)ACD　[(1)依题意得z＝1－2i，
所以＝＝＝＝－i，
则在复平面内对应的点为．故选C．
(2)复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yix＋(y－1)i|，即＝，整理得y＝x，即点Z在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为点P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为＝，故D正确．故选ACD．]
跟进训练
3．(1)D　(2)C　(3)2　[(1)由复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，
可得 解得a<－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3)．
(2)由题意知复数z满足＝2，
可得复数z在复平面内对应的点的轨迹为以A(2，0)为圆心，r＝2为半径的圆，且表示圆上的点到原点O(0，0)的距离，则＝＋r＝2＋2＝4，＝－r＝2－2＝0，
所以的取值范围为[0，4]．故选C．
(3)法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i．
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12．
所以|z1－z2|＝＝2．
法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1＋z2对应向量．
由题意知||＝||＝||＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应的向量为，且||＝||＝||＝2，可得||＝2||sin 60°＝2．故|z1－z2|＝||＝2．]
2 / 6(共65张PPT)
第五章　
平面向量、复数
第4课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．
2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
链接教材·夯基固本
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是___，虚部是___．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi (a，b∈R)
a
b
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di ____________(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 ______________(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_______或___________，即|z|＝|a＋bi|＝__________(a，b∈R)．(即表示点Z(a，b)与原点O的距离)
a＝c且b＝d
a＝c且b＝－d
|z|
|a＋bi|
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点___________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
Z(a，b)
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_____________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_________________________；
④除法：＝＝＝_________________ (c＋di≠0)．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
i
(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＝．
[常用结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
3．z·|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
5．若ω＝－±i，则
(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0．
6．z＝ z∈R．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0． (　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi． (　　)
(4)方程x2＋2x＋4＝0没有解． (　　)
×
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
A　[因为z为纯虚数，所以所以x＝－1．]
2．(人教A版必修第二册P80练习T2改编)(1＋i)(1－2i)＝(　　)
A．－1＋2i B．－1－2i
C．3＋i D．3－i
√
D　[(1＋i)(1－2i)＝1＋2－2i＋i＝3－i，故选D．]
3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
√
D　[由复数的几何意义可知，＝＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)．所以向量对应的复数是－3－4i．]
4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数的共轭复数是________．
2＋i　[＝＝2－i，
故其共轭复数是2＋i．]
2＋i
考点一　复数的有关概念
[典例1]　(1)(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－i D．
(2)若z是纯虚数，|z|＝1，则的实部为________．
典例精研·核心考点
√
1
(1)A　(2)1　[(1)由z(1＋i)＝i2 024得z＝＝＝＝，
故复数的虚部为－．故选A．
(2)z是纯虚数，且|z|＝1，则有z＝±i，故＝1±i，实部为1．]
名师点评　解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·广东惠州调研)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)
A．z的虚部为1
B．|z|＝2
C．z2为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
√
√
(2)(多选)已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是(　　)
A．若z1＝，则z1＋z2与z1z2均为实数
B．若z1＋z2与z1z2均为实数，则z1＝
C．若z1，z2均为纯虚数，则为实数
D．若为实数，则z1，z2均为纯虚数
