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浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·镇海区期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·镇海区期中）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·镇海区期中）下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·镇海区期中）用反证法证明“若，则”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·镇海区期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 　 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（2024八下·镇海区期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·镇海区期中）为推进节能减排，创建低碳绿色城市，学校计划植一批樟树，第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·镇海区期中）下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线平分对角的四边形是菱形
D．对角线平分对角的矩形是正方形
9．（2024八下·镇海区期中）如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·镇海区期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连结并延长，分别交和于点M和点N，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．5
11．（2024八下·镇海区期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·镇海区期中）若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
13．（2024八下·镇海区期中）甲、乙两名运动员在射击训练中，某10次射击平均成绩均为环，甲的方差为，乙的方差为，则这10次射击成绩较稳定的是　 　．
14．（2024八下·镇海区期中）在中，的平分线交边于点E，于点M，N是的中点，连接．若，，，则的长度为　 　．
15．（2024八下·镇海区期中）已知关于x的一元二次方程：（其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是　 　．
①必是方程的根；
②可能是方程的根；
③方程必有实数根；
④若为方程的两个根，则方程的根为和．
16．（2024八下·镇海区期中）在正方形中，对角线上有一动点E，若以为边作如图所示的正方形，连结．若，则的值为　 　．
17．（2024八下·镇海区期中）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2024八下·镇海区期中）如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．请用无刻度直尺按要求作图，并保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）在图中，以为对角线作矩形，且都在格点上（作出一个即可）．
（2）在图中，不在格点上而在格线上，请在图内找到点并作出．
19．（2024八下·镇海区期中）为迎接3月14日的节，某校面向全体学生举办了“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题：
比赛项目 成绩（分）
初一 初二 初三
24点速算比赛 70 85 80
数学文化知多少 80 70 90
东方快板 85 80 70
环环相扣 90 95 80
（1）根据统计各个项目参赛人数，绘制了如下扇形统计图，现已知参加数学文化知多少项目有20人，求参加此次数学素养大赛的总人数．
（2）现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级PK赛，各年级各项成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为、、、来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？
20．（2024八下·镇海区期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）方程的两个实数根、满足，求实数m的值．
21．（2024八下·镇海区期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求度数．
22．（2024八下·镇海区期中）每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件．
（1）A、B两款模型每件售价分别是多少？
（2）为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？
23．（2024八下·镇海区期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（1）如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上；
（2）如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形；
（3）如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度．
24．（2024八下·镇海区期中）如图，在中，于点，连结交于点．
（1）如图1所示，连结，若，，，求的值；
（2）如图2所示，若，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结．
①证明：；
②猜想、、的数量关系并证明；
（3）如图3所示，为线段上一点，，，，，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；A、C选项中的二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式；B选项中的二次根式，被开方数含有分母，故不是最简二次根式.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，选项A错误，不符合题意；
B、，选项B错误，不符合题意；
C、，不是同类二次根式，不能合并，选项C错误，不符合题意；
D、，选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质“”可判断A选项；由二次根式的除法法则“”及“”进行计算可判断B选项；二次根式的加减法就是合并同类二次根式，所谓同类项二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只把系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断C、D选项.
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的一般步骤是先假设结论不成立，
故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2 b2，
故答案为：A
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为这组数据有唯一的众数，
所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10，
中位数都是9．
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此结合题意可得缺失的数据可能是9或10；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此找出这组数据的中位数即可.
