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浙江省嘉兴市平湖市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·平湖期末）若数轴上表示和5的点分别是点和点，则到点与点距离相等的点所表示的数是（　　）
A．2 B．1 C． D．
2．（2024七下·平湖期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·平湖期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．若，那么的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·平湖期末）计算：的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·平湖期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·平湖期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
7．（2024七下·平湖期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·平湖期末）设，其中整数，，，，满足（为正整数），则下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．若，，则满足条件的有21个
C．若，，则的最大值为97
D．存在正整数，使得，，，，这组数的值不唯一
9．（2024七下·平湖期末）已知实数，满足，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·平湖期末）已知关于的方程（其中为实数），则下列说法正确的是（　　）
A．当时，方程的解是
B．无论取什么实数，方程都有实数解
C．当时，方程只有一个解，且该解为正数
D．若方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数的值为0
11．（2024七下·平湖期末）如图，为圆心，为圆周上一定点．半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，则下列说法正确的是（　　）
A．若，均按顺时针方向旋转，则当秒时，
B．若，均按逆时针方向旋转，则当秒时，，第一次重合
C．若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，必然重合
D．若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大
12．（2024七下·平湖期末）多项式除以多项式，则所得的余式是　 　．
13．（2024七下·平湖期末）方程组的解为　 　．
14．（2024七下·平湖期末）已知，，，则　 　．
15．（2024七下·平湖期末）分解因式：
（1）
（2）
16．（2024七下·平湖期末）（1）解方程：
（2）求和：．
17．（2024七下·平湖期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值；
（2）若，且乙车行驶的总时间为2小时．
①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米．
18．（2024七下·平湖期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
（1）若，则______；
（2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：；
（3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值．
19．（2024七下·平湖期末）已知关于的方程组，其中，为整数．
（1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
（2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】到点与点距离相等的点是点与点B的中点，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据数轴上两点的中点的表示方法求解即可．
2．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该队胜场，负场，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】根据题意列二元一次方程组即可求得．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据新定义将进行分解，再根据同底数幂的运算求解即可．
4．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：原式，
，
，
，
故选：C．
【分析】先将分子利用平方差公式进行因式分解，再化简即可求得.
5．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：整理，得，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得，，
故答案为：D．
【分析】先将所求方程组变形，根据原方程组的解可知，即可求得.
6．【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由图可知，，
则两块阴影部分的周长和为，
∴，
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，由题意得，再表示出两块阴影部分的周长和，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形的外角性质；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点N作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点N作，根据平行公理的推论可得NH∥CD，再根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义得出，继而得出，再根据三角形外角的性质即可求得．
8．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A. 若，那么，
∵，
∴，，，，中，最大为3，
当，，；当，，；当，，；
∴；该选项正确，不符合题意；
B. 若，，
∵，
∴，中，最大为6，
∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；共有21种情况，
∴满足条件的有21个；该选项正确，不符合题意；
C. 若，时，
∵，
∴，，中，最大为6，
∴最大当，，时，的最大值为；该选项错误，符合题意；
D. 存在正整数，使得，，，，这组数的值不唯一；该选项正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据有理数乘方的运算，逐项判断即可求得．
9．【答案】A,D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，故A选项符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，则，故C选项不符合题意；
D、∵，，，
∴，故D选项符合题意；
故答案为：AD.
【分析】根据异分母分式加法，先通分再代入数值，即，即可判断A选项；
根据完全平方公式的变形可知，即可判断B选项；
根据，可知，即可判断C选项；
根据，即可判断D选项．
10．【答案】B,C,D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：当时，方程的解为，则，
当时，方程的解为，则，
∴ 当a＜-1时，x＞0；
当-1＜a＜1时，有两个根，其中一个正数解和一个负数解；
当a＞1时，x＜0；
A. 当时，方程的解是，故A项不符合题意；
B. 由方程的解可知：无论取什么实数，方程都有实数解，故B项符合题意；
C. 当时，方程只有一个解，且该解为正数，故C项符合题意；
D. 若方程恰有一个正数解和一个负数解，则，故整数的值为0，故D项符合题意；
故选：BCD．
【分析】分情况讨论x＞0和x＜0，根据化简绝对值解方程，再逐项分析即可.
