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贵州省贵阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷
1．（2024八下·贵阳期末）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·贵阳期末）如图，将沿方向平移至处.若，则的长为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．
3．（2024八下·贵阳期末）分式的值为零，则x的值为(　　)
A．2 B． C．5 D．
4．（2024八下·贵阳期末）在中，，平分，，垂足为点E，若，则的长为(　　)
A．3 B． C．2 D．6
5．（2024八下·贵阳期末）化简结果正确的是(　　)
A． B．1 C． D．
6．（2024八下·贵阳期末）如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，，当最短时，则的长是(　　)
A． B．2 C． D．4
7．（2024八下·贵阳期末）如图，的对角线，交于点O，若，，则的长可能是(　　)
A．10 B．8 C．7 D．6
8．（2024八下·贵阳期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　)
A． B．
C． D．
9．（2024八下·贵阳期末）如图， 已知线段 ， 分别以 为圆心， 大于 同样长为半径画弧， 两弧交于点 ， 连接 ， ， 则下列说法错误的是(　　)
A． 平分 B． 平分
C． D．
10．（2024八下·贵阳期末）在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是(　　)
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
11．（2024八下·贵阳期末）因式分解：　 　.
12．（2024八下·贵阳期末）若，，则a　 　0.(填“>”或“<”).
13．（2024八下·贵阳期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是　 　m．
14．（2024八下·贵阳期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，，当面积最大时，的长为　 　.
15．（2024八下·贵阳期末）（1）有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）计算∶.
16．（2024八下·贵阳期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上.
（1）将线段向上平移两个单位长度，点A的对应点为，点B的对应点为，请画出平移后的线段；
（2）将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为，请画出旋转后的线段.
17．（2024八下·贵阳期末）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且满足，.
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长.
18．（2024八下·贵阳期末）小星在家做家务时发现纸杯的个数和叠放的高度有一定的规律，于是就想用学过的数学知识进行探究.如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，小星通过测量纸杯的数据得到如下表格：
纸杯的个数x(个) 1 2 3 4 5 n
纸杯叠放的总高度y() 8.5 9 9.5 10 m 11
请你帮他完成相关问题的探究.
（1）表中　 　，　 　；
（2）写出表格中数据满足的一个函数表达式，并计算出10个纸杯叠放的总高度；
（3）请根据(2)中得到的函数表达式，写出表达式中的常量与变量的实际意义.
19．（2024八下·贵阳期末）如图，在中，.小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下：
请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由.
20．（2024八下·贵阳期末）小红妈妈驾驶一辆油电混动汽车从甲地开往乙地，在行驶过程中可以开启燃油模式行驶或开启纯电模式行驶(同一时刻仅开启一种模式行驶).两种行驶模式的相关费用如下表：
行驶模式 每千米费用(元/千米) 总费用(元)
全程燃油行驶 130
全程纯电行驶 a 40
（1）请你根据表中的信息，求出a的值和甲地到乙地的路程；
（2）若小红妈妈从甲地开启燃油模式行驶一段时间后，再开启纯电模式行驶到达乙地，全程所需的总费用不超过76元，求驾驶该车使用纯电模式至少行驶多少千米.
21．（2024八下·贵阳期末）如图，在中，，，，点F为的中点.
（1）【问题解决】
如图①，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
（2）【问题探究】
如图②，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E.此时点E恰好落在边AC上，连接DA，DF，求四边形BADF的面积；
（3）【拓展延伸】
如图③，若将绕点C逆时针旋转得到，连接，，求四边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列不等式
2．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，
故答案为： C.
【分析】根据平移的性质进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
，
解得
故答案为：A.
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
又∵AD平分
故答案为： A.
【分析】根据角平分线的性质解答即可.
5．【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据同分母分式的加法，分母不变，分子相加解题即可.
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 当 时， PD最短，如图，
在 中，
故答案为： B.
【分析】根据垂线段最短可得：当时， PD最短，然后在. 中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中： 即
∴AB的长可能为6.
故答案为： D.
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出BC的取值范围，进而得出结论.
8．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由图可知，图1的面积为：
图2的面积为：
所以
故答案为： B.
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数 的图象可知，
A、 当 时， 原说法错误，不符合题意；
B、方程 的解是 ，原说法错误， 不符合题意；
C、当 时， ，正确，符合题意；
D、不等式 的解集是 原说法错误，不符合题意.
故答案为： C.
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据提取公因式因式分解解题即可.
12．【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴a<0，
故答案为：<.
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号改变方向解答即可.
