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浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·嵊州期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．1 B． C． D．不存在
2．（2024七下·嵊州期末）红细胞的平均直径为米，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·嵊州期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·嵊州期末）若，则代数式的值是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2024七下·嵊州期末）某中学开展以“我最喜爱的课后服务项目”为主题的调查活动．通过对七年级200名学生的随机调查得到一组数据，并绘制成条形统计图（不完整）．已知乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，则选择羽毛球的学生人数为（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
6．（2024七下·嵊州期末）如图，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·嵊州期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？”其大意是：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤=16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等，则1只麻雀、1只燕子的平均重量分别为多少两？若设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·嵊州期末）若分式方程有增根，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024七下·嵊州期末）一大一小的两个正方形如图放置，边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2024七下·嵊州期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024七下·嵊州期末）若，则a的值是　 　．
12．（2024七下·嵊州期末）将方程变形为用含x的代数式表示y的结果是　 　．
13．（2024七下·嵊州期末）一次跳远比赛，成绩在4.05米以上的有6人，频率为0.3，则参加跳远比赛的运动员有　 　人．
14．（2024七下·嵊州期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为　 　．
15．（2024七下·嵊州期末）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，，三角形的面积为10，则四边形的面积为　 　．
16．（2024七下·嵊州期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时，　 　；当，时，m的最大值为　 　．
17．（2024七下·嵊州期末）计算：
（1）
（2）（用简便方法）
18．（2024七下·嵊州期末）解下列方程（组）：
（1）
（2）
19．（2024七下·嵊州期末）分解因式：
（1）
（2）
20．（2024七下·嵊州期末）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数 50 110 35 5
频率 0.25 m 0.175 0.025
（1）本次问卷调查取样的样本容量为______，表中m的值为______
（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．
（3）若该校有学生1000人，根据调查结果，估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．
21．（2024七下·嵊州期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，格点三角形与点D的位置如图所示．
（1）平移格点三角形，画出平移后的格点三角形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．
（2）求三角形的面积．
22．（2024七下·嵊州期末）先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中，．
23．（2024七下·嵊州期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
（1）问苹果、橙子各购买了多少箱？
（2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
24．（2024七下·嵊州期末）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，、点A，B在直线上，点D，F在直线上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板向右平移．
①如图2，当点E落在线段上时，求的度数．
②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故答案为：A．
【分析】分式的值为零的条件“分子等于，且分母不等于”，列式计算即可解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000072=7.2×10-6．
故答案为：B．
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项计算错误；
B、，该选项计算错误；
C、，该选项计算错误；
D、，该选项计算正确；
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入求值即可计算.
5．【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：由条形统计图知，乒乓球与羽毛球两个项目的人数和为（人），由于乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，
则选择羽毛球的学生人数为：；
故答案为：C．
【分析】由条形统计图计算出乒乓球与羽毛球两个项目的人数和，再根据乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，按比例计算即可．
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
，
；
，
；
故答案为：B．
【分析】由对顶角相等及平行线的判定可得，再由平行线的性质和邻补角的定义即可解答.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，由题意得，
故答案为：B
【分析】设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，根据“有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤=16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等”即可列出二元一次方程组，进而即可求解.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，即，
两边同时乘以，得：，
化简得，
由分式方程可知，分式方程的增根为，
故，
．
故答案为：C．
【分析】
解含参数的分式方程，先去分母化成整式方程，再根据分式方程增根的定义计算即可.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，由第一次折叠知，，，
，
；
由第二次折叠得，，
，，
则；
，
，
即，
．
故答案为：D．
【分析】如图，根据折叠的性质知∠3=∠4=∠5，再根据平行线的性质及补角的定义即可解答.
11．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：移项得：，
则；
故答案为：．
【分析】
根据等式的基本性质，即可用一个未知数的代数式表示另一个未知数.
13．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：人，
故答案为：．
【分析】
根据频率的公式，即可求出总数.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先理解题干中的因式分解方法“十字相乘法”，再应用题中方法分解因式即可.
