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浙江省宁波市七中教育集团2023-2024学年第二学期九年级下数学第三次月考
1．（2023九下·宁波月考）2024的倒数是（　　）
A． B． C．2024 D．-2024
2．（2023九下·宁波月考）下面的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023九下·宁波月考）“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86400秒，将86400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·宁波月考）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一。”那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九下·宁波月考）下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023九下·宁波月考）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023九下·宁波月考）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．BE平分∠CBD B． C． D．
8．（2023九下·宁波月考）如图所示，在中，点是斜边AB的中点，点是的重心，于点，若，那么GE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
9．（2023九下·宁波月考）反比例函数的图象与一次函数的图像交于A、B两点，其中，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
10．（2023九下·宁波月考）如图，分别以直角三角形的三边向外作等腰直角三角形，然后将较小的两个等腰直角三角形和放在最大的等腰直角三角形内（如图），DE与FG交于点，连结AP，FE.欲求的面积，只需要知道哪个三角形的面积即可（　　）
A． B． C． D．
11．（2023九下·宁波月考） 64的算术平方根是　 　.
12．（2023九下·宁波月考）要使分式有意义，则x应满足的条件是　 　．
13．（2023九下·宁波月考）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点B，则B的坐标是　 　．
14．（2023九下·宁波月考）已知扇形的圆心角为，半径为6cm，则该扇形的弧长为　 　.（结果保留）
15．（2023九下·宁波月考）若关于x，y的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解是　 　．
16．（2023九下·宁波月考）如图，矩形ABCD中，，点在AB上，且，点在BC边上运动，以线段EF为嵞边在点的异侧作等腰，
使B、E、G、F四点共圆.连接BG、CG
（1）∠EBG=　 　；
（2）当CG最小时，　 　
17．（2023九下·宁波月考）计算：
（1）
（2）解分式方程：．
18．（2023九下·宁波月考）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
19．（2023九下·宁波月考）观察下列等式：
第①个等式：，
第②个等式：，
第③个等式：，
第④个等式：，...
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第⑤个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明.
20．（2023九下·宁波月考）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生，图中扇形“C”的圆心角度是　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．
21．（2023九下·宁波月考）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和仲展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主镝，PQ是伸展碎，）.已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角.（参考数据，
（1）求点Р到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ=113°，求ON.
22．（2023九下·宁波月考）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFPG和等腰三角形ABC组成，且点B.F，G.c四点共线.其中，点A到BC的距离为1.2米，FG=0.8米，DG=-1.5米.
素材一 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为8s元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米.
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”他的说法对吗﹖请判断并说明理由.
任务二 探充等腰三角形ABC面积 假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S.求S关于x的函数表达式.
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值
23．（2023九下·宁波月考）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c（b，c为常数》与x轴正半轴的交点坐标是（1，0），对称轴为直线x=-2.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点A、B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为c+4，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h.
①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值；
②当024．（2023九下·宁波月考）如图1所示，已知AB，CD是的直径，是CD延长线的一点，的弦AF交CD于点，且.
（1）如图1，求证：BT是的切线；
（2）在图1，连接CB，DB，若，求的值；
（3）如图2，连接DF交AB于点，过作于点，若.求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2024的倒数是，
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A选项计算错误，不符合题意；
B、3a与4b不是同类项，不能合并 ，故B选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故C选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故D选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的运算法则可判断A选项不符合题意；根据同类项的定义可判断B选项不符合题意；根据去括号的运算规则可判断C选项不符合题意，D选项符合题意.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明“若，则”
首先应该假设 .
故答案为：D.
【分析】反证法第一步是假设结论的反面成立，根据此进行判断，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．三棱柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，A不符合题意；
B．长方体的主视图为矩形，左视图也是矩形，B不符合题意；
C．三棱锥的主视图为三角形，左视图也是三角形，C符合题意；
D．圆柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ = ＞ = ，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵ = ＜ ＜ ，
∴选择甲参赛，
故选：A．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
7．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵当∠A=30°时，∠ABE=30°=∠CBE，即BE平分∠ABC，∠A不一定为30°，
∴A选项符合题意.
∵在Rt ADE中，AE＞AD，
∴BE＞CD，故B选项不符合题意.
∴DE为Rt ABC斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠BEC=∠BDC，故选项C正确，不符合题意；
由作法可知，DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，故选项D正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据作图、线段的垂直平分线得到DE垂直平分AB，AE=BE，AD=BD，再根据直角三角形性质可得∠BDC=2∠A，∠BEC=2∠A，即可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接BG并延长交AC于点F，
∵G点是 的重心，
故答案为：B.