11．【答案】A,B,C,D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；钟面角
【解析】【解答】解：∵半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，
∴
A、当秒时，则则，故A选项符合题意；
B、，解得，秒，故B选项符合题意；
C、∵按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，即，
∴秒（为正整数）时，，必然重合，故C选项符合题意；
D、∵按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，，两点之间的距离最大
∴（为正整数），即，
∴当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大，故D选项是正确的 .
故选：ABCD.
【分析】设运动时间为秒，得出 结合每个选项的旋转方向和的值进行列式计算，逐项分析即可.
12．【答案】
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴多项式除以多项式，则所得的余式是.
故答案为：．
【分析】先将变形为即可求解．
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：令，
则原方程组为
解得，，即，
解得，，
经检验，是原方程组的解，
故答案为：．
【分析】先令，利用换元法将分式方程转化为整式方程，先解关于m，n的二元一次方程组，再解关于x，y的二元一次方程组即可．
14．【答案】33
【知识点】等式的基本性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
即①，
同理②，③，
①+②+③，得，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：33．
【分析】设，整理可得，，，三式相加求出，进而求出即可求出，，求出，然后代入计算解题即可．
15．【答案】（1）解：（1）原式，
；
（2）解：（2）原式，
，
，
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）将2x-y看成整体，利用十字相乘法求解即可；
（2）利用提公因式和平方差公式分解因式即可．
（1）原式
；
（2）原式
．
16．【答案】解：（1）当时，，不成立；
当时，，解得；
当时，，不成立；
综上，；
（2）原式，
，
．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；分类讨论
【解析】【分析】（1）分三种情况：x＞1，和，去掉绝对值符号后，解方程即可；
（2）根据将原式进行变形，再计算即可．
17．【答案】（1）解：根据题意得，，
将②代入①可得x=100，
∴ y=75，
经检验，，是原分式方程的解
答：x和y的值分别为75和100；
（2）解：①根据题意得，，
解得，，
答：x和y的值分别为60和90；
②当行驶1h时，两车的路程和为60×1+60×1=120＜150；
当75÷60=1.25h，75+60+0.25×90=157.5＞150；
∴ 两车相遇时甲车速度为60km/h，而乙车速度为90km/h，
即相遇时甲车行驶的时间为，
乙离地的距离即为甲行驶的距离，
（千米）．
两车相遇时，离地72千米．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出、的值；
（2）①由乙车以两种速度行驶时间相等可得，再由，可求、的值；②先判断出相遇时两车的速度，并计算出相遇时甲车行驶的时间，最后计算出甲的行驶路程即可.
（1）解：由已知甲车以两种速度行驶的路程相等，
甲车行驶的时间为，即
甲车行驶的总时间为小时，
，
∵，
，；
经检验：，是原分式方程的解
（2）解：①乙车以两种速度行驶的时间相等，且乙车行驶的总时间为2小时，
，
，
∵，
∴
，
②相遇时甲车行驶的时间为，
乙离地的距离即为甲行驶的距离，
（千米）．
两车相遇时，离地72千米．
18．【答案】（1）
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
由题意得，
当时，如图，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
综上所述，或．
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，解得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，再根据邻补角的意义求出，然后两直线平行，内错角相等求出∠C；
（2）设，先用x表示出，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的意义求出，，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行判定；
（3）分“”、“”两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列出关于t的方程求解．
（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
由题意得，
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，或．
19．【答案】（1）解：依题意，由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，；
（2）解：没有，
理由如下：由（1）得，
∵，
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则，
∵为整数，
∴原方程没有整数解；
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解.
