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浙江省金华市浦江县第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·浦江期中）下列航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． 中国火箭 B． 中国探火
C． 航天神舟 D． 中国行星探测
2．（2024八下·浦江期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·浦江期中）下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（　　）
A．y= B．y= C．y= D．xy=
4．（2024八下·浦江期中）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·浦江期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角
6．（2024八下·浦江期中）一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·浦江期中）若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足（　　）
A． B． 且
C． 且 D．
8．（2024八下·浦江期中） 下列说法中正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
9．（2024八下·浦江期中）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（　　）．
A．10 B．20 C．30 D．40
10．（2024八下·浦江期中）如图，在平行四边形中，，E是的中点，于点F，则的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
11．（2024八下·浦江期中）已知反比例函数 ，当 时，，则该函数的表达式为　 　．
12．（2024八下·浦江期中）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为S2甲=0.9，S2乙=1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是　 　（填“甲”或“乙”）．
13．（2024八下·浦江期中）已知是方程的一个实数根，求的值为　 　．
14．（2024八下·浦江期中）如图，在中，，，是斜边上的中线，点N是边上一点，点D，E分别为的中点，则的值是　 　．
15．（2024八下·浦江期中）如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为　 　
16．（2024八下·浦江期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C'处，P为折痕EF上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1）　 　；（2）则　 　．
17．（2024八下·浦江期中）（1）
（2）
18．（2024八下·浦江期中）解下列方程：
（1）
（2）
19．（2024八下·浦江期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根．
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______．
（2）应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
20．（2024八下·浦江期中）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c
（1）以上成绩统计分析表中 ， ， ；
（2）求乙组的值；
（3）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生；
21．（2024八下·浦江期中）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，当四边形是菱形时，求的长．
22．（2024八下·浦江期中）某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售　 　篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
23．（2024八下·浦江期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结．
（1）求对角线所在直线的函数表达式．
（2）如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长．
24．（2024八下·浦江期中）如图，在矩形中，平分交于，连结，．
（1）如图，若，，求的长．
（2）如图，若点是边上的一点，若，连结交于点，
猜想的度数，并说明理由．
若，求的值．
若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A中，不是同类项，不能合并，错误；
B中， ，正确；
C中， ，错误；
D中， ，错误
故答案为：B
【分析】根据二次根式的运算法则依次判断各选项即可.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=是正比例函数，故A符合题意；
B、y=是反比例函数，故B不符合题意；
C、y=是反比例函数，故C不符合题意；
D、xy=是反比例函数，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】形如“y=k/x”（其中，k为常数且k≠0）的函数被称为“反比例函数”。其中“k”被称作反比例函数的“比例系数”，据此分析即可.
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据多边形的外角和定理和题意可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数.
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的反面即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-8x-1=0
∴x2-8x+42-42-1=0
∴（x-4）2-17=0
∴ （x-4）2=17
故答案为：C.
【分析】由配方法步骤解题即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a≠0，根据一元二次方程有两个实数根可知∴b2-4ac≥0，由此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】 A：有一个角是直角的平行四边形不一定是矩形，A错误，不合题意；
B：四边相等的四边形不一定是菱形，B错误，不合题意；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误，不合题意；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，D正确，符合题意。
故答案为D
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握其方法很重要。有一个直角的四边形不一定是矩形。有三个直角的四边形是矩形；有一个直角的平行四边形是矩形；有一组邻边垂直的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形。注意区别菱形和矩形的判定。
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由矩形性质可知，，
∵、是与的中点，
∴是的中位线，
∴（cm），
同理，，
∴四边形的周长为20cm.
故答案为：B．
【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BA交BA的延长线与点G，如图所示：
∵FE⊥BA，
∴EF//DG，
∴.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD//BC，AD=BC=4，
∴∠GAD=∠B=60°.
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=2.
∵EF⊥AB，DG⊥AB，
∴△BEF和△GDA都是直角三角形.
在Rt△BEF中，∠B=60°，BE=2，
，
，
，AF=AB－BF=2.