【分析】连接BG并延长交AC于F点，根据重心定理可得 再由 可得 求出GE即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A、B两点， 其中A(1，2)，
，
∴反比例函数解析式为：；一次函数解析式为：
如图：
由图象可知，当 时，x的取值范围是 或
故答案为：D.
【分析】先求出两个函数解析式，再画出图象，即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得 PE，
∴四边形CEPG是平行四边形，
，
故答案为： C.
【分析】先根据勾股定理得 FG∥BC，CG∥PE， 则四边形CEPG是平行四边形， 再由 可以得到
11．【答案】8
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：64的算术平方根是8。
故答案为：8。
【分析】根据算术平方根的定义，由于82=64，所以64的算术平方根是8。
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≠0，
x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】分式有意义有意义的条件是：分母不为零，据此列出不等式，即可求解.
13．【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点A（4，3）先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点B，则B的坐标（4+1，3-2），即（5，1）.
故答案为：（5，1）.
【分析】根据点坐标的平移的规律，右加左减、上加下减，即可求解.
14．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长是：
故答案为： 2π.
【分析】利用弧长公式是 代入就可以求出弧长.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： 关于x，y的方程组的解是，
∴，
∵
∴
∴=1，=1，
解得：
故答案为：.
【分析】根据方程组的解是代入得到新的方程组，再根据推导出，利用=1，=1，求出m、n的值即可.
16．【答案】（1）45°
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；四点共圆模型
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：
解得，
经检验，是分式方程的根.
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】 (1)根据完全平方公式和平方差公式先去括号，再合并同类项即可求解；
（2）在方程的两边同时乘以(1-x)(x+1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可求解.
19．【答案】（1）解：
（2）解：猜想：
证明： 左边 ，
右边 ，
∴左边=右边，等式成立
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)根据等式的计算规律分析即可；
(2)利用等式的计算规律写出猜想，再运用平方差公式计算证明.
20．【答案】（1）100；72°
（2）C项目的人数为100﹣42﹣12﹣26＝20（名），
补全条形图为：
（3）树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中出现甲和乙的结果数为2，
所以恰好选到甲和乙的概率＝＝
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)该校本次调查的学生数为 (名)；
图中扇形“C”的圆心角度是
故答案为： 100，
【分析】(1)用A项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，用 乘以扇形“C”所占的百分比求出“C”的圆心角度数；
(2)先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出出现甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解.
21．【答案】（1）解：过点 P 作 PG⊥QN，垂足为 G，延长 ME 交 PG 于点 F，
由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m， 在 Rt△PFM 中，∠PMF＝37°，PM＝5m，∴PF＝PM sin37°=5× ＝3m
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4m，∴点 P 到地面的高度约为 4m
（2）解：∵∠PMF＝37°，∠PFM＝90°，∴∠MPF＝53°， ∵∠MPQ＝113°，∴∠QPG＝113°﹣53°＝60°，
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点P作 延长ME交PH于F，可知四边形MNHF为矩形，则 进而可求得答案；
(2)由 (1) 可知， 四边形MNHF为矩形， 则 求得 进而可得据此求解可得答案.
22．【答案】解：任务 1：他的说法对，理由如下：
如图：过点 B 作 BH⊥DC 于点 H，
∴∠BHC＝90°．
∵四边形 EFGD 是长方形，
∴∠DGC＝90°．
∴∠BHC＝∠DGC，
在△BCH 与△DCG 中，
∴最高点 B 到地面的距离就是线段 DG 长．
任务 2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形 EFHD 是长方形，
∴设 BF＝CG＝x，则 BC＝2x+0.8．
又△ABC 的高为 1.2 米，
∴三角形 ABC 的面积
任务 3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
又长方形的面积为：0.8×1.5＝1.2（平方米），
∴1.2×85+（1.2x+0.48）×100≤180．解得 x≤0.25，
故 CG 长度的最大值为 0.25 米
【知识点】一元一次不等式的应用；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】任务1：依据题意，过点B作. 于点G， 可证得 据此即可判定；
任务2：依据题意，设. 可得 的高为1.2米，进而表示出S关于x的函数表达式；
任务3：依据题意，结合任务2，列不等式，即可求解.
