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湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八下·岳阳期中）下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2024八下·岳阳期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，2，3 B．3，4，6 C．5，12，15 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，则三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
B．，则三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
C．，则三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
D．，则三角形是直角三角形，故选项符合题意．
故选：D．
【分析】
用检验一个三角形是否是直角三角形时，必须用较小两个边的平方和与最大边的平方比较．
3．（2024八下·岳阳期中）如图，，，，则判定的依据是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，，
在和中，
，
（HL）．
故选：C．
【分析】
观察图形知，两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，直接应用“HL”即可判定．
4．（2024八下·岳阳期中）一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是边形
，
即这个多边形是五边形，
故选：B．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是360度，因此可直接用360度除以外角度数即可．
5．（2024八下·岳阳期中）如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：中，，；
∴，
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选：A．
【分析】
由线段垂直平分线的性质知AD等于BD，由于中AC与CD已知，可直接应用勾股定理求出AD的长，则BD可知，再用AD与BD的和减去AB的长即可．
6．（2024八下·岳阳期中）在 中， ，那么∠A的度数是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合，求出即可。
7．（2024八下·岳阳期中）若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，，
故选：B．
【分析】
从边形一个顶点最多能引出条对角线．
8．（2024八下·岳阳期中）对于四边形的以下说法：其中正确的个数有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立；
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，属于矩形的判定定理，成立；
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，属于菱形的判定定理，成立；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形．不成立．
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定，是正确的，④只能判定是菱形而不具备矩形的条件．
故选C．
【分析】
①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故结论正确；
②先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线相等可得平行四边形是矩形，故结论正确；
③先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线垂直可得平行四边形是菱形，故结论正确；
④由中位线定理可知四边形的四条边相等可得该四边形是菱形，故结论错误．
9．（2024八下·岳阳期中）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
【分析】
由折叠的性质可把DN转化到EN上，此时由于CN与DN的和已知，CE长等于BC的一半已知，设出CN的长，则EN的长可用CN的代数式表示，直接在中应用勾股定理即可．
10．（2024八下·岳阳期中）如图，矩形中，，，将矩形绕顶点C顺时针旋转，得到矩形，连接，取的中点H，连接，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长，交于，
将矩形绕顶点顺时针旋转，得到矩形，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【分析】
延长DH交EF于点N，则可利用平行线的性质结合中点的概念可证，可得等于的一半，再在中应用勾股定理求得DN即可．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2024八下·岳阳期中）中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
直角三角形两锐角互余．
12．（2024八下·岳阳期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
13．（2024八下·岳阳期中）三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形为直角三角形，
设斜边上的高为h，
∵三角形的面积，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由三边长可判断该三角形是直角三角形，再利用等面积法可求得斜边上的高．
14．（2024八下·岳阳期中）正方形的对角线长为8，则面积为　 　．
【答案】32
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线长为8，
∴正方形的面积为：×8×8=32.
故答案为：32.
【分析】根据正方形的面积等于对角线的乘积的一半进行计算即可.
