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　极化恒等式的应用
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则
(1)平行四边形模式：＝(||2－||2)；
(2)三角形模式： ＝||2－||2．
题型一　求数量积
[典例1]　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用极化恒等式求数量积的步骤
(1)取第三边的中点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
[跟进训练]
1．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________．
题型二　求数量积的最值(范围)
[典例2]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解．
[跟进训练]
2．(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　)
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
重点培优课6　极化恒等式的应用
题型一
典例1　(1)A　(2)　[(1)因为a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1，所以a·b＝1．
(2)设＝a，＝b，＝||2－||2＝9b2－a2＝4，＝||2－||2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝，
所以＝||2－||2＝4b2－a2＝．]
跟进训练
1．9　[∵＝||2－||2＝－7，
∴||2＝16，
∴＝||2－||2＝25－16＝9．]
题型二
典例2　 B　[法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有＝2，
则·()＝2＝2()·()＝2(||2－||2)．而||2＝＝，当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2||2＝－2×＝－．故选B．
法二(坐标法)：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·()取得最小值，最小值为－．故选B．
]
跟进训练
2．D　[由题意易知，点P是单位圆C(C为圆心)上的动点．
设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得
＝||2－||2＝||2－，
又||2＝，即||＝，
故＝＝＝＝，
∴()min＝＝－4，
()max＝＝6．
故的取值范围是[－4，6]．
故选D．]
1 / 2(共36张PPT)
第五章
平面向量、复数
重点培优课6　极化恒等式的应用
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则
(1)平行四边形模式：＝(||2－||2)；
(2)三角形模式： ＝||2－||2．
题型一　求数量积
[典例1]　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝
(　　)
A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．5
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，＝4，＝－1，则的值为________．
√
(1)A　(2)　[(1)因为a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝×(10－6)＝1，所以a·b＝1．
(2)设＝a，＝b，＝||2－||2＝9b2－a2＝4，＝||2－||2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝，
所以＝||2－||2＝4b2－a2＝．]
名师点评　利用极化恒等式求数量积的步骤
(1)取第三边的中点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
[跟进训练]
1．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若＝－7，则＝________．
9
9　[∵＝||2－||2＝－7，
∴||2＝16，
∴＝||2－||2＝25－16＝9．]
题型二　求数量积的最值(范围)
[典例2]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
√
B　[法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有＝2，
则·()＝2＝2()·()＝2(||2－||2)．而||2＝＝，当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2||2＝－2×＝
－．故选B．
法二(坐标法)：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)
·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·()取得最小值，最小值为－．故选B．]
名师点评　利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解．
[跟进训练]
2．(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是
(　　)
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
√
D　[由题意易知，点P是单位圆C(C为圆心)上的动点．
设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得
＝||2－||2＝||2－，
又||2＝，即||＝，
故＝＝＝＝，
∴()min＝＝－4，
()max＝＝6．
故的取值范围是[－4，6]．
故选D．]
【教用·备选题】
已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值是(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
√
B　[如图所示，取CD的中点E，连接PE，
由极化恒等式可得＝||2－||2＝||2－，
所以当P与A(B)重合时，||＝最大，从而()max＝2．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
√
10
培优训练(六)　极化恒等式的应用
一、单项选择题
1．(2025·湖南长沙模拟)已知在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝(　　)
A．－16 B．16
C．－8 D．8
A　[由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，
由已知得＝10，＝＝＝－16．
故选A．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则＝(　　)
A．－　 B．－
C．－　　　 D．－
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B　[∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝．
由极化恒等式得＝||2－||2＝－1＝－．]
3．(2024·北京八一学校月考)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D　[如图，取AB的中点O，则由极化恒等式知，
＝||2－||2＝||2－，要求的取值范围，只需要||2最大，最小即可．
由图可知||2最大时，点P在点D处，即||2＝||2＝||2＋||2＝，此时＝||2－＝4，
||2最小时，点P在点O处，即||2＝0，此时＝
||2－＝－．
综上可得，的取值范围为 ．故选D．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4．(2025·福建莆田模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为(　　)
A．(0，16) B．[0，16]
C．(0，4) D．[0，4]
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B　[取CD的中点E，连接PE，
则＝2＝＝2，
两式分别平方再相减得＝||2－||2＝－4，
设AB的中点为O，连接OE交圆弧于点H，则当P与H重合时，PE最小，最小值为2，
当P与A或B重合时，PE最大，最大值为＝2，
所以∈ ＝ ．
故选B．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5．已知A，P，Q是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ所对的圆心角为120°，则的最大值为(　　)