23．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 x = -2 ，
∴
解得 b = -4
把（1，0）代入 y = -x2- 4x + c中，
得 0＝﹣1﹣4+c．解得 c＝5．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣4x+5
（2）解：①∵A，B 两点的纵坐标相等，
∴， 解得 .
∴A（﹣4，5），B（0，5），
∴图象 G 的最高点的纵坐标为﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）+5＝9，最低点的纵坐标为 5
∴h＝9﹣5＝4
②当x =a时，
当x=a+4时，
当a+4=-2时， a=-6，
1.当a<-6时，
32；
∵0∴0<-8a-32<9，
解得：
∵a<-6，
∴此种情况不存在；
Ⅱ.当a>-2时，
，
∵0∴0<8a+32<9，
解得：
∵a>-2，
∴此种情况不存在；
Ⅲ.当-6≤a≤-4时，
∵0解得： - 5IV.当-4∵0解得： - 4综上， a的取值范围为： - 5 < a<-3
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称轴为直线 解得 .把(1，0)代 解析式中， 求出 .即可得到解析式；
(2)①再根据A，B两点的纵坐标相等，根据对称性得到得出 B(0，5)，最终得出G的最高点的纵坐标为9，最低点的纵坐标为5，进而求得 h的值；
②分四种情况讨论：先求出h关于a的表达式，根据 可得关于a的不等式，求解即可.
24．【答案】（1）证明：CD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AF 交 CD 于点 E，且 AE＝EF，
∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，
∴AO2＝OE OT，AB 是圆的直径，
，
又∠AOE＝∠BOT，∴△AOE∽△TOB，∴∠OBT＝∠AEO＝90°，
又∵OB 是半径，∴BT 是⊙O 的切线；
（2）解：解：CD 是圆的直径，
∴∠CBD＝90°，
又∠OBT＝90°，
∴∠CBO＝∠DBT
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∴∠C＝∠DBT，
因为∠T＝∠T，
∴△DBT∽△BCT，
∴
（3）解：， 设半径为 ， 又 ，
， 解得： ，
， 即： ，
于点 ，
又 ，
设： ， 则 ，
而 ， 则 ， 即： ，
解得： ，
在 Rt 中， .

【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)证明. 即可求解；
(2)证明则
(3)由 得 又 则 而 求出 长即可求解.
1 / 1浙江省宁波市七中教育集团2023-2024学年第二学期九年级下数学第三次月考
1．（2023九下·宁波月考）2024的倒数是（　　）
A． B． C．2024 D．-2024
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2024的倒数是，
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数解答即可.
2．（2023九下·宁波月考）下面的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A选项计算错误，不符合题意；
B、3a与4b不是同类项，不能合并 ，故B选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故C选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故D选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的运算法则可判断A选项不符合题意；根据同类项的定义可判断B选项不符合题意；根据去括号的运算规则可判断C选项不符合题意，D选项符合题意.
3．（2023九下·宁波月考）“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86400秒，将86400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2023九下·宁波月考）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一。”那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明“若，则”
首先应该假设 .
故答案为：D.
【分析】反证法第一步是假设结论的反面成立，根据此进行判断，即可求解.
5．（2023九下·宁波月考）下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．三棱柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，A不符合题意；
B．长方体的主视图为矩形，左视图也是矩形，B不符合题意；
C．三棱锥的主视图为三角形，左视图也是三角形，C符合题意；
D．圆柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
6．（2023九下·宁波月考）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ = ＞ = ，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵ = ＜ ＜ ，
∴选择甲参赛，
故选：A．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
7．（2023九下·宁波月考）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．BE平分∠CBD B． C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵当∠A=30°时，∠ABE=30°=∠CBE，即BE平分∠ABC，∠A不一定为30°，
∴A选项符合题意.
∵在Rt ADE中，AE＞AD，
∴BE＞CD，故B选项不符合题意.
∴DE为Rt ABC斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠BEC=∠BDC，故选项C正确，不符合题意；
由作法可知，DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，故选项D正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据作图、线段的垂直平分线得到DE垂直平分AB，AE=BE，AD=BD，再根据直角三角形性质可得∠BDC=2∠A，∠BEC=2∠A，即可判断求解.
8．（2023九下·宁波月考）如图所示，在中，点是斜边AB的中点，点是的重心，于点，若，那么GE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接BG并延长交AC于点F，
∵G点是 的重心，
故答案为：B.
【分析】连接BG并延长交AC于F点，根据重心定理可得 再由 可得 求出GE即可.
