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2024年浙江省温州市瓯海区初中毕业生第一次适应性考试 数学模拟试题
1．（2024九下·瓯海模拟）据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
2．（2024九下·瓯海模拟）青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从上面往下看，青溪龙砚的俯视图是一个圆环形状，
故答案为：C．
【分析】根据俯视图的概念求解．
3．（2024九下·瓯海模拟）下列整式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此选项不符合题意；
B、≠-6a2，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
4．（2024九下·瓯海模拟）小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有m张奖券，其中含奖项的奖券有n张，每名已购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有名顾客已经抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，小明中奖的概率为，
故答案为：C．
【分析】由题意可得小明抽取时还剩奖券(m-10)张，其中含奖项的奖券有(n-3)张，从而用含奖项的奖券数比上奖券的总数量即可算出小明中奖的概率.
5．（2024九下·瓯海模拟）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3台，据了解，2辆A型和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆 B型和1辆A型汽车的进价共计50万元，若设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：A．
【分析】根据题目中的等量关系“2辆A型新能源汽车的费用+1辆B型新能源汽车的费用=55万元，2辆B型新能源汽车的费用+1辆A型新能源汽车的费用=50万元”列关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解.
6．（2024九下·瓯海模拟）如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，
，
∴的半径为，
故答案为：C．
【分析】连接BD，由角平分线的定义可得出，根据圆心角、弧、弦的关系可得，由直径所对的圆周角等于90°得出，用勾股定理求出AB，即可求出的半径．
7．（2024九下·瓯海模拟）如图，在离地面高度为1.5米的A 处放风筝，风筝线长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度 为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过A作，垂足为E，
则四边形为矩形，
∴米，
在中，，
∴，
∴米，
故答案为：A．
【分析】过A作，垂足为E，由矩形的性质“矩形的对边相等”可求得的长，由锐角三角函数sinθ=求出的长度，然后根据线段的和差即可求解．
8．（2024九下·瓯海模拟）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，
∴根据平衡条件可得：，
整理得：，
∴y是的正比例函数，
把代入得：，
∴图象经过点，
∴C选项的函数图象符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平衡条件可得y与x之间的函数解析式，再把x=5代入求得的函数关系式计算可得图象经过点（5，200），然后再结合各选项判断即可求解．
9．（2024九下·瓯海模拟）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴 为，
函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上，
即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，，
A、若，则有，即，
解得：或（舍去），
当时，则，
，故符合题意；
B、若，则有，即，
解得：或，
当时，则，
，
当时，则，
，但不一定为0，故不符合题意；
C、若，则有，
当时，才有，才有，故不符合题意；
D、若，则有，
当且仅当时，才有，
此时，则，与题干矛盾，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据抛物线对称轴直线公式“”求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，且两函数均在对称轴上取到最小值，从而将两函数顶点的横坐标分别代入两函数解析式算出对应的函数值即可表示出两函数的最小值p、q，然后结合各个选项给出的条件，列出方程求解逐一判断即可．
10．（2024九下·瓯海模拟）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：
设，
∵四边形是正方形，，
∴，
∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，
∴，
在中，由勾股定理有：，
即，
整理得出，
则.
故答案为：B．
【分析】设，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，在Rt△ECF中，运用勾股定理建立方程，求解用含a的式子表示出x，即可得出DF的长，进而代入待求式子约分化简即可.
11．（2024九下·瓯海模拟）分解因式：2x2﹣8=
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．（2024九下·瓯海模拟）4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为 名．
【答案】450
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由扇形图可知：成绩不低于90分的人数占抽取人数的，
则1000名学生中，估计成绩不低于90分的人数为：（名），
故答案为：450．
【分析】根据扇形统计图提供的信息，由各组成绩的人数所占百分比之和等于“1”可求出样本中成绩不低于90分的人数所占的百分比，然后用样本中成绩不低于90分的学生占比直接乘以该校学生的总数，便可估计出该校学生中成绩不低于90分的学生数量．
13．（2024九下·瓯海模拟）不等式组的解集是 .
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可.
14．（2024九下·瓯海模拟）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
该马面裙裙面的面积，
故答案为：.
【分析】根据扇形面积的计算公式“”计算即可求解.
15．（2024九下·瓯海模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，过点P作轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作轴于，
在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，
，，
，OQ=，
将线段绕点顺时针旋转得到线段．
，，
，
，
，
∴ON=OQ+QN=，
，，
点也在该反比例函数的图象上，
，
解得．
故答案为：.
【分析】作轴于，根据反比例函数图象上点的坐标特点得，，则，OQ=，由旋转性质得出，，则，由含30°角直角三角形的性质得，进而利用勾股定理得，得到，，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k建立方程，求解即可.
