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湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024八下·岳阳期中)下列图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:A.不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B.不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.是中心对称图形,故此选项符合题意;
D.不是中心对称图形,故此选项不合题意;
故选C.
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
2.(2024八下·岳阳期中)下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )
A.2,2,3 B.3,4,6 C.5,12,15 D.6,8,10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A.,则三角形不是直角三角形,故选项不符合题意;
B.,则三角形不是直角三角形,故选项不符合题意;
C.,则三角形不是直角三角形,故选项不符合题意;
D.,则三角形是直角三角形,故选项符合题意.
故选:D.
【分析】
用检验一个三角形是否是直角三角形时,必须用较小两个边的平方和与最大边的平方比较.
3.(2024八下·岳阳期中)如图,,,,则判定的依据是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解:,,
在和中,
,
(HL).
故选:C.
【分析】
观察图形知,两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等,直接应用“HL”即可判定.
4.(2024八下·岳阳期中)一个多边形的每一个外角都是,则这个多边形是( )
A.三角形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设这个多边形是边形
,
即这个多边形是五边形,
故选:B.
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是360度,因此可直接用360度除以外角度数即可.
5.(2024八下·岳阳期中)如图,将长为的橡皮筋放置在水平面上,固定两端和,然后把中点垂直向上拉升至点,则橡皮筋被拉长了( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理
【解析】【解答】解:中,,;
∴,
根据勾股定理,得:;
;
故橡皮筋被拉长了.
故选:A.
【分析】
由线段垂直平分线的性质知AD等于BD,由于中AC与CD已知,可直接应用勾股定理求出AD的长,则BD可知,再用AD与BD的和减去AB的长即可.
6.(2024八下·岳阳期中)在 中, ,那么∠A的度数是( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∵
∴
∴
故答案为:A.
【分析】利用平行四边形的性质可得,再结合,求出即可。
7.(2024八下·岳阳期中)若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线,则n是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解:由题意知,,
解得,,
故选:B.
【分析】
从边形一个顶点最多能引出条对角线.
8.(2024八下·岳阳期中)对于四边形的以下说法:其中正确的个数有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形;
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形;
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定
【解析】【解答】解:①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,属于平行四边形的判定定理,成立;
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形,属于矩形的判定定理,成立;
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形,属于菱形的判定定理,成立;
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形.不成立.
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定,是正确的,④只能判定是菱形而不具备矩形的条件.
故选C.
【分析】
①对角线互相平分的四边形是平行四边形,故结论正确;
②先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形,再由对角线相等可得平行四边形是矩形,故结论正确;
③先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形,再由对角线垂直可得平行四边形是菱形,故结论正确;
④由中位线定理可知四边形的四条边相等可得该四边形是菱形,故结论错误.
9.(2024八下·岳阳期中)如图,将边长为的正方形纸片折叠,使点D落在边的中点E处,折痕为,则线段的长是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】勾股定理;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:由题意得,,
∵点E是的中点,
∴,
由折叠的性质可得,
设,则,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得,
∴,
∴,
故选A.
【分析】
由折叠的性质可把DN转化到EN上,此时由于CN与DN的和已知,CE长等于BC的一半已知,设出CN的长,则EN的长可用CN的代数式表示,直接在中应用勾股定理即可.
10.(2024八下·岳阳期中)如图,矩形中,,,将矩形绕顶点C顺时针旋转,得到矩形,连接,取的中点H,连接,则的长为( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;旋转的性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:如图,延长,交于,
将矩形绕顶点顺时针旋转,得到矩形,
,,
,
,
,
点是的中点,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
故选:D.
【分析】
延长DH交EF于点N,则可利用平行线的性质结合中点的概念可证,可得等于的一半,再在中应用勾股定理求得DN即可.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024八下·岳阳期中)中,,,则 .
【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解:∵中,,,
∴,
故答案为:.
【分析】
直角三角形两锐角互余.
12.(2024八下·岳阳期中)一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为 .