√
√
√
(1)AC　(2)ABC　[(1)对于A，z＝＝＝1＋i，则z的虚部为1，故A正确；
对于B，|z|＝，故B错误；
对于C，z2＝2i为纯虚数，故C正确；
对于D，＝1－i在复平面内对应的点为(1，－1)，
位于第四象限，故D错误．
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，b≠0，d≠0)．
z1＋z2＝a＋c＋i，z1z2＝ac－bd＋(ad＋bc)i．
若z1＝，则a＝c，b＋d＝0，所以z1＋z2＝2a∈R，z1z2＝a2＋b2∈R，所以A正确；
若z1＋z2与z1z2均为实数，则b＋d＝0，且ad＋bc＝0，又b≠0，d≠0，所以a＝c，所以B正确；
若z1，z2均为纯虚数，则a＝c＝0，所以＝∈R，所以C正确；
取z1＝2＋2i，z2＝1＋i，则为实数，但z1，z2不是纯虚数，所以D错误．故选ABC．]
考点二　复数的四则运算
[典例2]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(多选)若z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两个虚数根，则(　　)
A．a的取值范围为[－2，2]
B．z1的共轭复数是z2
C．z1z2＝1
D．z1＋为纯虚数
√
√
√
√
(1)C　(2)BCD　[(1)因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．故选C．
(2)因为z1，z2是方程x2＋ax＋1＝0的两个虚数根，所以Δ＝a2－4＜0，所以－2＜a＜2，方程x2＋ax＋1＝0的虚数根为z＝，不妨取z1＝
－i，z2＝－i．对于A，因为－2＜a＜2，故A错误；对于B，z1＝－i和z2＝－i互为共轭复数，故B正确；对于C，z1z2＝＝＝1，故C正确；对于D，z1＋＝i，因为≠0，所以z1＋为纯虚数，故D正确．]
名师点评　(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
[跟进训练]
2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－i D．－i
(2)已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 025＝________．
√
1＋i
(1)C　(2)1＋i　[(1)因为＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4，
所以＝＝－i．故选C．
(2)法一：因为z＝1＋＝1＋＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 025＝＝＝＝1＋i．
法二：因为z＝1＋＝1＋＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 025＝1＋i＋i2＋…＋i2 025＝506×(1＋i－1－i)＋1＋i＝1＋i．]
【教用·备选题】
(多选)(2024·1月九省联考卷)已知复数z，w均不为0，则(　　)
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝ D．＝
√
√
√
BCD　[设z＝a＋bi，w＝c＋di．
对A，因为z＝a＋bi，则z2＝＝a2－b2＋2abi，
|z|2＝＝a2＋b2，故A错误；
对B，＝·z＝，即有＝，故B正确；
对C，z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋i，则＝a－c－i，
＝a－bi－c＋di＝a－c－i，
即有，故C正确；
对D，＝＝＝
＝＝
＝＝，
＝＝＝
＝，
故＝，故D正确．
故选BCD．]
考点三　复数的几何意义
[典例3]　(1)(2024·山西晋城一模)设z在复平面内对应的点为(1，
－2)，则在复平面内对应的点为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，则下列结论正确的是(　　)
A．点P0的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D．点P0与z在复平面内对应的点Z间的距离的最小值为
√
√
√
(1)C　(2)ACD　[(1)依题意得z＝1－2i，
所以＝＝＝＝－i，
则在复平面内对应的点为．故选C．
(2)复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yix＋(y－1)i|，即＝，整理得y＝x，即点Z在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为点P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为＝，故D正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
复平面内复数z满足|z－2|－|z＋2|＝2，则|z－i|的最小值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
B　[因为|z－2|－|z＋2|＝2，
所以复数z对应的点的轨迹是以点(2，0)，(－2，0)为焦点，实半轴长为1的双曲线的左支，则b2＝c2－a2＝3，所以复数z对应的点的轨迹方程为x2－＝1(x＜0)．设z＝x＋yi，所以|z－i|＝＝＝，当且仅当y＝时取等号，所以|z－i|的最小值为．故选B．]
名师点评　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[跟进训练]
3． (1)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2) B．(－3，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3)
(2)(2025·湖南长沙模拟)已知复数z满足＝2，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
√
√
(3)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝____．
(1)D　(2)C　(3)2　[(1)由复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，
可得 解得a<－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3)．
2
(2)由题意知复数z满足＝2，
可得复数z在复平面内对应的点的轨迹为以A(2，0)为圆心，r＝2为半径的圆，且表示圆上的点到原点O(0，0)的距离，则＝＋r＝2＋2＝4，＝－r＝2－2＝0，
所以的取值范围为[0，4]．故选C．
(3)法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i．
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12．