9．（2023九下·宁波月考）反比例函数的图象与一次函数的图像交于A、B两点，其中，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A、B两点， 其中A(1，2)，
，
∴反比例函数解析式为：；一次函数解析式为：
如图：
由图象可知，当 时，x的取值范围是 或
故答案为：D.
【分析】先求出两个函数解析式，再画出图象，即可得到答案.
10．（2023九下·宁波月考）如图，分别以直角三角形的三边向外作等腰直角三角形，然后将较小的两个等腰直角三角形和放在最大的等腰直角三角形内（如图），DE与FG交于点，连结AP，FE.欲求的面积，只需要知道哪个三角形的面积即可（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得 PE，
∴四边形CEPG是平行四边形，
，
故答案为： C.
【分析】先根据勾股定理得 FG∥BC，CG∥PE， 则四边形CEPG是平行四边形， 再由 可以得到
11．（2023九下·宁波月考） 64的算术平方根是　 　.
【答案】8
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：64的算术平方根是8。
故答案为：8。
【分析】根据算术平方根的定义，由于82=64，所以64的算术平方根是8。
12．（2023九下·宁波月考）要使分式有意义，则x应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≠0，
x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】分式有意义有意义的条件是：分母不为零，据此列出不等式，即可求解.
13．（2023九下·宁波月考）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点B，则B的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点A（4，3）先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点B，则B的坐标（4+1，3-2），即（5，1）.
故答案为：（5，1）.
【分析】根据点坐标的平移的规律，右加左减、上加下减，即可求解.
14．（2023九下·宁波月考）已知扇形的圆心角为，半径为6cm，则该扇形的弧长为　 　.（结果保留）
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长是：
故答案为： 2π.
【分析】利用弧长公式是 代入就可以求出弧长.
15．（2023九下·宁波月考）若关于x，y的方程组的解是，则关于m，n的方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： 关于x，y的方程组的解是，
∴，
∵
∴
∴=1，=1，
解得：
故答案为：.
【分析】根据方程组的解是代入得到新的方程组，再根据推导出，利用=1，=1，求出m、n的值即可.
16．（2023九下·宁波月考）如图，矩形ABCD中，，点在AB上，且，点在BC边上运动，以线段EF为嵞边在点的异侧作等腰，
使B、E、G、F四点共圆.连接BG、CG
（1）∠EBG=　 　；
（2）当CG最小时，　 　
【答案】（1）45°
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；四点共圆模型
17．（2023九下·宁波月考）计算：
（1）
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
解得，
经检验，是分式方程的根.
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】 (1)根据完全平方公式和平方差公式先去括号，再合并同类项即可求解；
（2）在方程的两边同时乘以(1-x)(x+1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
18．（2023九下·宁波月考）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可求解.
19．（2023九下·宁波月考）观察下列等式：
第①个等式：，
第②个等式：，
第③个等式：，
第④个等式：，...
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第⑤个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明.
【答案】（1）解：
（2）解：猜想：
证明： 左边 ，
右边 ，
∴左边=右边，等式成立
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)根据等式的计算规律分析即可；
(2)利用等式的计算规律写出猜想，再运用平方差公式计算证明.
20．（2023九下·宁波月考）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生，图中扇形“C”的圆心角度是　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．
【答案】（1）100；72°
（2）C项目的人数为100﹣42﹣12﹣26＝20（名），
补全条形图为：
（3）树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中出现甲和乙的结果数为2，
所以恰好选到甲和乙的概率＝＝
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)该校本次调查的学生数为 (名)；
图中扇形“C”的圆心角度是
故答案为： 100，
【分析】(1)用A项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，用 乘以扇形“C”所占的百分比求出“C”的圆心角度数；
(2)先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出出现甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解.
21．（2023九下·宁波月考）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和仲展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主镝，PQ是伸展碎，）.已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角.（参考数据，
（1）求点Р到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，∠MPQ=113°，求ON.
【答案】（1）解：过点 P 作 PG⊥QN，垂足为 G，延长 ME 交 PG 于点 F，
由题意得：MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1m， 在 Rt△PFM 中，∠PMF＝37°，PM＝5m，∴PF＝PM sin37°=5× ＝3m
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4m，∴点 P 到地面的高度约为 4m
（2）解：∵∠PMF＝37°，∠PFM＝90°，∴∠MPF＝53°， ∵∠MPQ＝113°，∴∠QPG＝113°﹣53°＝60°，
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点P作 延长ME交PH于F，可知四边形MNHF为矩形，则 进而可求得答案；
(2)由 (1) 可知， 四边形MNHF为矩形， 则 求得 进而可得据此求解可得答案.