16．（2024九下·瓯海模拟）如图1的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体ECDF呈半圆形状（碗体厚度不计），直径cm，碗底cm，，．
（1）如图1，当汤碗平放在桌面上时，碗的高度是 cm．
（2）如图2，将碗放在桌面上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，tan的值是 ．
【答案】；
【知识点】圆的综合题；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，设半圆的圆心为O，连接，过点O作直线于P，交于Q，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴cm，，
∵，
∴cm，
∵＝（cm），
∴cm．
∴碗的高度为15cm；
故答案为：；
（2）解：如图1，＝＝5cm，
∵将碗放在桌面上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，
∴当半圆O与直线相切时，碗内汤的深度最小，
如图2，设半圆O与直线相切于点R，连接，连接，，过点O作于K，
∵旋转，
∴cm，，
∵半圆O与直线相切于点R，
∴，
∴cm，
∴＝＝9cm，
∵，
∴（cm2），
∴，
∴×5，
∴cm，
∴＝＝3cm，
∴＝＝＝，
∴tan，
故答案为：．
【分析】（1）由垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”和勾股定理可求的长，然后根据线段的和差OQ=OP+PQ计算即可求解；
（2）由旋转的性质可得cm，，由勾股定理可求的长，由面积关系可求的长，然后根据锐角三角函数tan∠OBO ==tan∠MBA可求解．
17．（2024九下·瓯海模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质“”、0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”及绝对值的代数意义分别计算，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则分别计算，再利用乘法分配律进行计算，最后合并同类项即可．
18．（2024九下·瓯海模拟）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
………………………………第一步
…………………………………第二步
………………………………………第三步
经检验，是原方程的根 ……………第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第______步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
【答案】任务一：一
任务二：解：
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误；
故答案为：一；
【分析】任务一：观察解题过程发现第一步去分母时，常数项没有乘以(x-3)，据此可得答案；
任务二：先在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-3)约去分母，将分式方程化为整式方程，然后解整式方程求出x得值，最后再检验即可得出原方程根的情况．
19．（2024九下·瓯海模拟）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠D=∠DCF，∠F=∠DAE，由线段中点定义可得CE=DE，然后用角角边即可证得△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得AD=CF，再由等量代换即可求解；
（2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可．
20．（2024九下·瓯海模拟）某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和统计图．已知图1中，A，E两组对应的小长方形高度之比为．
组别 月零花钱消费额/元
A
B
C
D
E
请回答以下问题
（1）本次调查样本的容量是__________；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该校有2500名学生，试估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
【答案】（1）100
（2）解：由样本容量和各组的频率，可知各组的频数依次为：
A组，
B组，
C组，
D组，
E组，
则频数分布直方图如下：
（3）解：月消费零花钱不少于300元的学生是调查样本中D组和E组代表的学生，
∴总频率为，
∴月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
【知识点】频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解样本容量为．
故答案为：100；
【分析】（1）根据C组的频数和所占的百分比解题即可；
（2）利用样本容量和可各组的占比求出频率，补图即可；
（3）利用总数2500乘以D组和E组的占比和解题即可．
21．（2024九下·瓯海模拟）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）求边的长；
（2）连接，判断的形状；
（3）求这块空地的面积．
【答案】（1）解：，
．
在中，
，，
．
是的中点，
（2）解：△ADC是直角三角形，理由如下，如图，
，是的中点，
．
，，
，
，
是直角三角形
（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，
，
由（1）可知，，
这块空地得面积为：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，用勾股定理求出BE的值，然后根据线段中点的性质即可求解；
（2）△ADC是直角三角形，理由如下，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AC=AB，然后根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状；
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算即可求解．
22．（2024九下·瓯海模拟）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江 （河）连续绿道，圆圆和方方在笔直的绿道上分别从相距m米的甲，乙两地同时出发，匀速相向而行，已知圆圆的速度大于方方的速度，两人相遇停留 n分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地，甲地后原地休息，若两人之间的距离y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象信息，请求出m， n的值；
（2）求圆圆和方方的速度；（单位：米/分钟）
（3）求线段 所在直线的函数解析式．
【答案】（1）解：由图可知出发时两人相距，故米；
24分时两人相遇，32分时两人继续前进，则分钟；
（2）解：∵点A表示圆圆到达乙地，
∴圆圆的速度为米/分；
∴方方的速度为米/分；
（3）解：∵(48-8)×40=1600米，
∴A（48，1600）
∵2400÷40+8=68分钟，
∴B（68，2400）
设直线AB为y=kx+b，
把A、B两点的坐标分别代入得，
解得
∴直线AB为y=40x-320．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）函数图象反应的是两人之间的距离y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系，根据函数图象开始的点的坐标（0，2400）可得出发前的距离即为两人的距离m得值，相遇后两人之间的距离为0，然后开始休息，两人之间的距离始终为0，故图象落在x轴上，这段图象两端点横坐标的差就是停留时间n的值；
（2）根据点A表示圆圆到达乙地，总路程为244米，总用时为48-8=40分钟，根据路程除以时间等于速度可以求出圆圆的速度，然后根据相遇时两人速度和求出方方的速度即可；
（3）根据实际问题可以知道A点表示圆圆到达乙地后原地休息 ，而方方继续前进，B点则表示方方到达了甲地，根据路程=速度×时间可得A、B点的坐标，进而利用待定系数法求解即可.