A．6 B．3
C． D．
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A　[因为弦PQ所对的圆心角为120°，且圆的半径为2，所以＝2，取PQ的中点B，所以＝＝＝1，如图所示．
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为＝＝||2＋，
因为B是PQ的中点，所以＝0，＝－．
＝||2－＝||2－3，
所以若最大，只需最大，所以＝＋r＝1＋2＝3，
所以＝32－3＝6．故选A．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则的最小值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D　[如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OFA均为边长为4的等边三角形，
当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，取最大值4，当点P为正六边形各边的中点时，取最小值，即＝4sin ＝2，所以，∈，
所以＝＝
＝||2－4∈ ．
即的最小值为8．故选D．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题
7．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________．
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2　[如图，
取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM，则OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝(当且仅当O，M，N三点共线时等号成立)，由极化恒等式得＝||2－||2＝||2－－＝2．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8．已知菱形ABCD的边长为2，A＝60°，若点P满足＝)，则＝________．
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3　[由＝)，知P为BC的中点，如图，取AD中点M，连接PM，则＝||2－||2＝4－1＝3．]
3
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9．(2025·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为正三角形ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围为_________________．
[3－2，3＋2]
[3－2，3＋2]　[由题意知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，
则＝()·()＝＝||2－||2＝||2－1，
又因为||∈[||－1，||＋1]，||＝，
所以||∈[－1，＋1]，
则∈[3－2，3＋2]．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值为________．
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
－
－　[如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD，
则＝＝||2－||2＝||2－，易知||∈[||，||]＝，
则＝||2－∈，
故的最小值为－．]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
谢 谢！培优训练(六)　极化恒等式的应用
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共50分
一、单项选择题
1．(2025·湖南长沙模拟)已知在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝(　　)
A．－16 B．16
C．－8 D．8
2．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则＝(　　)
A．－　 B．－
C．－　　　 D．－
3．(2024·北京八一学校月考)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·福建莆田模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为(　　)
A．(0，16) B．[0，16]
C．(0，4) D．[0，4]
5．已知A，P，Q是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ所对的圆心角为120°，则的最大值为(　　)
A．6 B．3
C． D．
6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则的最小值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
二、填空题
7．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________．
8．已知菱形ABCD的边长为2，A＝60°，若点P满足＝)，则＝________．
9．(2025·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为正三角形ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围为________．
10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值为________．
培优训练(六)
1．A　[由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，
由已知得＝10，＝＝＝－16．
故选A．]
2．B　[∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝．
由极化恒等式得＝||2－||2＝－1＝－．]
3．D　[如图，取AB的中点O，则由极化恒等式知，
＝||2－||2＝||2－，要求的取值范围，只需要||2最大，最小即可．
由图可知||2最大时，点P在点D处，即||2＝||2＝||2＋||2＝，此时＝||2－＝4，
||2最小时，点P在点O处，即||2＝0，此时＝||2－＝－．
综上可得，的取值范围为 ．故选D．]
4．B　[取CD的中点E，连接PE，
则＝2＝＝2，
两式分别平方再相减得＝||2－||2＝－4，
设AB的中点为O，连接OE交圆弧于点H，则当P与H重合时，PE最小，最小值为2，
当P与A或B重合时，PE最大，最大值为＝2，
所以∈ ＝ ．
故选B．]
5．A　[因为弦PQ所对的圆心角为120°，且圆的半径为2，所以＝2，取PQ的中点B，所以＝＝＝1，如图所示．
因为＝＝||2＋，
因为B是PQ的中点，所以＝0，＝－．
＝||2－＝||2－3，
所以若最大，只需最大，所以＝＋r＝1＋2＝3，
所以＝32－3＝6．故选A．]
6．D　[如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OFA均为边长为4的等边三角形，
当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，取最大值4，当点P为正六边形各边的中点时，取最小值，即＝4sin ＝2，所以，∈，
所以＝＝＝||2－4∈ ．
即的最小值为8．故选D．]
7．2　[如图，
取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM，则OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝(当且仅当O，M，N三点共线时等号成立)，由极化恒等式得＝||2－||2＝||2－－＝2．]
8．3　[由＝)，知P为BC的中点，如图，取AD中点M，连接PM，则＝||2－||2＝4－1＝3．
]
9．[3－2，3＋2]　[由题意知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，
则＝()·()＝＝||2－||2＝||2－1，
又因为||∈[||－1，||＋1]，||＝，
所以||∈[－1，＋1]，
则∈[3－2，3＋2]．]
10．－　[如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD，
则＝＝||2－||2＝||2－，易知||∈[||，||]＝，
则＝||2－∈，
故的最小值为－．]
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