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
配方得：，即．
故答案为：A．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，利用配方法求解时，先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可得答案．
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x，
∴．
故答案为：B．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形能判定是平行四边形，所以此选项不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形能判定是矩形，所以此选项不符合题意；
C、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故该选项不能判定其为菱形，所以此选项符合题意；
D、对角线平分对角的矩形能判定是正方形，所以此选不项符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理可直接判断A选项；根据矩形的判定定理可直接判断B选项；根据菱形的判定定理可直接判断C选项；根据正方形的判定定理可直接判断D选项.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由折叠得：
又四边形ABCD是菱形，
，
故答案为：B．
【分析】由折叠性质得AF=AB，由等边对等角及三角形的内角和定理可推出，由菱形邻角互补可求出的度数，再由菱形四边相等及折叠可得AF=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理可推出，最后利用可求得答案．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得AD=BC=CD=6，EF∥HG，由全等三角形的对应角相等得∠CBF=∠ADH，∠AHG=∠HEF，由等边对等角及平行线的性质推出∠ADH=∠NMD=∠FEM=∠CBF，从而由等角对等边得BC=CE=6；由直角三角形量锐角互余并结合对应角相等推出∠DAH=∠HEM=∠AEN，由等角对等边可证出AN=NE，然后在Rt△NDC中，利用勾股定理建立方程求出AN的长，进而即可得解．
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
13．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为甲的方差大于乙的方差，所以成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此直接即可得到答案．
14．【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解；如图，当点G在线段上时，延长交于点F，连接过点B作于点G，过点A作于点H，
是的平分线，，
，，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠FAM=∠BEM=∠BAM
∴AB=BE=AF，
四边形是菱形，
点M是的中点，
N是的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点G在延长线上时，
同理，得到，
，
，
，
，
，
，
；
综上，的长度为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意画出示意图，当点G在线段上时，延长交于点F，连接过点B作于点G，过点A作于点H，得到AB=AF，然后由二直线平行，内错角相等推出∠FAM=∠BEM=∠BAM，由等角对等边得AB=BE=AF，从而由一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形ABEF是菱形，由菱形的性质得M是AE的中点，由三角形中位线定理得EC=2MN=4，进而可求出BC=17，由题意易得△BGC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质得，进而再用勾股定理算出AG，进而可得AC的长，根据等面积法可算出AH的长，由等腰直角三角形的性质得到，从而得到，利用勾股定理即可求出的长；当点G在延长线上时，同理进行解答即可．
15．【答案】②③④
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴且，
∴，
当，
原方程为：，
，
即，
，
是方程的根；
当，即时，
原方程为：，
，
即，
，
是方程的根；
综上，不一定是方程的根；故①错误，不符合题意；
当时，则，即，
，
，
符合题意，
可能是方程的根；故②正确，符合题意；
方程px2+qx+1=0中，△=q2-4p；
∵方程(p+1)x2+2qx+(p+1)=0有两个相等的实数根，
∴△=4q2-4(p+1)2=0，
∴q2=(p+1)2
∴△=(p+1)2-4p=(p-1)2≥0，
∴方程px2+qx+1=0必有实数根，故③正确，符合题意；
故③正确，符合题意；
为方程的两个根，
∴，
∵方程的两根之积为p，
∴ 方程的根为和 ，故④正确，符合题意，
综上，正确的结论有②③④.
故答案为：②③④．
【分析】由题干所给方程有两个相等的实数根可得△=0，据此求得，然后分当与当两种情况分别代入方程求解得出该方程的根，即可判断①；根据方程根的概念将x=0代入方程求出p的值，即可判断②； 由题干所给方程有两个相等的实数根可得q2=(p+1)2，方程px2+qx+1=0中，△=q2-4p，从而代入可得△=(p+1)2-4p=(p-1)2≥0，据此可判断③；根据方程根与系数的关系可得，而方程的两根之积为p，据此可判断④.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图：过D作，过F作交延长线于H，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
整理得：．
故答案为：．
【分析】过D作，过F作交延长线于H，由同角的余角相等得，从而利用AAS判断出△DOE≌△EHF，得，由正方形的性质易得△AOD是等腰直角三角形，则，利用勾股定理得，进而表示出，然后根据三角形面积计算公式表示出△AEF的面积，由表示出四边形ADGF的面积，最后根据3S四边形ADGF=13S△AEF建立方程，化简即可得出结论.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先计算括号内的二次根式的乘法，再合并括号内的同类二次根式，最后再计算二次根式的乘法即可；
（2）由于此一元二次方程缺常数项，故方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可.
18．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
，
（2）解：如图，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（）根据网格特征，令点A右边一个单位长度处的格点为点D，点C左边一个单位长度处的格点为点B，顺次连接A、B、C、D，即可得出以AC为对角线的矩形ABCD；
（2）根据网格特征，令点A右边一个单位长度处的格点为点D，点C左边一个单位长度处的格点为点B，连接AC、BD相交于点O，连接AO并延长至点F，使EO=FO，顺次连接A、E、C、F，根据对角线互相平分的四边形就是平行四边形可得四边形AECF就是所求的平行四边形.