23．（2024九下·瓯海模拟）综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为．
分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．
【答案】解：（1）方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，，
方案2：设，
则，
∴，
∵，
当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为；
（2）图示如下：
（同（1）过程，可分别求得：
方案1：∵，则．
∴（）．
∴当时， ．
方案2：（）
∴当为12时，达到最大，最大值是48．
可见矩形种植园面积最大为，此时
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
24．（2024九下·瓯海模拟）如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，求 (用含k 的式子表示)．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：设，
∵圆周角和所对的弧是，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
由（2）知：，
∴，
当点与点重合时，则，得，即，
此时不存在，不符合题意，
∴，
如图所示，当点E在上时，
∴，
∵的底和的底共线，且高相等，
∴，即．
如图所示，当点E在上时，
∴，
∵的底和的底共线，且高相等，
∴，即，
综上所述，或
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可得，，再根据直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，最后在△ADE中，由三角形内角和定理计算即可求解；
（2）由（1）的结论并结合等边对等角可得，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等得比例式，将比例式化为乘积式即可求证；
（3）设，根据圆周角定理得，根据锐角三角函数tanD=求出AD的值，在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD的值，再由（2）的结论得，然后分点E在上，两种情况求出，再根据可求解．
1 / 12024年浙江省温州市瓯海区初中毕业生第一次适应性考试 数学模拟试题
1．（2024九下·瓯海模拟）据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·瓯海模拟）青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·瓯海模拟）下列整式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·瓯海模拟）小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有m张奖券，其中含奖项的奖券有n张，每名已购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有名顾客已经抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·瓯海模拟）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3台，据了解，2辆A型和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆 B型和1辆A型汽车的进价共计50万元，若设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·瓯海模拟）如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．（2024九下·瓯海模拟）如图，在离地面高度为1.5米的A 处放风筝，风筝线长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度 为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2024九下·瓯海模拟）如图1是我国传统的计重工具—秤，当秤钩处挂上物品，移动秤砣使得秤杆处于水平位置时即可称出物品的重量，这用到了杠杆原理（如图2杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．已知一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，已知秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，则关于的函数关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·瓯海模拟）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024九下·瓯海模拟）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·瓯海模拟）分解因式：2x2﹣8=
12．（2024九下·瓯海模拟）4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为 名．
13．（2024九下·瓯海模拟）不等式组的解集是 .
14．（2024九下·瓯海模拟）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）
15．（2024九下·瓯海模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，过点P作轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
16．（2024九下·瓯海模拟）如图1的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体ECDF呈半圆形状（碗体厚度不计），直径cm，碗底cm，，．
（1）如图1，当汤碗平放在桌面上时，碗的高度是 cm．
（2）如图2，将碗放在桌面上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，tan的值是 ．
17．（2024九下·瓯海模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2024九下·瓯海模拟）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
………………………………第一步
…………………………………第二步
………………………………………第三步
经检验，是原方程的根 ……………第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第______步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
19．（2024九下·瓯海模拟）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
20．（2024九下·瓯海模拟）某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和统计图．已知图1中，A，E两组对应的小长方形高度之比为．
组别 月零花钱消费额/元
A
B
C
D
E
请回答以下问题