13．【答案】100
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=100米．
故答案为：100．
【分析】根据三角形中位线性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长CD交BM于E， 过点C作CF⊥BM， 如图所示：
∵CD⊥BD，
∴∠BDC =∠BDE=90°，
∵BD平分∠MBN，
∴∠CBD=∠EBD，
在△BCD和△BED中，
∴△BCD≌△BED(ASA)，
∴CD=ED， BC=BE，S△ACD=S△AED=S△ACE，
∵BC-AB=2，
∴BE-AB=2，
即AE=2，
∴当△ACE面积的最大值，则△ACD的面积为最大，
∵CF⊥BM， AC=5，
根据“垂线段最短”得： CF≤AC， 即CF≤5，
∴CF的最大值为5，
的最大值为5，
∴△ADC面积最大为5/2，
当△ACE面积的取最大值时，CF与AC重合，即AC⊥BM，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
故答案为：
【分析】延长CD交BM于E， 过点C作CF⊥BM， 证明△BCD和△BED全等， 得CD= ED，BC=BE， 则 由BC-AB=2得AE=2， 则进而得当△ACE面积的最大值，则△ACD的面积为最大，即CF为最大， 根据“垂线段最短”得CF≤AC， 即CF≤5，由此得CF的最大值为5，此时CF与AC重合，即AC⊥BM，然后由勾股定理求出 据此解题即可.
15．【答案】（1）解：选择，组成不等式组得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
选择，组成不等式组得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
选择，组成不等式组得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
（2）解：原式.
【知识点】分式的乘除法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共解集即可；
（2）先把除法化为乘法，然后把分子、分母分解因式，再约分化简解题即可.
16．【答案】解：（1）如图所示：线段即为所求；
（2）如图所示：线段即为所求.
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点. 的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点. 的位置，然后连接即可.
17．【答案】（1）证明：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
，
由(1)可知，四边形ABDE是平行四边形，
，
∵
，
6，
即EF的长为6.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（2）由平行四边形的性质可得，根据等边对等角得到，即可得到，然后根据等角对等边解答即可.
18．【答案】（1）10.5；6
（2）解：从表格数据可知y与x满足一次函数关系，设，
将代入得
，
解得，
答：y与x之间的函数关系式：.
当时，.
（3）解：常量8是杯身的高度，常量0.5是杯沿高度；变量y是几个纸杯叠放在一起的总高度，变量x是纸杯的个数
【知识点】常量、变量；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）由表格数据可知，增加一个纸杯高度增加0.5cm， 所以
，
故答案为：
【分析】（1）根据表格中数据的变化规律，得到增加一个纸杯，高度增加0.5cm，进而得出m和n的值；
（2）设出y与x之间的函数关系式为 用待定系数法可得出解析式，把 代入解析式即可求出10个的总高度；
（3）由函数的定义可知，保持不变的量为常量，发生变化的量为变量.
19．【答案】解：小星的作法如图所示，方法正确.
理由：∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴；
小红的作法如图所示，方法错误.
理由：∵，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】小星的作法：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，即可得到PA=PB，进而得到∠PAB=∠B，解答即可；小红的作法在BC上截取BP=BA，则∠BAP=∠BPA，但得不到解答即可.
20．【答案】（1）解：驾驶该车使用纯电模式至少行驶120千米
解析：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：a的值为0.2，甲地到乙地的路程是200千米；
（2）解：设驾驶该车使用纯电模式行驶x千米，则使用燃油模式行驶千米，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最小值为120.
答：驾驶该车使用纯电模式至少行驶120千米.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)利用甲地到乙地的路程=总费用÷每千米的费用，结合甲地到乙地的路程不变，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，可得出a的值，再将其代入 中，即可求出结论；
(2)设驾驶该车使用纯电模式行驶x千米，则使用燃油模式行驶 千米，利用总费用=纯电模式行驶每千米的费用×纯电模式行驶的路程+燃油模式行驶每千米的费用×燃油模式行驶的路程，结合总利润不超过76元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.
21．【答案】（1）解：，
理由如下：
∵点F是AC的中点，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵点F是AC的中点，
∴，
∵将绕点C逆时针旋转30°得到，
∴，
，
∴四边形BADF的面积；
（3）解：如图，设与交于点H，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
，CD=CA，，，
∴是等边三角形，
，
∵，
，，
，
∵，
，
，
∵
，
，
，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形BEDF的面积.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可
(2)由三角形的面积公式分别求出 和 的面积，即可求解；
(3)设与交于点H，即可得到是等边三角形，然后利用SAS证明，即可得到四边形BEDF是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解.