（1）如图，根据网格特征即可，
∴四边形即为所求；
（2）如图，根据网格特征即可，
∴四边形即为所求．
19．【答案】（1）解：（人）
答： 参加此次数学素养大赛的总人数 为200人；
（2）解：初一：
初二：
初三：
∵
∴初三取得第一名
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参加数学文化知多少项目的人数除以其所占的百分比即可求出参加此次数学素养大赛的总人数；
（2）根据加权平均数的计算方法分别求得三个年级的成绩，再比大小即可求解．
（1）解：
（2）初一：
初二：
初三：
∵
∴初三取得第一名
20．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
∴
解得：．
（2）解：∵ 关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，，
将化解，
得
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意可得根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，可得，，然后将 化简整理后整体代入可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出结论．
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
∴
解得：．
（2）解：原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），
21．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∵在△AOF和△COE中
∴
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形
∴
∵在中，
又∵
∴
∵，
∴
∵在中，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得=90°，由矩形的对角线互相平分得AO=CO，从而用AAS证△AOF≌△COE，由全等三角形的对应边相等得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）根据矩形性质得到，平行四边形的对边相等，结合已知推出，由等腰三角形的三线合一得出，由平行四边形的对角相等得，再利用角的和差关系求解即可．
（1）证明：∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∵在△AOF和△COE中
∴
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是矩形
∴
∵在中，
又∵
∴
∵，
∴
∵在中，
∴．
22．【答案】（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得∴
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
答：A模型每件售价100元，B模型每件售价120元；
（2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得，
解得，，
∵尽可能实惠，
∴，
∴，
答：实际售价应为95元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A模型每件售价x元，则B款模型每件售价(x+20)元，根据总价除以单价等于数量及用800元购买A款模型的数量等于960元购买B款模型的数量列出分式方程，求出解即可；
（2）设B模型每件下降5m元，则每每天可以多销售m件，根据销售量乘以单价等于销售额列出一元二次方程，根据让顾客得到实惠求出解即可．
（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得
∴
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
答：A模型每件售价100元，B模型每件售价120元；
（2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得
∴，
解得，，
∵尽可能实惠，
∴，
∴，
答：实际售价应为95元．
23．【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求，
（2）解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）解：BN的长度为：4或7或.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）在中，，，
∴，，
过点M作于H，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
当时，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，设，则，作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∵，
∴这种情况不存在，
综上可知，的长度为4或7或．
【分析】（1）由于题干已经给出了AB、BC的长度，利用网格特点结合等邻四边形定义，作出图形即可；
（2）连接AE，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得，由等边对等角得，则，从而利用AAS判断出△ABE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得，即可根据等邻四边形定义得到结论；
（3）由平行四边形的性质得，，过点M作于H，则，根据含30°角直角三角形的性质算出DH的长，再根据勾股定理算出HM、AM的长；然后分类讨论：当时，设，则，，从而可列出关于字母x的方程，求解即可得出BN的长；当时，则，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABN是等边三角形，则BN=AB=7； 当时，设，则，作于点G， 由含30度角直角三角形的性质表示出BG，进而用勾股定理表示出GN，在Rt△ANG中，利用勾股定理建立方程可求出BN的长；根据平行四边形的对边相等得，故AM=CM这种情况不成立，综上，即可得出答案.
（1）解：如图所示，四边形即为所求，
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）在中，，，
∴，，
过点M作于H，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
当时，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，设，则，作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∵，
∴这种情况不存在，
综上可知，的长度为4或7或．
24．【答案】（1）解：∵，，
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴
（2）解：①∵在中，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵在和中
∴
②，理由如下：
连结、、
∵在中，是的中点
∴
∵
∴，，
∵
∴，，
∴
∴
∵在和中
∴
∴，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
（3）解：在上截取，过点作交于点，交于点， 记
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在和D中
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
设，则
在中，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，由勾股定理求得AE的长，从而可求出BC的长，进而根据平行四边形的对边相等，即可求解；
（2）①由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由平行线的性质及垂直的定义得出∠AGE=∠EHC，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得，从而可用AAS证明；
②连结、、，由等腰直角三角形的性质得，，，由全等三角形的性质得，，，由等量加等量和相等得，从而用SAS判断出△GEF≌△HCF，得出，，则是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可得出结论；
（3）在AD上截取，过点作交于点，交于点，记，首先证出∠FND=∠NAE，从而利用SAS判断出，得DF=EN=5；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个内角是直角的平行四边形是矩形得四边形AELG是矩形，则EL=AG=3，从而由勾股定理求得，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
（1）∵，，
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴
（2）①∵在中，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵在和中
∴
②连结、、
∵在中，是的中点
∴
∵
∴，，
∵
∴，，
∴
∴
∵在和中
∴
∴，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
（3）在上截取，过点作交于点，交于点
记
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在和D中
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
设，则
在中，
∴
1 / 1浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·镇海区期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；A、C选项中的二次根式含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式；B选项中的二次根式，被开方数含有分母，故不是最简二次根式.