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵多边形的外角和是360度,多边形的内角和是外角和的2倍,
则内角和是720度,
720÷180+2=6,
∴这个多边形是六边形.
故答案为:6.
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题.
13.(2024八下·岳阳期中)三角形三边长为6、8、10,那么最长边上的高为 .
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:∵,
∴三角形为直角三角形,
设斜边上的高为h,
∵三角形的面积,
∴.
故答案为:.
【分析】
先由三边长可判断该三角形是直角三角形,再利用等面积法可求得斜边上的高.
14.(2024八下·岳阳期中)正方形的对角线长为8,则面积为 .
【答案】32
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解:∵正方形的对角线长为8,
∴正方形的面积为:×8×8=32.
故答案为:32.
【分析】根据正方形的面积等于对角线的乘积的一半进行计算即可.
15.(2024八下·岳阳期中)如图,O是矩形的对角线的中点,M是的中点.若,则四边形的周长为 .
【答案】20
【知识点】勾股定理;矩形的性质;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,,
∴,,
∵O是矩形的对角线的中点,
∴,
∵M是的中点,
∴是的中位线,,
∴,
∴四边形的周长为:,
故答案为:20.
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线,OM是的中位线,则OB可求,再利用勾股定理可求得AC的BC的长,再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长,则四边形的周长可求 .
16.(2024八下·岳阳期中)如图,在中,,垂直平分,交于点E,,则的值是 .
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:∵垂直平分,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:9.
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理可得AE等于BE,由已知条件结合等腰三角形的性质及外角的性质可求得等于,则AE、BE可求,此时把BE看作底边,则AC是BE上的高,直接利用三角形面积的计算公式直接即可.
17.(2024八下·岳阳期中)如图所示的方格纸中,点A,B,C都在方格线的交点上,则 °.
【答案】135
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;勾股定理的逆定理;邻补角
【解析】【解答】解: 如图,取格点D,连接、,
设网格边长为1
则,,,,,
∴,,
∴
∴
则,
∴,
∴B、C、D三点共线,
∴.
故答案为:135.
【分析】
由于无法直接求出的度数,则可转化为求的邻补角,因此可在格点取点D构造等腰直角三角形ACD即可.
18.(2024八下·岳阳期中)如图,在正方形ABCD中,,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点,过点E作于点F,于点G,连接DE,FG,下列结论:①;②;③;④FG的最小值为2,其中正确的结论是 .(只填序号)
【答案】①②④
【知识点】勾股定理;矩形的性质;正方形的性质;三角形全等的判定-SAS;四边形-动点问题
【解析】【解答】解:如图所示,连接BE,交FG于点O,
∵,,
∴,
∵,
∴四边形EFBG为矩形,
∴,,
∵四边形ABCD为正方形,
∴,,
在和中,
∴(SAS),
∴,
∴,
即①正确;
延长DE,交FG于M,交FB于点H,
由(1)得,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴,
即②正确;
∵,
∴,
即③错误,
∵E为对角线AC上的一个动点,
∴当时,DE最小,
∵,,
∴,
∴,
由①知,,
∴FG的最小值为,
即④正确,
综上,①②④正确,
故答案为:①②④.
【分析】
①由于正方形的一条对角线平分一组对角,因此可连接EB交FG于点O,则可利用SAS证明,则EB等于ED,又可证四边形BGEF是矩形,则FG等于EB等于ED,故结论正确;
②如图所示,延长DE交AB于点H,由矩形的对角线互相平分且相等可得等于,由①知等于,再借助平行线的性质可得等于,从而可得,故结论正确;
③由②知等于,显然不一定等于,故结论错误;
④由于FG等于EB,显然当BE垂直AC时最小,此时BE等于AC的一半等于,故结论正确.
三、解答题:(共66分)
19.(2024八下·岳阳期中)如图,在网格中,不用量角器和刻度尺,画出已知图形关于点O的中心对称图形.