1 / 1贵州省贵阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷
1．（2024八下·贵阳期末）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列不等式
2．（2024八下·贵阳期末）如图，将沿方向平移至处.若，则的长为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，
故答案为： C.
【分析】根据平移的性质进行判断即可.
3．（2024八下·贵阳期末）分式的值为零，则x的值为(　　)
A．2 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
，
解得
故答案为：A.
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可.
4．（2024八下·贵阳期末）在中，，平分，，垂足为点E，若，则的长为(　　)
A．3 B． C．2 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
又∵AD平分
故答案为： A.
【分析】根据角平分线的性质解答即可.
5．（2024八下·贵阳期末）化简结果正确的是(　　)
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据同分母分式的加法，分母不变，分子相加解题即可.
6．（2024八下·贵阳期末）如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，，当最短时，则的长是(　　)
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 当 时， PD最短，如图，
在 中，
故答案为： B.
【分析】根据垂线段最短可得：当时， PD最短，然后在. 中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答.
7．（2024八下·贵阳期末）如图，的对角线，交于点O，若，，则的长可能是(　　)
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中： 即
∴AB的长可能为6.
故答案为： D.
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出BC的取值范围，进而得出结论.
8．（2024八下·贵阳期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由图可知，图1的面积为：
图2的面积为：
所以
故答案为： B.
【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可.
9．（2024八下·贵阳期末）如图， 已知线段 ， 分别以 为圆心， 大于 同样长为半径画弧， 两弧交于点 ， 连接 ， ， 则下列说法错误的是(　　)
A． 平分 B． 平分
C． D．
10．（2024八下·贵阳期末）在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是(　　)
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数 的图象可知，
A、 当 时， 原说法错误，不符合题意；
B、方程 的解是 ，原说法错误， 不符合题意；
C、当 时， ，正确，符合题意；
D、不等式 的解集是 原说法错误，不符合题意.
故答案为： C.
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可.
11．（2024八下·贵阳期末）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据提取公因式因式分解解题即可.
12．（2024八下·贵阳期末）若，，则a　 　0.(填“>”或“<”).
【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴a<0，
故答案为：<.
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号改变方向解答即可.
13．（2024八下·贵阳期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是　 　m．
【答案】100
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=100米．
故答案为：100．
【分析】根据三角形中位线性质即可求出答案.
14．（2024八下·贵阳期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，，当面积最大时，的长为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长CD交BM于E， 过点C作CF⊥BM， 如图所示：
∵CD⊥BD，
∴∠BDC =∠BDE=90°，
∵BD平分∠MBN，
∴∠CBD=∠EBD，
在△BCD和△BED中，
∴△BCD≌△BED(ASA)，
∴CD=ED， BC=BE，S△ACD=S△AED=S△ACE，
∵BC-AB=2，
∴BE-AB=2，
即AE=2，
∴当△ACE面积的最大值，则△ACD的面积为最大，
∵CF⊥BM， AC=5，
根据“垂线段最短”得： CF≤AC， 即CF≤5，
∴CF的最大值为5，
的最大值为5，
∴△ADC面积最大为5/2，
当△ACE面积的取最大值时，CF与AC重合，即AC⊥BM，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
故答案为：
【分析】延长CD交BM于E， 过点C作CF⊥BM， 证明△BCD和△BED全等， 得CD= ED，BC=BE， 则 由BC-AB=2得AE=2， 则进而得当△ACE面积的最大值，则△ACD的面积为最大，即CF为最大， 根据“垂线段最短”得CF≤AC， 即CF≤5，由此得CF的最大值为5，此时CF与AC重合，即AC⊥BM，然后由勾股定理求出 据此解题即可.
15．（2024八下·贵阳期末）（1）有三个不等式，，，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）计算∶.
【答案】（1）解：选择，组成不等式组得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
选择，组成不等式组得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
选择，组成不等式组得，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
（2）解：原式.
【知识点】分式的乘除法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共解集即可；
（2）先把除法化为乘法，然后把分子、分母分解因式，再约分化简解题即可.
16．（2024八下·贵阳期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上.
（1）将线段向上平移两个单位长度，点A的对应点为，点B的对应点为，请画出平移后的线段；
（2）将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为，请画出旋转后的线段.
【答案】解：（1）如图所示：线段即为所求；
（2）如图所示：线段即为所求.
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点. 的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点. 的位置，然后连接即可.
17．（2024八下·贵阳期末）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且满足，.