2．（2024八下·镇海区期中）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2024八下·镇海区期中）下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，选项A错误，不符合题意；
B、，选项B错误，不符合题意；
C、，不是同类二次根式，不能合并，选项C错误，不符合题意；
D、，选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质“”可判断A选项；由二次根式的除法法则“”及“”进行计算可判断B选项；二次根式的加减法就是合并同类二次根式，所谓同类项二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只把系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断C、D选项.
4．（2024八下·镇海区期中）用反证法证明“若，则”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的一般步骤是先假设结论不成立，
故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2 b2，
故答案为：A
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
5．（2024八下·镇海区期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 　 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为这组数据有唯一的众数，
所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10，
中位数都是9．
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此结合题意可得缺失的数据可能是9或10；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此找出这组数据的中位数即可.
6．（2024八下·镇海区期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
配方得：，即．
故答案为：A．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，利用配方法求解时，先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可得答案．
7．（2024八下·镇海区期中）为推进节能减排，创建低碳绿色城市，学校计划植一批樟树，第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x，
∴．
故答案为：B．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
8．（2024八下·镇海区期中）下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线平分对角的四边形是菱形
D．对角线平分对角的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形能判定是平行四边形，所以此选项不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形能判定是矩形，所以此选项不符合题意；
C、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故该选项不能判定其为菱形，所以此选项符合题意；
D、对角线平分对角的矩形能判定是正方形，所以此选不项符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理可直接判断A选项；根据矩形的判定定理可直接判断B选项；根据菱形的判定定理可直接判断C选项；根据正方形的判定定理可直接判断D选项.
9．（2024八下·镇海区期中）如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由折叠得：
又四边形ABCD是菱形，
，
故答案为：B．
【分析】由折叠性质得AF=AB，由等边对等角及三角形的内角和定理可推出，由菱形邻角互补可求出的度数，再由菱形四边相等及折叠可得AF=AD，由等边对等角及三角形的内角和定理可推出，最后利用可求得答案．
10．（2024八下·镇海区期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连结并延长，分别交和于点M和点N，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得AD=BC=CD=6，EF∥HG，由全等三角形的对应角相等得∠CBF=∠ADH，∠AHG=∠HEF，由等边对等角及平行线的性质推出∠ADH=∠NMD=∠FEM=∠CBF，从而由等角对等边得BC=CE=6；由直角三角形量锐角互余并结合对应角相等推出∠DAH=∠HEM=∠AEN，由等角对等边可证出AN=NE，然后在Rt△NDC中，利用勾股定理建立方程求出AN的长，进而即可得解．
11．（2024八下·镇海区期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2024八下·镇海区期中）若一个多边形的内角和是900 ，则这个多边形是　 　边形.
【答案】七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是 边形，根据题意得，
，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据多边形的内角和公式 ，列式求解即可.
13．（2024八下·镇海区期中）甲、乙两名运动员在射击训练中，某10次射击平均成绩均为环，甲的方差为，乙的方差为，则这10次射击成绩较稳定的是　 　．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为甲的方差大于乙的方差，所以成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此直接即可得到答案．
14．（2024八下·镇海区期中）在中，的平分线交边于点E，于点M，N是的中点，连接．若，，，则的长度为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解；如图，当点G在线段上时，延长交于点F，连接过点B作于点G，过点A作于点H，
是的平分线，，
，，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠FAM=∠BEM=∠BAM
∴AB=BE=AF，
四边形是菱形，
点M是的中点，
N是的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点G在延长线上时，
同理，得到，
，
，
，
，
，
，
；
综上，的长度为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意画出示意图，当点G在线段上时，延长交于点F，连接过点B作于点G，过点A作于点H，得到AB=AF，然后由二直线平行，内错角相等推出∠FAM=∠BEM=∠BAM，由等角对等边得AB=BE=AF，从而由一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形ABEF是菱形，由菱形的性质得M是AE的中点，由三角形中位线定理得EC=2MN=4，进而可求出BC=17，由题意易得△BGC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质得，进而再用勾股定理算出AG，进而可得AC的长，根据等面积法可算出AH的长，由等腰直角三角形的性质得到，从而得到，利用勾股定理即可求出的长；当点G在延长线上时，同理进行解答即可．
15．（2024八下·镇海区期中）已知关于x的一元二次方程：（其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是　 　．
①必是方程的根；
②可能是方程的根；
③方程必有实数根；
④若为方程的两个根，则方程的根为和．
【答案】②③④
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴且，
∴，
当，
原方程为：，
，
即，
，
是方程的根；
当，即时，
原方程为：，
，
即，
，
是方程的根；
综上，不一定是方程的根；故①错误，不符合题意；
当时，则，即，
，
，
符合题意，
可能是方程的根；故②正确，符合题意；
方程px2+qx+1=0中，△=q2-4p；
∵方程(p+1)x2+2qx+(p+1)=0有两个相等的实数根，
∴△=4q2-4(p+1)2=0，
∴q2=(p+1)2
∴△=(p+1)2-4p=(p-1)2≥0，
∴方程px2+qx+1=0必有实数根，故③正确，符合题意；
故③正确，符合题意；
为方程的两个根，
∴，
∵方程的两根之积为p，
∴ 方程的根为和 ，故④正确，符合题意，
综上，正确的结论有②③④.