【答案】解:如图所示:
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】根据网格线分别作出四个顶点关于点的对称点,然后顺次连接这四个对称点即可.
20.(2024八下·岳阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB、CD上,AE=CF ,且DF=BF;
求证:四边形DEBF为菱形.
【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,且CD=AB,
又CF=AE,
∴CD-CF=AB-AE,
即DF=BE,
又,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又DF=BF,
∴平行四边形DEBF是菱形.
【知识点】平行四边形的性质;菱形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等可得四边形DEBF的一组对边BE与DF平行且相等,先判定其是平行四边形,再由一组邻边相等即可证明是菱形.
21.(2024八下·岳阳期中)阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是 °.
(2)小明求的是几边形的内角和?
【答案】(1)30
(2)解:设这个多边形n为边形,由题意得:,
解得:;
答:小明求的是12边形的内角和;
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】(1)解:12边形的内角和为,
而13边形的内角和为,
由于小红说:“多边形的内角和不可能是,你一定是多加了一个锐角”,
所以这个“多加的锐角是,
所以答案为:30;
【分析】
(1)由于恰好是12边形的内角和,而13边形的内角和为,因此小红说法正确,小明确实多算了一个度数为的锐角;
(2)利用多边形的内角和为列式计算即可求出多边形的边数.
22.(2024八下·岳阳期中)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为,,时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为______.
(2)八(2)班的劳动实践基地的三边长分别为,,如图),你能帮助他们求出面积吗?
【答案】(1)30
(2)解:过A作交于点D.
设,则.
在和
由勾股定理得
,
解得,
在中,由勾股定理得,
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理;勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】(1)解:∵,
∴该三角形为直角三角形,其中13为斜边,
∴这块试验基地的面积为,
故答案为:30;
【分析】
(1)由于5、12、13是一组勾股数,利用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,再利用两直角边的乘积即可;
(2)过作交于点可构造两直角三角形即和.设,则,利用勾股定理可建立关于的一元二次方程,解这个方程即可求出的长,再利用三角形面积公式计算即可.
23.(2024八下·岳阳期中)如图,在中,,平分垂直平分于点D,若,求的长.
【答案】解:设,则.∵平分,
又∵
∴,
∵垂直平分,
∴,
∴.
∵在中,,
∴,
∴,即,
∴.
故:长为6.
【知识点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【分析】
设,则,由角平分线的性质可得,由垂直平分于可得,则有等于等于等于,则等于的2倍,可得到关于x的一元一次方程,解方程即可.
24.(2024八下·岳阳期中)如图,在中,,延长至D,使得,过点A,D分别作,,与相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连接,则可证明. 小红:由题目的已知条件,若连接,则可证明.
请你选择一位同学的说法,并进行证明.
【答案】证明:①选择小星的说法,证明如下:
如图,连接,
,,
四边形是平行四边形,
,
,
,
又,点D在的延长线上,
,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是矩形,
;
②选择小红的说法,证明如下:
如图,连接,,
由①可知四边形是矩形,
,
四边形是平行四边形,
,
.
【知识点】平行四边形的判定与性质;矩形的性质;矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法,连接EB,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB,等量代换得AE平行且等于BC,则四边形ACBE是平行四边形,又,则由矩形的概念可得等于,即;
若选择小红的说法,连接CE,由小星的说法可知四边形ACBE是矩形,则对角线BA等于EC;又可证四边形ABDE是平行四边形,则对边DE等于AB,等量代换得CE等于DE.
25.(2024八下·岳阳期中)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离).若AB=40cm,当从变为时,千斤顶升高了多少.
【答案】解: 连结AC,与BD相交于点O ,
四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,∠ ADB=∠CDB,AC=2AO
当∠ADC=时,△ ADC是等边三角形
∴AC=AD=AB=40
当∠ADC=时,∠ ADO=
∴AO=ADsin∠ADO=40×=20
∴AC=40
∴增加的高度为4040=40()(cm).