15．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 　 　．
【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
16．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，垂直平分，交于点E，，则的值是 　 　．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理可得AE等于BE，由已知条件结合等腰三角形的性质及外角的性质可求得等于，则AE、BE可求，此时把BE看作底边，则AC是BE上的高，直接利用三角形面积的计算公式直接即可．
17．（2024八下·岳阳期中）如图所示的方格纸中，点A，B，C都在方格线的交点上，则　 　°．
【答案】135
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；邻补角
【解析】【解答】解： 如图，取格点D，连接、，
设网格边长为1
则，，，，，
∴，，
∴
∴
则，
∴，
∴B、C、D三点共线，
∴．
故答案为：135．
【分析】
由于无法直接求出的度数，则可转化为求的邻补角，因此可在格点取点D构造等腰直角三角形ACD即可．
18．（2024八下·岳阳期中）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是　 　．（只填序号）
【答案】①②④
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形EFBG为矩形，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
即①正确；
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即②正确；
∵，
∴，
即③错误，
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当时，DE最小，
∵，，
∴，
∴，
由①知，，
∴FG的最小值为，
即④正确，
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
【分析】
①由于正方形的一条对角线平分一组对角，因此可连接EB交FG于点O，则可利用SAS证明，则EB等于ED，又可证四边形BGEF是矩形，则FG等于EB等于ED，故结论正确；
②如图所示，延长DE交AB于点H，由矩形的对角线互相平分且相等可得等于，由①知等于，再借助平行线的性质可得等于，从而可得，故结论正确；
③由②知等于，显然不一定等于，故结论错误；
④由于FG等于EB，显然当BE垂直AC时最小，此时BE等于AC的一半等于，故结论正确．
三、解答题：（共66分）
19．（2024八下·岳阳期中）如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形．
【答案】解：如图所示：
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】根据网格线分别作出四个顶点关于点的对称点，然后顺次连接这四个对称点即可．
20．（2024八下·岳阳期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB、CD上，AE=CF ，且DF=BF；
求证：四边形DEBF为菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，且CD=AB，
又CF=AE，
∴CD-CF=AB-AE，
即DF=BE，
又，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又DF=BF，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等可得四边形DEBF的一组对边BE与DF平行且相等，先判定其是平行四边形，再由一组邻边相等即可证明是菱形．
21．（2024八下·岳阳期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 °．
（2）小明求的是几边形的内角和？
【答案】（1）30
（2）解：设这个多边形n为边形，由题意得：，
解得：；
答：小明求的是12边形的内角和；
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）解：12边形的内角和为，
而13边形的内角和为，
由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角是，
所以答案为：30；
【分析】
（1）由于恰好是12边形的内角和，而13边形的内角和为，因此小红说法正确，小明确实多算了一个度数为的锐角；
（2）利用多边形的内角和为列式计算即可求出多边形的边数．
22．（2024八下·岳阳期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
（2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
【答案】（1）30
（2）解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
【分析】
（1）由于5、12、13是一组勾股数，利用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，再利用两直角边的乘积即可；
（2）过作交于点可构造两直角三角形即和．设，则，利用勾股定理可建立关于的一元二次方程，解这个方程即可求出的长，再利用三角形面积公式计算即可．
23．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，平分垂直平分于点D，若，求的长．
【答案】解：设，则．∵平分，
又∵
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴．
故：长为6．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】
设，则，由角平分线的性质可得，由垂直平分于可得，则有等于等于等于，则等于的2倍，可得到关于x的一元一次方程，解方程即可．
24．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又，则由矩形的概念可得等于，即；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
25．（2024八下·岳阳期中）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少．
【答案】解： 连结AC，与BD相交于点O ，
四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠ ADB=∠CDB，AC=2AO
当∠ADC=时，△ ADC是等边三角形
∴AC=AD=AB=40
当∠ADC=时，∠ ADO=
∴AO=ADsin∠ADO=40×=20
∴AC=40
∴增加的高度为4040=40()（cm）．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
如图所示：当时，由菱形的性质可知是等边三角形，即AC等于AD等于AB为40；当时，由菱形的性质知，，解可得出OA的值为，则AC等于OA的2倍即，最后用AC的较大值减去较小值即可.
26．（2024八下·岳阳期中）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明：是BD的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
解：（2）是BD的中点，N是CD的中点，
，
.
∵P是BD的中点，M是AB的中点，
∴PM∥AD，
.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线等于第三边的一半得，，结合AD=BC可得，利用等边对等角即可得到；
（2）根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得，由二直线平行，内错角相等得，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM∥AD，PN∥BC，，，结合已知推出PM=PN，由等边对等角得∠PMN=∠PNM，然后根据二直线平行，内错角相等（同位角相等），再结合对顶角相等及等量代换可得，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，得CN=GN=DN，由等边对等角及三角形外角性质可求出，从而求出度数，即可求证的形状.