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
，
由(1)可知，四边形ABDE是平行四边形，
，
∵
，
6，
即EF的长为6.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（2）由平行四边形的性质可得，根据等边对等角得到，即可得到，然后根据等角对等边解答即可.
18．（2024八下·贵阳期末）小星在家做家务时发现纸杯的个数和叠放的高度有一定的规律，于是就想用学过的数学知识进行探究.如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，小星通过测量纸杯的数据得到如下表格：
纸杯的个数x(个) 1 2 3 4 5 n
纸杯叠放的总高度y() 8.5 9 9.5 10 m 11
请你帮他完成相关问题的探究.
（1）表中　 　，　 　；
（2）写出表格中数据满足的一个函数表达式，并计算出10个纸杯叠放的总高度；
（3）请根据(2)中得到的函数表达式，写出表达式中的常量与变量的实际意义.
【答案】（1）10.5；6
（2）解：从表格数据可知y与x满足一次函数关系，设，
将代入得
，
解得，
答：y与x之间的函数关系式：.
当时，.
（3）解：常量8是杯身的高度，常量0.5是杯沿高度；变量y是几个纸杯叠放在一起的总高度，变量x是纸杯的个数
【知识点】常量、变量；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）由表格数据可知，增加一个纸杯高度增加0.5cm， 所以
，
故答案为：
【分析】（1）根据表格中数据的变化规律，得到增加一个纸杯，高度增加0.5cm，进而得出m和n的值；
（2）设出y与x之间的函数关系式为 用待定系数法可得出解析式，把 代入解析式即可求出10个的总高度；
（3）由函数的定义可知，保持不变的量为常量，发生变化的量为变量.
19．（2024八下·贵阳期末）如图，在中，.小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下：
请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由.
【答案】解：小星的作法如图所示，方法正确.
理由：∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴；
小红的作法如图所示，方法错误.
理由：∵，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】小星的作法：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，即可得到PA=PB，进而得到∠PAB=∠B，解答即可；小红的作法在BC上截取BP=BA，则∠BAP=∠BPA，但得不到解答即可.
20．（2024八下·贵阳期末）小红妈妈驾驶一辆油电混动汽车从甲地开往乙地，在行驶过程中可以开启燃油模式行驶或开启纯电模式行驶(同一时刻仅开启一种模式行驶).两种行驶模式的相关费用如下表：
行驶模式 每千米费用(元/千米) 总费用(元)
全程燃油行驶 130
全程纯电行驶 a 40
（1）请你根据表中的信息，求出a的值和甲地到乙地的路程；
（2）若小红妈妈从甲地开启燃油模式行驶一段时间后，再开启纯电模式行驶到达乙地，全程所需的总费用不超过76元，求驾驶该车使用纯电模式至少行驶多少千米.
【答案】（1）解：驾驶该车使用纯电模式至少行驶120千米
解析：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：a的值为0.2，甲地到乙地的路程是200千米；
（2）解：设驾驶该车使用纯电模式行驶x千米，则使用燃油模式行驶千米，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最小值为120.
答：驾驶该车使用纯电模式至少行驶120千米.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)利用甲地到乙地的路程=总费用÷每千米的费用，结合甲地到乙地的路程不变，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，可得出a的值，再将其代入 中，即可求出结论；
(2)设驾驶该车使用纯电模式行驶x千米，则使用燃油模式行驶 千米，利用总费用=纯电模式行驶每千米的费用×纯电模式行驶的路程+燃油模式行驶每千米的费用×燃油模式行驶的路程，结合总利润不超过76元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.
21．（2024八下·贵阳期末）如图，在中，，，，点F为的中点.
（1）【问题解决】
如图①，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
（2）【问题探究】
如图②，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E.此时点E恰好落在边AC上，连接DA，DF，求四边形BADF的面积；
（3）【拓展延伸】
如图③，若将绕点C逆时针旋转得到，连接，，求四边形的面积.
【答案】（1）解：，
理由如下：
∵点F是AC的中点，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵点F是AC的中点，
∴，
∵将绕点C逆时针旋转30°得到，
∴，
，
∴四边形BADF的面积；
（3）解：如图，设与交于点H，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
，CD=CA，，，
∴是等边三角形，
，
∵，
，，
，
∵，
，
，
∵
，
，
，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形BEDF的面积.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可
(2)由三角形的面积公式分别求出 和 的面积，即可求解；
(3)设与交于点H，即可得到是等边三角形，然后利用SAS证明，即可得到四边形BEDF是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解.
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