【知识点】菱形的判定与性质;解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
如图所示:当时,由菱形的性质可知是等边三角形,即AC等于AD等于AB为40;当时,由菱形的性质知,,解可得出OA的值为,则AC等于OA的2倍即,最后用AC的较大值减去较小值即可.
26.(2024八下·岳阳期中)(1)用数学的眼光观察.
如图,在四边形中,,是对角线的中点,是的中点,是的中点,求证:.
(2)用数学的思维思考.
如图,延长图中的线段交的延长线于点,延长线段交的延长线于点,求证:.
(3)用数学的语言表达.
如图,在中,,点在上,,是的中点,是的中点,连接并延长,与的延长线交于点,连接,若,试判断的形状,并进行证明.
【答案】(1)证明:是BD的中点,是的中点,
.
同理,.
,
.
.
解:(2)是BD的中点,N是CD的中点,
,
.
∵P是BD的中点,M是AB的中点,
∴PM∥AD,
.
由(1)可知,
.
(3)是直角三角形,证明如下:
如图,取BD的中点P,连接PM,PN,
是的中点,
,.
同理,,.
,
.
.
,
,
.
,
.
又,
是等边三角形,
.
又,
.
,
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线等于第三边的一半得,,结合AD=BC可得,利用等边对等角即可得到;
(2)根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC,PM∥AD,由二直线平行,同位角相等得,由二直线平行,内错角相等得,通过第(1)问的结果进行等量代换即可证明;
(3)取BD的中点P,连接PM,PN,根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,可推出PM∥AD,PN∥BC,,,结合已知推出PM=PN,由等边对等角得∠PMN=∠PNM,然后根据二直线平行,内错角相等(同位角相等),再结合对顶角相等及等量代换可得,由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形,得CN=GN=DN,由等边对等角及三角形外角性质可求出,从而求出度数,即可求证的形状.
1 / 1湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2024八下·岳阳期中)下列图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.(2024八下·岳阳期中)下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )
A.2,2,3 B.3,4,6 C.5,12,15 D.6,8,10
3.(2024八下·岳阳期中)如图,,,,则判定的依据是( )
A. B. C. D.无法确定
4.(2024八下·岳阳期中)一个多边形的每一个外角都是,则这个多边形是( )
A.三角形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
5.(2024八下·岳阳期中)如图,将长为的橡皮筋放置在水平面上,固定两端和,然后把中点垂直向上拉升至点,则橡皮筋被拉长了( )
A. B. C. D.
6.(2024八下·岳阳期中)在 中, ,那么∠A的度数是( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
7.(2024八下·岳阳期中)若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线,则n是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.(2024八下·岳阳期中)对于四边形的以下说法:其中正确的个数有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形;
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形;
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(2024八下·岳阳期中)如图,将边长为的正方形纸片折叠,使点D落在边的中点E处,折痕为,则线段的长是( )
A. B. C. D.
10.(2024八下·岳阳期中)如图,矩形中,,,将矩形绕顶点C顺时针旋转,得到矩形,连接,取的中点H,连接,则的长为( )
A.1 B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024八下·岳阳期中)中,,,则 .
12.(2024八下·岳阳期中)一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为 .
13.(2024八下·岳阳期中)三角形三边长为6、8、10,那么最长边上的高为 .
14.(2024八下·岳阳期中)正方形的对角线长为8,则面积为 .
15.(2024八下·岳阳期中)如图,O是矩形的对角线的中点,M是的中点.若,则四边形的周长为 .
16.(2024八下·岳阳期中)如图,在中,,垂直平分,交于点E,,则的值是 .
17.(2024八下·岳阳期中)如图所示的方格纸中,点A,B,C都在方格线的交点上,则 °.
18.(2024八下·岳阳期中)如图,在正方形ABCD中,,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点,过点E作于点F,于点G,连接DE,FG,下列结论:①;②;③;④FG的最小值为2,其中正确的结论是 .(只填序号)
三、解答题:(共66分)
19.(2024八下·岳阳期中)如图,在网格中,不用量角器和刻度尺,画出已知图形关于点O的中心对称图形.