22．（2023九下·宁波月考）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFPG和等腰三角形ABC组成，且点B.F，G.c四点共线.其中，点A到BC的距离为1.2米，FG=0.8米，DG=-1.5米.
素材一 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为8s元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米.
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”他的说法对吗﹖请判断并说明理由.
任务二 探充等腰三角形ABC面积 假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S.求S关于x的函数表达式.
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值
【答案】解：任务 1：他的说法对，理由如下：
如图：过点 B 作 BH⊥DC 于点 H，
∴∠BHC＝90°．
∵四边形 EFGD 是长方形，
∴∠DGC＝90°．
∴∠BHC＝∠DGC，
在△BCH 与△DCG 中，
∴最高点 B 到地面的距离就是线段 DG 长．
任务 2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形 EFHD 是长方形，
∴设 BF＝CG＝x，则 BC＝2x+0.8．
又△ABC 的高为 1.2 米，
∴三角形 ABC 的面积
任务 3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
又长方形的面积为：0.8×1.5＝1.2（平方米），
∴1.2×85+（1.2x+0.48）×100≤180．解得 x≤0.25，
故 CG 长度的最大值为 0.25 米
【知识点】一元一次不等式的应用；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】任务1：依据题意，过点B作. 于点G， 可证得 据此即可判定；
任务2：依据题意，设. 可得 的高为1.2米，进而表示出S关于x的函数表达式；
任务3：依据题意，结合任务2，列不等式，即可求解.
23．（2023九下·宁波月考）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c（b，c为常数》与x轴正半轴的交点坐标是（1，0），对称轴为直线x=-2.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点A、B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为c+4，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h.
①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值；
②当0【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 x = -2 ，
∴
解得 b = -4
把（1，0）代入 y = -x2- 4x + c中，
得 0＝﹣1﹣4+c．解得 c＝5．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣4x+5
（2）解：①∵A，B 两点的纵坐标相等，
∴， 解得 .
∴A（﹣4，5），B（0，5），
∴图象 G 的最高点的纵坐标为﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）+5＝9，最低点的纵坐标为 5
∴h＝9﹣5＝4
②当x =a时，
当x=a+4时，
当a+4=-2时， a=-6，
1.当a<-6时，
32；
∵0∴0<-8a-32<9，
解得：
∵a<-6，
∴此种情况不存在；
Ⅱ.当a>-2时，
，
∵0∴0<8a+32<9，
解得：
∵a>-2，
∴此种情况不存在；
Ⅲ.当-6≤a≤-4时，
∵0解得： - 5IV.当-4∵0解得： - 4综上， a的取值范围为： - 5 < a<-3
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称轴为直线 解得 .把(1，0)代 解析式中， 求出 .即可得到解析式；
(2)①再根据A，B两点的纵坐标相等，根据对称性得到得出 B(0，5)，最终得出G的最高点的纵坐标为9，最低点的纵坐标为5，进而求得 h的值；
②分四种情况讨论：先求出h关于a的表达式，根据 可得关于a的不等式，求解即可.
24．（2023九下·宁波月考）如图1所示，已知AB，CD是的直径，是CD延长线的一点，的弦AF交CD于点，且.
（1）如图1，求证：BT是的切线；
（2）在图1，连接CB，DB，若，求的值；
（3）如图2，连接DF交AB于点，过作于点，若.求的值.
【答案】（1）证明：CD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AF 交 CD 于点 E，且 AE＝EF，
∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，
∴AO2＝OE OT，AB 是圆的直径，
，
又∠AOE＝∠BOT，∴△AOE∽△TOB，∴∠OBT＝∠AEO＝90°，
又∵OB 是半径，∴BT 是⊙O 的切线；
（2）解：解：CD 是圆的直径，
∴∠CBD＝90°，
又∠OBT＝90°，
∴∠CBO＝∠DBT
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∴∠C＝∠DBT，
因为∠T＝∠T，
∴△DBT∽△BCT，
∴
（3）解：， 设半径为 ， 又 ，
， 解得： ，
， 即： ，
于点 ，
又 ，
设： ， 则 ，
而 ， 则 ， 即： ，
解得： ，
在 Rt 中， .

【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)证明. 即可求解；
(2)证明则
(3)由 得 又 则 而 求出 长即可求解.
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