15．【答案】30
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过C作于G；
由平移的性质得，，，；
所以，；
因为三角形的面积为10，，
所以，
所以四边形的面积为；
故答案为：30．
【分析】
根据平移的性质求得AB=4，再过C作于G，由三角形面积公式计算出高CG，再由梯形面积减去三角形的面积即可求解．
16．【答案】3；196
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：当，时，则，
，
∴，
当，时，则，
∵，，
∴，，中，最大为7，
∵整数满足，
∴当，，时，，
当，，时，，
∴的最大值为．
故答案为：196．
【分析】理解题意后，根据有理数乘方的运算法则，即可求解。
17．【答案】（1）解：；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算即可；
（2）把表示成，利用平方差公式即可简便计算．
（1）解：；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
由①得：，
把③代入②，得，
解得：；
把代入③，得，
则方程组的解为：．
（2）解：方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）分式方程两边同乘化为整式方程，即可求解，注意分式方程必须检验．
（1）解：
由①得：，
把③代入②，得，
解得：；
把代入③，得，
则方程组的解为：．
（2）解：方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】
（1）运用平方差公式即可分解因式；
（2）运用提公因式法即可分解因式．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）200；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
【分析】
（1）根据“非常了解”的频数与频率，即可求得本次问卷调查取样的样本容量；由频率之和为1即可求得m的值；
（2）由频率与的积即可求得扇形圆心角，进而可补充完整扇形统计图；
（3）样本数据估计总体，用全校人数乘以“比较了解”的频率即可解答．
（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；
补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；
答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
21．【答案】（1）解：如图， 三角形即为所求，
（2）解：三角形的面积为．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】
（1）按照点平移到点D的平移规律，找到点和点的对应点，顺次连接点即可；
（2）利用长方形的面积减去周围的三个三角形的面积即可得到答案.
（1）解：如图， 三角形即为所求，
（2）解：三角形的面积为．
22．【答案】（1）解：
；
当时，原式；
（2）解：
；
当，时，原式．
【知识点】分式的化简求值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）利用整式乘法法则展开，再合并同类项，最后代值即可求解；
（2）按照运算顺序先算括号，再算除法，化简后把a、b的值代入即可求解．
（1）解：
；
当时，原式；
（2）解：
；
当，时，原式．
23．【答案】（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可解答．
（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
24．【答案】解：问题解决：
①如图，过点E作，
，
，
，
，
；
②是定值，理由如下：
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
故为定值；
思维拓展：s或s
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】思维拓展：
由题意得，
，
，
（ⅰ）如图，当时，延长交于点P，
①在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
（ⅱ）当时，延长交于点I，
①如图，在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②如图，在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
综上所述，所有满足条件的t的值为s或s．
【分析】
问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；
②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解；
思维拓展：根据、的不同位置进行分类讨论：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求.
1 / 1浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·嵊州期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．1 B． C． D．不存在
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故答案为：A．
【分析】分式的值为零的条件“分子等于，且分母不等于”，列式计算即可解答.
2．（2024七下·嵊州期末）红细胞的平均直径为米，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000072=7.2×10-6．
故答案为：B．
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2024七下·嵊州期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项计算错误；
B、，该选项计算错误；
C、，该选项计算错误；
D、，该选项计算正确；
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．
4．（2024七下·嵊州期末）若，则代数式的值是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入求值即可计算.
5．（2024七下·嵊州期末）某中学开展以“我最喜爱的课后服务项目”为主题的调查活动．通过对七年级200名学生的随机调查得到一组数据，并绘制成条形统计图（不完整）．已知乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，则选择羽毛球的学生人数为（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：由条形统计图知，乒乓球与羽毛球两个项目的人数和为（人），由于乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，
则选择羽毛球的学生人数为：；
故答案为：C．
【分析】由条形统计图计算出乒乓球与羽毛球两个项目的人数和，再根据乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，按比例计算即可．
6．（2024七下·嵊州期末）如图，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
，
；
，
；
故答案为：B．
【分析】由对顶角相等及平行线的判定可得，再由平行线的性质和邻补角的定义即可解答.
7．（2024七下·嵊州期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？”其大意是：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤=16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等，则1只麻雀、1只燕子的平均重量分别为多少两？若设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，由题意得，
故答案为：B
【分析】设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，根据“有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤=16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等”即可列出二元一次方程组，进而即可求解.
8．（2024七下·嵊州期末）若分式方程有增根，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，即，
两边同时乘以，得：，
化简得，
由分式方程可知，分式方程的增根为，
故，
．
故答案为：C．
【分析】
解含参数的分式方程，先去分母化成整式方程，再根据分式方程增根的定义计算即可.
9．（2024七下·嵊州期末）一大一小的两个正方形如图放置，边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
10．（2024七下·嵊州期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，由第一次折叠知，，，
，
；
由第二次折叠得，，
，，
则；
，
，
即，
．
故答案为：D．
【分析】如图，根据折叠的性质知∠3=∠4=∠5，再根据平行线的性质及补角的定义即可解答.
11．（2024七下·嵊州期末）若，则a的值是　 　．
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
12．（2024七下·嵊州期末）将方程变形为用含x的代数式表示y的结果是　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：移项得：，
则；
故答案为：．
【分析】
根据等式的基本性质，即可用一个未知数的代数式表示另一个未知数.