所以|z1－z2|＝＝2．
法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，则z1＋z2对应向量．
由题意知||＝||＝||＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应的向量为，且||＝||＝||＝2，可得||＝2||sin 60°＝2．故|z1－z2|＝||＝2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
13
课后作业(三十二)　复数
√
14
D　[∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　)
A．10i B．2i
C．10 D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[由z＝5＋i ＋z)＝10i．故选A．]
3．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[依题意，＝a＋2＋(2－a)i是纯虚数，于是，解得a＝－2，
所以实数a的值为－2．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
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13
14
4．(2024·山东济南二模)已知复数z满足z＝3＋i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[由题意知：z＝＝＝1＋2i，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．]
√
5．(2024·广东揭阳二模)已知复数z在复平面内对应的点为，且＝4，则(　　)
A．a2＋＝4 B．a2＋＝16
C．＋b2＝4 D．＋b2＝16
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
√
B　[由题意得z＝a＋bi，所以＝4，则a2＋＝16．故选B．]
6．(2024·辽宁沈阳二模)已知i是虚数单位，复数z满足＝1，则的最小值为(　　)
A．－1 B．1
C．＋1 D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[＝1的几何意义是复数z对应的点Z到点A的距离为1，即点Z在以点A为圆心，1为半径的圆上，|z－|的几何意义是点Z到点B(，0)的距离．如图所示，|z－|min＝＝－1＝2－1＝1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
13
14
二、多项选择题
7．(2024·河南郑州二模)在复平面内，复数z1＝i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是(　　)
A．＝＝1
B．z1·z2＝
C．向量对应的复数是1
D．＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13
14
√
√
AD　[因为z1＝i，所以z2＝－i，
所以A，B， ＝＝＝1，A正确；
z1·z2＝＝－ ＝－1，B错误；
由上可得＝，对应复数为－1，C错误；
＝＝1，＝1，D正确．故选AD．]
题号
1
3
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2
4
6
8
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13
14
8．(2025·山东菏泽模拟)设α，β是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R．若α＝2i－3(i为虚数单位)，则(　　)
A．β＝2i＋3 B．p＋q＝38
C．α＋β＝－6 D．＝2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
13
14
√
√
√
BCD　[因为α，β是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R且α＝2i－3，所以β＝－2i－3，
所以α＋β＝＝－6＝－，所以p＝12，
α·β＝＝13＝，所以q＝26，
则p＋q＝38，故A错误，B正确，C正确；
＝＝2，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
14
三、填空题
9．已知i是虚数单位，则＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
i　[因为＝＝＝i，
所以＝i2 025＝i．]
i　
10．请写出一个同时满足①；②＝2的复数z，即z＝________________________________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13
14
1＋i或－1－i(任选一个作答即可)　[设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，由＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±．]
1＋i或－1－i(任选一个作答即可)
11．(2024·广东广州三模)当－A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13
14
√
A　[＝＝i．
因为－0，>0，
故复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．(多选)(2024·江苏南通质检)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则
(　　)
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．＝－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3＋2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
13
14
√
√
√
ABD　[对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝＝＝－i，故B正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
其圆心为P(1，－2)，半径为2，z1表示的点为Q(－2，1)，且|PQ|＝3，
所以|z2－z1|的最大值为2＋3，故D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
14
13．(多选)(人教A版必修第二册P81阅读与思考改编)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13
14
√
√