故答案为：②③④．
【分析】由题干所给方程有两个相等的实数根可得△=0，据此求得，然后分当与当两种情况分别代入方程求解得出该方程的根，即可判断①；根据方程根的概念将x=0代入方程求出p的值，即可判断②； 由题干所给方程有两个相等的实数根可得q2=(p+1)2，方程px2+qx+1=0中，△=q2-4p，从而代入可得△=(p+1)2-4p=(p-1)2≥0，据此可判断③；根据方程根与系数的关系可得，而方程的两根之积为p，据此可判断④.
16．（2024八下·镇海区期中）在正方形中，对角线上有一动点E，若以为边作如图所示的正方形，连结．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图：过D作，过F作交延长线于H，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
整理得：．
故答案为：．
【分析】过D作，过F作交延长线于H，由同角的余角相等得，从而利用AAS判断出△DOE≌△EHF，得，由正方形的性质易得△AOD是等腰直角三角形，则，利用勾股定理得，进而表示出，然后根据三角形面积计算公式表示出△AEF的面积，由表示出四边形ADGF的面积，最后根据3S四边形ADGF=13S△AEF建立方程，化简即可得出结论.
17．（2024八下·镇海区期中）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先计算括号内的二次根式的乘法，再合并括号内的同类二次根式，最后再计算二次根式的乘法即可；
（2）由于此一元二次方程缺常数项，故方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可.
18．（2024八下·镇海区期中）如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．请用无刻度直尺按要求作图，并保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）在图中，以为对角线作矩形，且都在格点上（作出一个即可）．
（2）在图中，不在格点上而在格线上，请在图内找到点并作出．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
，
（2）解：如图，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（）根据网格特征，令点A右边一个单位长度处的格点为点D，点C左边一个单位长度处的格点为点B，顺次连接A、B、C、D，即可得出以AC为对角线的矩形ABCD；
（2）根据网格特征，令点A右边一个单位长度处的格点为点D，点C左边一个单位长度处的格点为点B，连接AC、BD相交于点O，连接AO并延长至点F，使EO=FO，顺次连接A、E、C、F，根据对角线互相平分的四边形就是平行四边形可得四边形AECF就是所求的平行四边形.
（1）如图，根据网格特征即可，
∴四边形即为所求；
（2）如图，根据网格特征即可，
∴四边形即为所求．
19．（2024八下·镇海区期中）为迎接3月14日的节，某校面向全体学生举办了“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题：
比赛项目 成绩（分）
初一 初二 初三
24点速算比赛 70 85 80
数学文化知多少 80 70 90
东方快板 85 80 70
环环相扣 90 95 80
（1）根据统计各个项目参赛人数，绘制了如下扇形统计图，现已知参加数学文化知多少项目有20人，求参加此次数学素养大赛的总人数．
（2）现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级PK赛，各年级各项成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为、、、来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？
【答案】（1）解：（人）
答： 参加此次数学素养大赛的总人数 为200人；
（2）解：初一：
初二：
初三：
∵
∴初三取得第一名
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用参加数学文化知多少项目的人数除以其所占的百分比即可求出参加此次数学素养大赛的总人数；
（2）根据加权平均数的计算方法分别求得三个年级的成绩，再比大小即可求解．
（1）解：
（2）初一：
初二：
初三：
∵
∴初三取得第一名
20．（2024八下·镇海区期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）方程的两个实数根、满足，求实数m的值．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
∴
解得：．
（2）解：∵ 关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，，
将化解，
得
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意可得根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，可得，，然后将 化简整理后整体代入可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出结论．
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
∴
解得：．
（2）解：原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），
21．（2024八下·镇海区期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∵在△AOF和△COE中
∴
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形
∴
∵在中，
又∵
∴
∵，
∴
∵在中，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得=90°，由矩形的对角线互相平分得AO=CO，从而用AAS证△AOF≌△COE，由全等三角形的对应边相等得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）根据矩形性质得到，平行四边形的对边相等，结合已知推出，由等腰三角形的三线合一得出，由平行四边形的对角相等得，再利用角的和差关系求解即可．
（1）证明：∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∵在△AOF和△COE中
∴
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是矩形
∴
∵在中，
又∵
∴
∵，
∴
∵在中，
∴．
22．（2024八下·镇海区期中）每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件．
（1）A、B两款模型每件售价分别是多少？
（2）为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？
【答案】（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得∴
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
答：A模型每件售价100元，B模型每件售价120元；
（2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得，
解得，，
∵尽可能实惠，
∴，
∴，