1 / 1湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八下·岳阳期中）下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·岳阳期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，2，3 B．3，4，6 C．5，12，15 D．6，8，10
3．（2024八下·岳阳期中）如图，，，，则判定的依据是（　　）
A． B． C． D．无法确定
4．（2024八下·岳阳期中）一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
5．（2024八下·岳阳期中）如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·岳阳期中）在 中， ，那么∠A的度数是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
7．（2024八下·岳阳期中）若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2024八下·岳阳期中）对于四边形的以下说法：其中正确的个数有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024八下·岳阳期中）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·岳阳期中）如图，矩形中，，，将矩形绕顶点C顺时针旋转，得到矩形，连接，取的中点H，连接，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2024八下·岳阳期中）中，，，则　 　．
12．（2024八下·岳阳期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
13．（2024八下·岳阳期中）三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为　 　．
14．（2024八下·岳阳期中）正方形的对角线长为8，则面积为　 　．
15．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 　 　．
16．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，垂直平分，交于点E，，则的值是 　 　．
17．（2024八下·岳阳期中）如图所示的方格纸中，点A，B，C都在方格线的交点上，则　 　°．
18．（2024八下·岳阳期中）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是　 　．（只填序号）
三、解答题：（共66分）
19．（2024八下·岳阳期中）如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形．
20．（2024八下·岳阳期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB、CD上，AE=CF ，且DF=BF；
求证：四边形DEBF为菱形．
21．（2024八下·岳阳期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 °．
（2）小明求的是几边形的内角和？
22．（2024八下·岳阳期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
（2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
23．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，平分垂直平分于点D，若，求的长．
24．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
25．（2024八下·岳阳期中）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少．
26．（2024八下·岳阳期中）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，则三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
B．，则三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
C．，则三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
D．，则三角形是直角三角形，故选项符合题意．
故选：D．
【分析】
用检验一个三角形是否是直角三角形时，必须用较小两个边的平方和与最大边的平方比较．
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，，
在和中，
，
（HL）．
故选：C．
【分析】
观察图形知，两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，直接应用“HL”即可判定．
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是边形
，
即这个多边形是五边形，
故选：B．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是360度，因此可直接用360度除以外角度数即可．
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：中，，；
∴，
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选：A．
【分析】
由线段垂直平分线的性质知AD等于BD，由于中AC与CD已知，可直接应用勾股定理求出AD的长，则BD可知，再用AD与BD的和减去AB的长即可．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合，求出即可。
7．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，，
故选：B．
【分析】
从边形一个顶点最多能引出条对角线．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立；
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，属于矩形的判定定理，成立；
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，属于菱形的判定定理，成立；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形．不成立．
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定，是正确的，④只能判定是菱形而不具备矩形的条件．
故选C．
【分析】
①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故结论正确；
②先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线相等可得平行四边形是矩形，故结论正确；
③先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线垂直可得平行四边形是菱形，故结论正确；
④由中位线定理可知四边形的四条边相等可得该四边形是菱形，故结论错误．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
【分析】
由折叠的性质可把DN转化到EN上，此时由于CN与DN的和已知，CE长等于BC的一半已知，设出CN的长，则EN的长可用CN的代数式表示，直接在中应用勾股定理即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长，交于，
将矩形绕顶点顺时针旋转，得到矩形，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【分析】
延长DH交EF于点N，则可利用平行线的性质结合中点的概念可证，可得等于的一半，再在中应用勾股定理求得DN即可．
11．【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
直角三角形两锐角互余．
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
13．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴三角形为直角三角形，
设斜边上的高为h，
∵三角形的面积，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由三边长可判断该三角形是直角三角形，再利用等面积法可求得斜边上的高．
14．【答案】32
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线长为8，
∴正方形的面积为：×8×8=32.
故答案为：32.
【分析】根据正方形的面积等于对角线的乘积的一半进行计算即可.