AD　[因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．
即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12
13
14
14．(2023·上海春季高考)已知z1，z2∈C且z1＝i·，|z1－1|＝1，则|z1－z2|的取值范围为________________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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13
14
[0，2＋]
[0，2＋]　[设z1－1＝cos θ＋isin θ，则z1＝1＋cos θ＋isin θ．因为z1＝i·，所以z2＝sin θ＋i(cos θ＋1)，所以|z1－z2|＝
＝＝，显然当
sin ＝时，原式取最小值0，当sin ＝－1时，原式取最大值2＋，故|z1－z2|的取值范围为[0，2＋]．]
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
谢 谢！课后作业(三十二)　复数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共74分
一、单项选择题
1．(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　)
A．10i B．2i
C．10 D．－2
3．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．－2
4．(2024·山东济南二模)已知复数z满足z＝3＋i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2024·广东揭阳二模)已知复数z在复平面内对应的点为，且＝4，则(　　)
A．a2＋＝4 B．a2＋＝16
C．＋b2＝4 D．＋b2＝16
6．(2024·辽宁沈阳二模)已知i是虚数单位，复数z满足＝1，则的最小值为(　　)
A．－1 B．1
C．＋1 D．3
二、多项选择题
7．(2024·河南郑州二模)在复平面内，复数z1＝i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是(　　)
A．＝＝1
B．z1·z2＝
C．向量对应的复数是1
D．＝
8．(2025·山东菏泽模拟)设α，β是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R．若α＝2i－3(i为虚数单位)，则(　　)
A．β＝2i＋3 B．p＋q＝38
C．α＋β＝－6 D．＝2
三、填空题
9．已知i是虚数单位，则＝________．
10．请写出一个同时满足①；②＝2的复数z，即z＝________．
11．(2024·广东广州三模)当－A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(多选)(2024·江苏南通质检)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则(　　)
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．＝－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3＋2
13．(多选)(人教A版必修第二册P81阅读与思考改编)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
14．(2023·上海春季高考)已知z1，z2∈C且z1＝i·，|z1－1|＝1，则|z1－z2|的取值范围为________．
课后作业(三十二)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．D　[∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，), ∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D．]
2．A　[由z＝5＋i ＋z)＝10i．故选A．]
3．D　[依题意，＝a＋2＋(2－a)i是纯虚数，于是，解得a＝－2，
所以实数a的值为－2．故选D．]
4．D　[由题意知：z＝＝＝1＋2i，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．]
5．B　[由题意得z＝a＋bi，所以＝4，则a2＋＝16．故选B．]
6．B　[＝1的几何意义是复数z对应的点Z到点A的距离为1，即点Z在以点A为圆心，1为半径的圆上，|z－|的几何意义是点Z到点B(，0)的距离．如图所示，|z－|min＝＝－1＝2－1＝1．故选B．
]
7．AD　[因为z1＝i，所以z2＝－i，
所以A，B， ＝＝＝1，A正确；
z1·z2＝＝－ ＝－1，B错误；
由上可得＝，对应复数为－1，C错误；
＝＝1，＝1，D正确．故选AD．]
8．BCD　[因为α，β是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R且α＝2i－3，所以β＝－2i－3，
所以α＋β＝＝－6＝－，所以p＝12，
α·β＝＝13＝，所以q＝26，
则p＋q＝38，故A错误，B正确，C正确；
＝＝2，故D正确．故选BCD．]
9．i　[因为＝＝＝i，
所以＝i2 025＝i．]
10．1＋i或－1－i(任选一个作答即可)　[设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，由＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．A　[＝＝i．
因为－0，>0，
故复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．]
12．ABD　[对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，＝＝＝－i，故B正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
其圆心为P(1，－2)，半径为2，z1表示的点为Q(－2，1)，且|PQ|＝3，
所以|z2－z1|的最大值为2＋3，故D正确．]
13．AD　[因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．
即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．]
14．[0，2＋]　[设z1－1＝cos θ＋isin θ，则z1＝1＋cos θ＋isin θ．因为z1＝i·，所以z2＝sin θ＋i(cos θ＋1)，所以|z1－z2|＝
＝＝，显然当sin ＝时，原式取最小值0，当sin ＝－1时，原式取最大值2＋，故|z1－z2|的取值范围为[0，2＋]．]
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