（1）本次调查样本的容量是__________；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该校有2500名学生，试估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
21．（2024九下·瓯海模拟）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
（1）求边的长；
（2）连接，判断的形状；
（3）求这块空地的面积．
22．（2024九下·瓯海模拟）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江 （河）连续绿道，圆圆和方方在笔直的绿道上分别从相距m米的甲，乙两地同时出发，匀速相向而行，已知圆圆的速度大于方方的速度，两人相遇停留 n分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地，甲地后原地休息，若两人之间的距离y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象信息，请求出m， n的值；
（2）求圆圆和方方的速度；（单位：米/分钟）
（3）求线段 所在直线的函数解析式．
23．（2024九下·瓯海模拟）综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为．
分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）．
思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）．
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．
24．（2024九下·瓯海模拟）如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，求 (用含k 的式子表示)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从上面往下看，青溪龙砚的俯视图是一个圆环形状，
故答案为：C．
【分析】根据俯视图的概念求解．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此选项不符合题意；
B、≠-6a2，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，小明中奖的概率为，
故答案为：C．
【分析】由题意可得小明抽取时还剩奖券(m-10)张，其中含奖项的奖券有(n-3)张，从而用含奖项的奖券数比上奖券的总数量即可算出小明中奖的概率.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：A．
【分析】根据题目中的等量关系“2辆A型新能源汽车的费用+1辆B型新能源汽车的费用=55万元，2辆B型新能源汽车的费用+1辆A型新能源汽车的费用=50万元”列关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，
，
∴的半径为，
故答案为：C．
【分析】连接BD，由角平分线的定义可得出，根据圆心角、弧、弦的关系可得，由直径所对的圆周角等于90°得出，用勾股定理求出AB，即可求出的半径．
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过A作，垂足为E，
则四边形为矩形，
∴米，
在中，，
∴，
∴米，
故答案为：A．
【分析】过A作，垂足为E，由矩形的性质“矩形的对边相等”可求得的长，由锐角三角函数sinθ=求出的长度，然后根据线段的和差即可求解．
8．【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵一杆秤的秤砣重，秤钮和秤钩的水平距离为，当秤杆处于水平位置时，秤砣到秤钮的水平距离为，秤钩所挂物品重为，
∴根据平衡条件可得：，
整理得：，
∴y是的正比例函数，
把代入得：，
∴图象经过点，
∴C选项的函数图象符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平衡条件可得y与x之间的函数解析式，再把x=5代入求得的函数关系式计算可得图象经过点（5，200），然后再结合各选项判断即可求解．
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴 为，
函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上，
即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，，
A、若，则有，即，
解得：或（舍去），
当时，则，
，故符合题意；
B、若，则有，即，
解得：或，
当时，则，
，
当时，则，
，但不一定为0，故不符合题意；
C、若，则有，
当时，才有，才有，故不符合题意；
D、若，则有，
当且仅当时，才有，
此时，则，与题干矛盾，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据抛物线对称轴直线公式“”求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，且两函数均在对称轴上取到最小值，从而将两函数顶点的横坐标分别代入两函数解析式算出对应的函数值即可表示出两函数的最小值p、q，然后结合各个选项给出的条件，列出方程求解逐一判断即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：
设，
∵四边形是正方形，，
∴，
∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，
∴，
在中，由勾股定理有：，
即，
整理得出，
则.
故答案为：B．
【分析】设，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，在Rt△ECF中，运用勾股定理建立方程，求解用含a的式子表示出x，即可得出DF的长，进而代入待求式子约分化简即可.
11．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．【答案】450
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由扇形图可知：成绩不低于90分的人数占抽取人数的，
则1000名学生中，估计成绩不低于90分的人数为：（名），
故答案为：450．
【分析】根据扇形统计图提供的信息，由各组成绩的人数所占百分比之和等于“1”可求出样本中成绩不低于90分的人数所占的百分比，然后用样本中成绩不低于90分的学生占比直接乘以该校学生的总数，便可估计出该校学生中成绩不低于90分的学生数量．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
该马面裙裙面的面积，
故答案为：.
【分析】根据扇形面积的计算公式“”计算即可求解.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作轴于，
在反比例函数的图象上，其纵坐标为4，
，，
，OQ=，
将线段绕点顺时针旋转得到线段．
，，
，
，
，
∴ON=OQ+QN=，
，，
点也在该反比例函数的图象上，
，
解得．
故答案为：.
【分析】作轴于，根据反比例函数图象上点的坐标特点得，，则，OQ=，由旋转性质得出，，则，由含30°角直角三角形的性质得，进而利用勾股定理得，得到，，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k建立方程，求解即可.