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，再令的系数为零，即可求得a和b的值；
（2）将b=a-1代入可得，再分类讨论和的情况，再结合整数解分析即可求得．
（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
1 / 1浙江省嘉兴市平湖市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·平湖期末）若数轴上表示和5的点分别是点和点，则到点与点距离相等的点所表示的数是（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】到点与点距离相等的点是点与点B的中点，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据数轴上两点的中点的表示方法求解即可．
2．（2024七下·平湖期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该队胜场，负场，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】根据题意列二元一次方程组即可求得．
3．（2024七下·平湖期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．若，那么的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据新定义将进行分解，再根据同底数幂的运算求解即可．
4．（2024七下·平湖期末）计算：的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：原式，
，
，
，
故选：C．
【分析】先将分子利用平方差公式进行因式分解，再化简即可求得.
5．（2024七下·平湖期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：整理，得，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得，，
故答案为：D．
【分析】先将所求方程组变形，根据原方程组的解可知，即可求得.
6．（2024七下·平湖期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由图可知，，
则两块阴影部分的周长和为，
∴，
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，由题意得，再表示出两块阴影部分的周长和，即可求解．
7．（2024七下·平湖期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形的外角性质；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点N作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点N作，根据平行公理的推论可得NH∥CD，再根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义得出，继而得出，再根据三角形外角的性质即可求得．
8．（2024七下·平湖期末）设，其中整数，，，，满足（为正整数），则下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．若，，则满足条件的有21个
C．若，，则的最大值为97
D．存在正整数，使得，，，，这组数的值不唯一
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A. 若，那么，
∵，
∴，，，，中，最大为3，
当，，；当，，；当，，；
∴；该选项正确，不符合题意；
B. 若，，
∵，
∴，中，最大为6，
∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；共有21种情况，
∴满足条件的有21个；该选项正确，不符合题意；
C. 若，时，
∵，
∴，，中，最大为6，
∴最大当，，时，的最大值为；该选项错误，符合题意；
D. 存在正整数，使得，，，，这组数的值不唯一；该选项正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据有理数乘方的运算，逐项判断即可求得．
9．（2024七下·平湖期末）已知实数，满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，故A选项符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，则，故C选项不符合题意；
D、∵，，，
∴，故D选项符合题意；
故答案为：AD.
【分析】根据异分母分式加法，先通分再代入数值，即，即可判断A选项；
根据完全平方公式的变形可知，即可判断B选项；
根据，可知，即可判断C选项；
根据，即可判断D选项．
10．（2024七下·平湖期末）已知关于的方程（其中为实数），则下列说法正确的是（　　）
A．当时，方程的解是
B．无论取什么实数，方程都有实数解
C．当时，方程只有一个解，且该解为正数
D．若方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数的值为0
【答案】B,C,D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：当时，方程的解为，则，
当时，方程的解为，则，
∴ 当a＜-1时，x＞0；
当-1＜a＜1时，有两个根，其中一个正数解和一个负数解；
当a＞1时，x＜0；
A. 当时，方程的解是，故A项不符合题意；
B. 由方程的解可知：无论取什么实数，方程都有实数解，故B项符合题意；
C. 当时，方程只有一个解，且该解为正数，故C项符合题意；
D. 若方程恰有一个正数解和一个负数解，则，故整数的值为0，故D项符合题意；
故选：BCD．
【分析】分情况讨论x＞0和x＜0，根据化简绝对值解方程，再逐项分析即可.
11．（2024七下·平湖期末）如图，为圆心，为圆周上一定点．半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，则下列说法正确的是（　　）
A．若，均按顺时针方向旋转，则当秒时，
B．若，均按逆时针方向旋转，则当秒时，，第一次重合
C．若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，必然重合
D．若按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，则当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大
【答案】A,B,C,D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；钟面角
【解析】【解答】解：∵半径，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度旋转．设运动时间为秒，
∴
A、当秒时，则则，故A选项符合题意；
B、，解得，秒，故B选项符合题意；
C、∵按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，即，
∴秒（为正整数）时，，必然重合，故C选项符合题意；
D、∵按逆时针方向旋转，按顺时针方向旋转，，两点之间的距离最大
∴（为正整数），即，
∴当秒（为正整数）时，，两点之间的距离最大，故D选项是正确的 .