13．（2024七下·嵊州期末）一次跳远比赛，成绩在4.05米以上的有6人，频率为0.3，则参加跳远比赛的运动员有　 　人．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：人，
故答案为：．
【分析】
根据频率的公式，即可求出总数.
14．（2024七下·嵊州期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先理解题干中的因式分解方法“十字相乘法”，再应用题中方法分解因式即可.
15．（2024七下·嵊州期末）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，，三角形的面积为10，则四边形的面积为　 　．
【答案】30
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过C作于G；
由平移的性质得，，，；
所以，；
因为三角形的面积为10，，
所以，
所以四边形的面积为；
故答案为：30．
【分析】
根据平移的性质求得AB=4，再过C作于G，由三角形面积公式计算出高CG，再由梯形面积减去三角形的面积即可求解．
16．（2024七下·嵊州期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时，　 　；当，时，m的最大值为　 　．
【答案】3；196
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：当，时，则，
，
∴，
当，时，则，
∵，，
∴，，中，最大为7，
∵整数满足，
∴当，，时，，
当，，时，，
∴的最大值为．
故答案为：196．
【分析】理解题意后，根据有理数乘方的运算法则，即可求解。
17．（2024七下·嵊州期末）计算：
（1）
（2）（用简便方法）
【答案】（1）解：；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算即可；
（2）把表示成，利用平方差公式即可简便计算．
（1）解：；
（2）解：
．
18．（2024七下·嵊州期末）解下列方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由①得：，
把③代入②，得，
解得：；
把代入③，得，
则方程组的解为：．
（2）解：方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）分式方程两边同乘化为整式方程，即可求解，注意分式方程必须检验．
（1）解：
由①得：，
把③代入②，得，
解得：；
把代入③，得，
则方程组的解为：．
（2）解：方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
19．（2024七下·嵊州期末）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】
（1）运用平方差公式即可分解因式；
（2）运用提公因式法即可分解因式．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2024七下·嵊州期末）某中学一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数 50 110 35 5
频率 0.25 m 0.175 0.025
（1）本次问卷调查取样的样本容量为______，表中m的值为______
（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．
（3）若该校有学生1000人，根据调查结果，估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．
【答案】（1）200；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
【分析】
（1）根据“非常了解”的频数与频率，即可求得本次问卷调查取样的样本容量；由频率之和为1即可求得m的值；
（2）由频率与的积即可求得扇形圆心角，进而可补充完整扇形统计图；
（3）样本数据估计总体，用全校人数乘以“比较了解”的频率即可解答．
（1）解：本次问卷调查取样的样本容量为；
；
故答案为：200；；
（2）解：等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为：；
补充完整的扇形统计图如下：
（3）解：（人）；
答：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的有550人．
21．（2024七下·嵊州期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，格点三角形与点D的位置如图所示．
（1）平移格点三角形，画出平移后的格点三角形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：如图， 三角形即为所求，
（2）解：三角形的面积为．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】
（1）按照点平移到点D的平移规律，找到点和点的对应点，顺次连接点即可；
（2）利用长方形的面积减去周围的三个三角形的面积即可得到答案.
（1）解：如图， 三角形即为所求，
（2）解：三角形的面积为．
22．（2024七下·嵊州期末）先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中，．
【答案】（1）解：
；
当时，原式；
（2）解：
；
当，时，原式．
【知识点】分式的化简求值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）利用整式乘法法则展开，再合并同类项，最后代值即可求解；
（2）按照运算顺序先算括号，再算除法，化简后把a、b的值代入即可求解．
（1）解：
；
当时，原式；
（2）解：
；
当，时，原式．
23．（2024七下·嵊州期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
（1）问苹果、橙子各购买了多少箱？
（2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
【答案】（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可解答．
（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元），
整理得，2a＋3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b）
＝950－10a－15b
＝950－5（2a＋3b）
＝950－5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
24．（2024七下·嵊州期末）小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，、点A，B在直线上，点D，F在直线上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板向右平移．
①如图2，当点E落在线段上时，求的度数．
②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】解：问题解决：
①如图，过点E作，
，
，
，
，
；
②是定值，理由如下：
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：，
故为定值；
思维拓展：s或s
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】思维拓展：
由题意得，
，
，
（ⅰ）如图，当时，延长交于点P，
①在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
（ⅱ）当时，延长交于点I，
①如图，在上方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②如图，在下方时，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
（不符合题意，舍去）；
综上所述，所有满足条件的t的值为s或s．
【分析】
问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；
②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解；
思维拓展：根据、的不同位置进行分类讨论：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求.
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