20.(2024八下·岳阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB、CD上,AE=CF ,且DF=BF;
求证:四边形DEBF为菱形.
21.(2024八下·岳阳期中)阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是 °.
(2)小明求的是几边形的内角和?
22.(2024八下·岳阳期中)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为,,时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为______.
(2)八(2)班的劳动实践基地的三边长分别为,,如图),你能帮助他们求出面积吗?
23.(2024八下·岳阳期中)如图,在中,,平分垂直平分于点D,若,求的长.
24.(2024八下·岳阳期中)如图,在中,,延长至D,使得,过点A,D分别作,,与相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连接,则可证明. 小红:由题目的已知条件,若连接,则可证明.
请你选择一位同学的说法,并进行证明.
25.(2024八下·岳阳期中)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离).若AB=40cm,当从变为时,千斤顶升高了多少.
26.(2024八下·岳阳期中)(1)用数学的眼光观察.
如图,在四边形中,,是对角线的中点,是的中点,是的中点,求证:.
(2)用数学的思维思考.
如图,延长图中的线段交的延长线于点,延长线段交的延长线于点,求证:.
(3)用数学的语言表达.
如图,在中,,点在上,,是的中点,是的中点,连接并延长,与的延长线交于点,连接,若,试判断的形状,并进行证明.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:A.不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B.不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C.是中心对称图形,故此选项符合题意;
D.不是中心对称图形,故此选项不合题意;
故选C.
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
2.【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A.,则三角形不是直角三角形,故选项不符合题意;
B.,则三角形不是直角三角形,故选项不符合题意;
C.,则三角形不是直角三角形,故选项不符合题意;
D.,则三角形是直角三角形,故选项符合题意.
故选:D.
【分析】
用检验一个三角形是否是直角三角形时,必须用较小两个边的平方和与最大边的平方比较.
3.【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解:,,
在和中,
,
(HL).
故选:C.
【分析】
观察图形知,两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等,直接应用“HL”即可判定.
4.【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设这个多边形是边形
,
即这个多边形是五边形,
故选:B.
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是360度,因此可直接用360度除以外角度数即可.
5.【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理
【解析】【解答】解:中,,;
∴,
根据勾股定理,得:;
;
故橡皮筋被拉长了.
故选:A.
【分析】
由线段垂直平分线的性质知AD等于BD,由于中AC与CD已知,可直接应用勾股定理求出AD的长,则BD可知,再用AD与BD的和减去AB的长即可.
6.【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∵
∴
∴
故答案为:A.
【分析】利用平行四边形的性质可得,再结合,求出即可。
7.【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解:由题意知,,
解得,,
故选:B.
【分析】
从边形一个顶点最多能引出条对角线.
8.【答案】C
【知识点】平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定
【解析】【解答】解:①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,属于平行四边形的判定定理,成立;
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形,属于矩形的判定定理,成立;
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形,属于菱形的判定定理,成立;
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形.不成立.
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定,是正确的,④只能判定是菱形而不具备矩形的条件.
故选C.
【分析】
①对角线互相平分的四边形是平行四边形,故结论正确;
②先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形,再由对角线相等可得平行四边形是矩形,故结论正确;
③先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形,再由对角线垂直可得平行四边形是菱形,故结论正确;
④由中位线定理可知四边形的四条边相等可得该四边形是菱形,故结论错误.
9.【答案】A
【知识点】勾股定理;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:由题意得,,
∵点E是的中点,
∴,
由折叠的性质可得,
设,则,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得,
∴,
∴,
故选A.
【分析】
由折叠的性质可把DN转化到EN上,此时由于CN与DN的和已知,CE长等于BC的一半已知,设出CN的长,则EN的长可用CN的代数式表示,直接在中应用勾股定理即可.
10.【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;旋转的性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:如图,延长,交于,
将矩形绕顶点顺时针旋转,得到矩形,
,,
,
,
,
点是的中点,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
故选:D.