16．【答案】；
【知识点】圆的综合题；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，设半圆的圆心为O，连接，过点O作直线于P，交于Q，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴cm，，
∵，
∴cm，
∵＝（cm），
∴cm．
∴碗的高度为15cm；
故答案为：；
（2）解：如图1，＝＝5cm，
∵将碗放在桌面上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，
∴当半圆O与直线相切时，碗内汤的深度最小，
如图2，设半圆O与直线相切于点R，连接，连接，，过点O作于K，
∵旋转，
∴cm，，
∵半圆O与直线相切于点R，
∴，
∴cm，
∴＝＝9cm，
∵，
∴（cm2），
∴，
∴×5，
∴cm，
∴＝＝3cm，
∴＝＝＝，
∴tan，
故答案为：．
【分析】（1）由垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”和勾股定理可求的长，然后根据线段的和差OQ=OP+PQ计算即可求解；
（2）由旋转的性质可得cm，，由勾股定理可求的长，由面积关系可求的长，然后根据锐角三角函数tan∠OBO ==tan∠MBA可求解．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质“”、0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”及绝对值的代数意义分别计算，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则分别计算，再利用乘法分配律进行计算，最后合并同类项即可．
18．【答案】任务一：一
任务二：解：
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误；
故答案为：一；
【分析】任务一：观察解题过程发现第一步去分母时，常数项没有乘以(x-3)，据此可得答案；
任务二：先在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-3)约去分母，将分式方程化为整式方程，然后解整式方程求出x得值，最后再检验即可得出原方程根的情况．
19．【答案】（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠D=∠DCF，∠F=∠DAE，由线段中点定义可得CE=DE，然后用角角边即可证得△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得AD=CF，再由等量代换即可求解；
（2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可．
20．【答案】（1）100
（2）解：由样本容量和各组的频率，可知各组的频数依次为：
A组，
B组，
C组，
D组，
E组，
则频数分布直方图如下：
（3）解：月消费零花钱不少于300元的学生是调查样本中D组和E组代表的学生，
∴总频率为，
∴月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
【知识点】频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解样本容量为．
故答案为：100；
【分析】（1）根据C组的频数和所占的百分比解题即可；
（2）利用样本容量和可各组的占比求出频率，补图即可；
（3）利用总数2500乘以D组和E组的占比和解题即可．
21．【答案】（1）解：，
．
在中，
，，
．
是的中点，
（2）解：△ADC是直角三角形，理由如下，如图，
，是的中点，
．
，，
，
，
是直角三角形
（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，
，
由（1）可知，，
这块空地得面积为：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，用勾股定理求出BE的值，然后根据线段中点的性质即可求解；
（2）△ADC是直角三角形，理由如下，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AC=AB，然后根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状；
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算即可求解．
22．【答案】（1）解：由图可知出发时两人相距，故米；
24分时两人相遇，32分时两人继续前进，则分钟；
（2）解：∵点A表示圆圆到达乙地，
∴圆圆的速度为米/分；
∴方方的速度为米/分；
（3）解：∵(48-8)×40=1600米，
∴A（48，1600）
∵2400÷40+8=68分钟，
∴B（68，2400）
设直线AB为y=kx+b，
把A、B两点的坐标分别代入得，
解得
∴直线AB为y=40x-320．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）函数图象反应的是两人之间的距离y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系，根据函数图象开始的点的坐标（0，2400）可得出发前的距离即为两人的距离m得值，相遇后两人之间的距离为0，然后开始休息，两人之间的距离始终为0，故图象落在x轴上，这段图象两端点横坐标的差就是停留时间n的值；
（2）根据点A表示圆圆到达乙地，总路程为244米，总用时为48-8=40分钟，根据路程除以时间等于速度可以求出圆圆的速度，然后根据相遇时两人速度和求出方方的速度即可；
（3）根据实际问题可以知道A点表示圆圆到达乙地后原地休息 ，而方方继续前进，B点则表示方方到达了甲地，根据路程=速度×时间可得A、B点的坐标，进而利用待定系数法求解即可.
23．【答案】解：（1）方案1：∵，则，
∴，
∵，
∴当时，，
方案2：设，
则，
∴，
∵，
当时，．
∵，
∴矩形种植园面积最大为；
（2）图示如下：
（同（1）过程，可分别求得：
方案1：∵，则．
∴（）．
∴当时， ．
方案2：（）
∴当为12时，达到最大，最大值是48．
可见矩形种植园面积最大为，此时
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：设，
∵圆周角和所对的弧是，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
由（2）知：，
∴，
当点与点重合时，则，得，即，
此时不存在，不符合题意，
∴，
如图所示，当点E在上时，
∴，
∵的底和的底共线，且高相等，
∴，即．
如图所示，当点E在上时，
∴，
∵的底和的底共线，且高相等，
∴，即，
综上所述，或
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可得，，再根据直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，最后在△ADE中，由三角形内角和定理计算即可求解；
（2）由（1）的结论并结合等边对等角可得，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等得比例式，将比例式化为乘积式即可求证；
（3）设，根据圆周角定理得，根据锐角三角函数tanD=求出AD的值，在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD的值，再由（2）的结论得，然后分点E在上，两种情况求出，再根据可求解．
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