答：实际售价应为95元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A模型每件售价x元，则B款模型每件售价(x+20)元，根据总价除以单价等于数量及用800元购买A款模型的数量等于960元购买B款模型的数量列出分式方程，求出解即可；
（2）设B模型每件下降5m元，则每每天可以多销售m件，根据销售量乘以单价等于销售额列出一元二次方程，根据让顾客得到实惠求出解即可．
（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得
∴
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
答：A模型每件售价100元，B模型每件售价120元；
（2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得
∴，
解得，，
∵尽可能实惠，
∴，
∴，
答：实际售价应为95元．
23．（2024八下·镇海区期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（1）如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上；
（2）如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形；
（3）如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度．
【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求，
（2）解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）解：BN的长度为：4或7或.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）在中，，，
∴，，
过点M作于H，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
当时，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，设，则，作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∵，
∴这种情况不存在，
综上可知，的长度为4或7或．
【分析】（1）由于题干已经给出了AB、BC的长度，利用网格特点结合等邻四边形定义，作出图形即可；
（2）连接AE，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得，由等边对等角得，则，从而利用AAS判断出△ABE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得，即可根据等邻四边形定义得到结论；
（3）由平行四边形的性质得，，过点M作于H，则，根据含30°角直角三角形的性质算出DH的长，再根据勾股定理算出HM、AM的长；然后分类讨论：当时，设，则，，从而可列出关于字母x的方程，求解即可得出BN的长；当时，则，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABN是等边三角形，则BN=AB=7； 当时，设，则，作于点G， 由含30度角直角三角形的性质表示出BG，进而用勾股定理表示出GN，在Rt△ANG中，利用勾股定理建立方程可求出BN的长；根据平行四边形的对边相等得，故AM=CM这种情况不成立，综上，即可得出答案.
（1）解：如图所示，四边形即为所求，
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）在中，，，
∴，，
过点M作于H，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
当时，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，设，则，作于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∵，
∴这种情况不存在，
综上可知，的长度为4或7或．
24．（2024八下·镇海区期中）如图，在中，于点，连结交于点．
（1）如图1所示，连结，若，，，求的值；
（2）如图2所示，若，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结．
①证明：；
②猜想、、的数量关系并证明；
（3）如图3所示，为线段上一点，，，，，求的长度．
【答案】（1）解：∵，，
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴
（2）解：①∵在中，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵在和中
∴
②，理由如下：
连结、、
∵在中，是的中点
∴
∵
∴，，
∵
∴，，
∴
∴
∵在和中
∴
∴，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
（3）解：在上截取，过点作交于点，交于点， 记
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在和D中
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
设，则
在中，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，由勾股定理求得AE的长，从而可求出BC的长，进而根据平行四边形的对边相等，即可求解；
（2）①由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由平行线的性质及垂直的定义得出∠AGE=∠EHC，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得，从而可用AAS证明；
②连结、、，由等腰直角三角形的性质得，，，由全等三角形的性质得，，，由等量加等量和相等得，从而用SAS判断出△GEF≌△HCF，得出，，则是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可得出结论；
（3）在AD上截取，过点作交于点，交于点，记，首先证出∠FND=∠NAE，从而利用SAS判断出，得DF=EN=5；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个内角是直角的平行四边形是矩形得四边形AELG是矩形，则EL=AG=3，从而由勾股定理求得，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
（1）∵，，
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴
（2）①∵在中，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵在和中
∴
②连结、、
∵在中，是的中点
∴
∵
∴，，
∵
∴，，
∴
∴
∵在和中
∴
∴，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
（3）在上截取，过点作交于点，交于点
记
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在和D中
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
设，则
在中，
∴
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