【分析】
延长DH交EF于点N,则可利用平行线的性质结合中点的概念可证,可得等于的一半,再在中应用勾股定理求得DN即可.
11.【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解:∵中,,,
∴,
故答案为:.
【分析】
直角三角形两锐角互余.
12.【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵多边形的外角和是360度,多边形的内角和是外角和的2倍,
则内角和是720度,
720÷180+2=6,
∴这个多边形是六边形.
故答案为:6.
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题.
13.【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:∵,
∴三角形为直角三角形,
设斜边上的高为h,
∵三角形的面积,
∴.
故答案为:.
【分析】
先由三边长可判断该三角形是直角三角形,再利用等面积法可求得斜边上的高.
14.【答案】32
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解:∵正方形的对角线长为8,
∴正方形的面积为:×8×8=32.
故答案为:32.
【分析】根据正方形的面积等于对角线的乘积的一半进行计算即可.
15.【答案】20
【知识点】勾股定理;矩形的性质;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,,
∴,,
∵O是矩形的对角线的中点,
∴,
∵M是的中点,
∴是的中位线,,
∴,
∴四边形的周长为:,
故答案为:20.
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线,OM是的中位线,则OB可求,再利用勾股定理可求得AC的BC的长,再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长,则四边形的周长可求 .
16.【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:∵垂直平分,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:9.
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理可得AE等于BE,由已知条件结合等腰三角形的性质及外角的性质可求得等于,则AE、BE可求,此时把BE看作底边,则AC是BE上的高,直接利用三角形面积的计算公式直接即可.
17.【答案】135
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;勾股定理的逆定理;邻补角
【解析】【解答】解: 如图,取格点D,连接、,
设网格边长为1
则,,,,,
∴,,
∴
∴
则,
∴,
∴B、C、D三点共线,
∴.
故答案为:135.
【分析】
由于无法直接求出的度数,则可转化为求的邻补角,因此可在格点取点D构造等腰直角三角形ACD即可.
18.【答案】①②④
【知识点】勾股定理;矩形的性质;正方形的性质;三角形全等的判定-SAS;四边形-动点问题
【解析】【解答】解:如图所示,连接BE,交FG于点O,
∵,,
∴,
∵,
∴四边形EFBG为矩形,
∴,,
∵四边形ABCD为正方形,
∴,,
在和中,
∴(SAS),
∴,
∴,
即①正确;
延长DE,交FG于M,交FB于点H,
由(1)得,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴,
即②正确;
∵,
∴,
即③错误,
∵E为对角线AC上的一个动点,
∴当时,DE最小,
∵,,
∴,
∴,
由①知,,
∴FG的最小值为,
即④正确,
综上,①②④正确,
故答案为:①②④.
【分析】
①由于正方形的一条对角线平分一组对角,因此可连接EB交FG于点O,则可利用SAS证明,则EB等于ED,又可证四边形BGEF是矩形,则FG等于EB等于ED,故结论正确;
②如图所示,延长DE交AB于点H,由矩形的对角线互相平分且相等可得等于,由①知等于,再借助平行线的性质可得等于,从而可得,故结论正确;
③由②知等于,显然不一定等于,故结论错误;
④由于FG等于EB,显然当BE垂直AC时最小,此时BE等于AC的一半等于,故结论正确.
19.【答案】解:如图所示:
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】根据网格线分别作出四个顶点关于点的对称点,然后顺次连接这四个对称点即可.
20.【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,且CD=AB,
又CF=AE,
∴CD-CF=AB-AE,
即DF=BE,
又,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又DF=BF,
∴平行四边形DEBF是菱形.
【知识点】平行四边形的性质;菱形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等可得四边形DEBF的一组对边BE与DF平行且相等,先判定其是平行四边形,再由一组邻边相等即可证明是菱形.