故选：ABCD.
【分析】设运动时间为秒，得出 结合每个选项的旋转方向和的值进行列式计算，逐项分析即可.
12．（2024七下·平湖期末）多项式除以多项式，则所得的余式是　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴多项式除以多项式，则所得的余式是.
故答案为：．
【分析】先将变形为即可求解．
13．（2024七下·平湖期末）方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：令，
则原方程组为
解得，，即，
解得，，
经检验，是原方程组的解，
故答案为：．
【分析】先令，利用换元法将分式方程转化为整式方程，先解关于m，n的二元一次方程组，再解关于x，y的二元一次方程组即可．
14．（2024七下·平湖期末）已知，，，则　 　．
【答案】33
【知识点】等式的基本性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
即①，
同理②，③，
①+②+③，得，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：33．
【分析】设，整理可得，，，三式相加求出，进而求出即可求出，，求出，然后代入计算解题即可．
15．（2024七下·平湖期末）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：（1）原式，
；
（2）解：（2）原式，
，
，
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）将2x-y看成整体，利用十字相乘法求解即可；
（2）利用提公因式和平方差公式分解因式即可．
（1）原式
；
（2）原式
．
16．（2024七下·平湖期末）（1）解方程：
（2）求和：．
【答案】解：（1）当时，，不成立；
当时，，解得；
当时，，不成立；
综上，；
（2）原式，
，
．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；分类讨论
【解析】【分析】（1）分三种情况：x＞1，和，去掉绝对值符号后，解方程即可；
（2）根据将原式进行变形，再计算即可．
17．（2024七下·平湖期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值；
（2）若，且乙车行驶的总时间为2小时．
①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米．
【答案】（1）解：根据题意得，，
将②代入①可得x=100，
∴ y=75，
经检验，，是原分式方程的解
答：x和y的值分别为75和100；
（2）解：①根据题意得，，
解得，，
答：x和y的值分别为60和90；
②当行驶1h时，两车的路程和为60×1+60×1=120＜150；
当75÷60=1.25h，75+60+0.25×90=157.5＞150；
∴ 两车相遇时甲车速度为60km/h，而乙车速度为90km/h，
即相遇时甲车行驶的时间为，
乙离地的距离即为甲行驶的距离，
（千米）．
两车相遇时，离地72千米．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出、的值；
（2）①由乙车以两种速度行驶时间相等可得，再由，可求、的值；②先判断出相遇时两车的速度，并计算出相遇时甲车行驶的时间，最后计算出甲的行驶路程即可.
（1）解：由已知甲车以两种速度行驶的路程相等，
甲车行驶的时间为，即
甲车行驶的总时间为小时，
，
∵，
，；
经检验：，是原分式方程的解
（2）解：①乙车以两种速度行驶的时间相等，且乙车行驶的总时间为2小时，
，
，
∵，
∴
，
②相遇时甲车行驶的时间为，
乙离地的距离即为甲行驶的距离，
（千米）．
两车相遇时，离地72千米．
18．（2024七下·平湖期末）交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
（1）若，则______；
（2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：；
（3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
由题意得，
当时，如图，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
综上所述，或．
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，解得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，再根据邻补角的意义求出，然后两直线平行，内错角相等求出∠C；
（2）设，先用x表示出，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的意义求出，，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行判定；
（3）分“”、“”两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列出关于t的方程求解．
（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
由题意得，
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，或．
19．（2024七下·平湖期末）已知关于的方程组，其中，为整数．
（1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
（2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，；
（2）解：没有，
理由如下：由（1）得，
∵，
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则，
∵为整数，
∴原方程没有整数解；
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解.
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，再令的系数为零，即可求得a和b的值；
（2）将b=a-1代入可得，再分类讨论和的情况，再结合整数解分析即可求得．
（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
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