15．【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
16．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理可得AE等于BE，由已知条件结合等腰三角形的性质及外角的性质可求得等于，则AE、BE可求，此时把BE看作底边，则AC是BE上的高，直接利用三角形面积的计算公式直接即可．
17．【答案】135
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；邻补角
【解析】【解答】解： 如图，取格点D，连接、，
设网格边长为1
则，，，，，
∴，，
∴
∴
则，
∴，
∴B、C、D三点共线，
∴．
故答案为：135．
【分析】
由于无法直接求出的度数，则可转化为求的邻补角，因此可在格点取点D构造等腰直角三角形ACD即可．
18．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形EFBG为矩形，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
即①正确；
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即②正确；
∵，
∴，
即③错误，
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当时，DE最小，
∵，，
∴，
∴，
由①知，，
∴FG的最小值为，
即④正确，
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
【分析】
①由于正方形的一条对角线平分一组对角，因此可连接EB交FG于点O，则可利用SAS证明，则EB等于ED，又可证四边形BGEF是矩形，则FG等于EB等于ED，故结论正确；
②如图所示，延长DE交AB于点H，由矩形的对角线互相平分且相等可得等于，由①知等于，再借助平行线的性质可得等于，从而可得，故结论正确；
③由②知等于，显然不一定等于，故结论错误；
④由于FG等于EB，显然当BE垂直AC时最小，此时BE等于AC的一半等于，故结论正确．
19．【答案】解：如图所示：
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】根据网格线分别作出四个顶点关于点的对称点，然后顺次连接这四个对称点即可．
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，且CD=AB，
又CF=AE，
∴CD-CF=AB-AE，
即DF=BE，
又，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又DF=BF，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等可得四边形DEBF的一组对边BE与DF平行且相等，先判定其是平行四边形，再由一组邻边相等即可证明是菱形．
21．【答案】（1）30
（2）解：设这个多边形n为边形，由题意得：，
解得：；
答：小明求的是12边形的内角和；
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）解：12边形的内角和为，
而13边形的内角和为，
由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角是，
所以答案为：30；
【分析】
（1）由于恰好是12边形的内角和，而13边形的内角和为，因此小红说法正确，小明确实多算了一个度数为的锐角；
（2）利用多边形的内角和为列式计算即可求出多边形的边数．
22．【答案】（1）30
（2）解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
【分析】
（1）由于5、12、13是一组勾股数，利用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，再利用两直角边的乘积即可；
（2）过作交于点可构造两直角三角形即和．设，则，利用勾股定理可建立关于的一元二次方程，解这个方程即可求出的长，再利用三角形面积公式计算即可．
23．【答案】解：设，则．∵平分，
又∵
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴．
故：长为6．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】
设，则，由角平分线的性质可得，由垂直平分于可得，则有等于等于等于，则等于的2倍，可得到关于x的一元一次方程，解方程即可．
24．【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又，则由矩形的概念可得等于，即；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
25．【答案】解： 连结AC，与BD相交于点O ，
四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠ ADB=∠CDB，AC=2AO
当∠ADC=时，△ ADC是等边三角形
∴AC=AD=AB=40
当∠ADC=时，∠ ADO=
∴AO=ADsin∠ADO=40×=20
∴AC=40
∴增加的高度为4040=40()（cm）．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
如图所示：当时，由菱形的性质可知是等边三角形，即AC等于AD等于AB为40；当时，由菱形的性质知，，解可得出OA的值为，则AC等于OA的2倍即，最后用AC的较大值减去较小值即可.
26．【答案】（1）证明：是BD的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
解：（2）是BD的中点，N是CD的中点，
，
.
∵P是BD的中点，M是AB的中点，
∴PM∥AD，
.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线等于第三边的一半得，，结合AD=BC可得，利用等边对等角即可得到；
（2）根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得，由二直线平行，内错角相等得，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM∥AD，PN∥BC，，，结合已知推出PM=PN，由等边对等角得∠PMN=∠PNM，然后根据二直线平行，内错角相等（同位角相等），再结合对顶角相等及等量代换可得，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，得CN=GN=DN，由等边对等角及三角形外角性质可求出，从而求出度数，即可求证的形状.
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