21.【答案】(1)30
(2)解:设这个多边形n为边形,由题意得:,
解得:;
答:小明求的是12边形的内角和;
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】(1)解:12边形的内角和为,
而13边形的内角和为,
由于小红说:“多边形的内角和不可能是,你一定是多加了一个锐角”,
所以这个“多加的锐角是,
所以答案为:30;
【分析】
(1)由于恰好是12边形的内角和,而13边形的内角和为,因此小红说法正确,小明确实多算了一个度数为的锐角;
(2)利用多边形的内角和为列式计算即可求出多边形的边数.
22.【答案】(1)30
(2)解:过A作交于点D.
设,则.
在和
由勾股定理得
,
解得,
在中,由勾股定理得,
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理;勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】(1)解:∵,
∴该三角形为直角三角形,其中13为斜边,
∴这块试验基地的面积为,
故答案为:30;
【分析】
(1)由于5、12、13是一组勾股数,利用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,再利用两直角边的乘积即可;
(2)过作交于点可构造两直角三角形即和.设,则,利用勾股定理可建立关于的一元二次方程,解这个方程即可求出的长,再利用三角形面积公式计算即可.
23.【答案】解:设,则.∵平分,
又∵
∴,
∵垂直平分,
∴,
∴.
∵在中,,
∴,
∴,即,
∴.
故:长为6.
【知识点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【分析】
设,则,由角平分线的性质可得,由垂直平分于可得,则有等于等于等于,则等于的2倍,可得到关于x的一元一次方程,解方程即可.
24.【答案】证明:①选择小星的说法,证明如下:
如图,连接,
,,
四边形是平行四边形,
,
,
,
又,点D在的延长线上,
,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是矩形,
;
②选择小红的说法,证明如下:
如图,连接,,
由①可知四边形是矩形,
,
四边形是平行四边形,
,
.
【知识点】平行四边形的判定与性质;矩形的性质;矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法,连接EB,由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB,等量代换得AE平行且等于BC,则四边形ACBE是平行四边形,又,则由矩形的概念可得等于,即;
若选择小红的说法,连接CE,由小星的说法可知四边形ACBE是矩形,则对角线BA等于EC;又可证四边形ABDE是平行四边形,则对边DE等于AB,等量代换得CE等于DE.
25.【答案】解: 连结AC,与BD相交于点O ,
四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,∠ ADB=∠CDB,AC=2AO
当∠ADC=时,△ ADC是等边三角形
∴AC=AD=AB=40
当∠ADC=时,∠ ADO=
∴AO=ADsin∠ADO=40×=20
∴AC=40
∴增加的高度为4040=40()(cm).
【知识点】菱形的判定与性质;解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
如图所示:当时,由菱形的性质可知是等边三角形,即AC等于AD等于AB为40;当时,由菱形的性质知,,解可得出OA的值为,则AC等于OA的2倍即,最后用AC的较大值减去较小值即可.
26.【答案】(1)证明:是BD的中点,是的中点,
.
同理,.
,
.
.
解:(2)是BD的中点,N是CD的中点,
,
.
∵P是BD的中点,M是AB的中点,
∴PM∥AD,
.
由(1)可知,
.
(3)是直角三角形,证明如下:
如图,取BD的中点P,连接PM,PN,
是的中点,
,.
同理,,.
,
.
.
,
,
.
,
.
又,
是等边三角形,
.
又,
.
,
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线等于第三边的一半得,,结合AD=BC可得,利用等边对等角即可得到;
(2)根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC,PM∥AD,由二直线平行,同位角相等得,由二直线平行,内错角相等得,通过第(1)问的结果进行等量代换即可证明;
(3)取BD的中点P,连接PM,PN,根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,可推出PM∥AD,PN∥BC,,,结合已知推出PM=PN,由等边对等角得∠PMN=∠PNM,然后根据二直线平行,内错角相等(同位角相等),再结合对顶角相等及等量代换可得,由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形,得CN=GN=DN,由等边对等角及三角形外角性质可求出,从而求出度数,即可求证的形状.
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