在Rt△GDA中，∠GAD=60°，AD=4，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点D作DG⊥BA交BA的延长线与点G，根据“平行线之间的距离处处相等”可得.根据平行四边形的性质得，AD//BC，AD=BC=4；分别在△BEF和△GDA中利用含30°角的直角三角形的性质求出BF，AF和AD的长，即可利用三角形的面积公式计算△FED的面积．
11．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把，，代入得：，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法把，，代入中可得k的值，进而得到函数解析式．
12．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S2甲=0.9，S2乙=1.1，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲.
故答案为：甲.
【分析】方差越小数据波动越小，队员身高更加整齐.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个实数根，
∴，即，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可．
14．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，是斜边上的中线，，
∴，
∵点D，E分别为CN，MN的中点，
∴．
故答案为：1
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CM的长，再利用三角形中位线定理，即可得到的值．
15．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AD∥BC
∴，
∴垂直平分，
∴；
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的对边平行且平行得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠BCE，∠EAF=∠B，从而由AAS判断出△BCE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得AF=BC=AD，由二直线平行，拿出相等得∠DAC=∠ACB=90°，则可得AC垂直平分DF，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CD=CF，从而可得答案.
16．【答案】5；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∴，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；
（2）连接BP，过点E作于Q，如图所示：
由勾股定理可得，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5；．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，，由二直线平行，内错角相等，得，根据折叠的性质可得，，则，根据等角对等边可得，从而得出，进而根据线段和差求出AE；
（2）连接BP，过点E作于Q，利用勾股定理求出AB，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形ABQE为矩形，由矩形对边相等得出，然后由等面积法，根据建立方程，求解即可.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）可以先去括号，再根据二次根式的加减混合运算法则进行计算；
（2）先计算完全平方公式与平方差公式，再合并同类二次根式即可．
18．【答案】（1）解：
∴，
即或，
解得，
（2）解：，
∴，
整理得，，
则，
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）整理得：，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：
∴，
即或，
解得，；
（2）解：，
∴，
整理得，，
则，
解得，
19．【答案】（1）；
（2）解：∵实数m，n满足，，且，
∴m，n是方程两个不相等的实数根．
∴，，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程两个根为，
则，．
故答案为：，.
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可；
（1）解：∵一元二次方程两个根为，
则，．
（2）解：∵实数m，n满足，，且，
∴m，n是方程两个不相等的实数根．
∴，，
∴；
20．【答案】（1）6，7，7
（2）解：
（3）甲
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6，7，7；
（3）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
小明得了7分，在小组中属中游略偏上，只有甲组的中位数是6分小于7分，
故答案为：甲.
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据方差的计算方法即可得出答案；
（3）根据中位数的意义即可得出答案.
（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6，7，7；
（2）；
（3）小明可能是甲组的学生，理由如下：
小明得了7分，在小组中属中游略偏上，只有甲组的中位数是6分小于7分，
故答案为：甲.
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
AB//CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF.
在△BAE和△DCF中，
∴△BAE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∴180°－∠AEB=180°－∠CFD，即∠BEF=∠DFE，
∴BE//DF，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接BD，交AC于点O，如图所示：
在中，AB=8，BF=6，
∴，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BD⊥EF，BE=BF=6.
，
，
，
．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线性质可得AB=CD，∠BAE=∠DCF.证明△BAE≌△DCF，可得BE=DF，∠AEB=∠CFD，继而可证明BE//DF，即可依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
（2）由勾股定理得，再根据菱形的对角线互相平分和面积公式计算出，再根据勾股定理解得，即可求解AE的长.
22．【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵每篮售价不低于30元，，
∴，
∴，
∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设售价每篮降价x元，
则每天可销售：
故答案为：.
【分析】（1）根据题干：如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮，即可求解；
（2）根据题干和（1）列方程：，解出x，再根据每篮售价不低于30元即可算出x的值，进而求解本题.
23．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标为，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：当F点与O点重合时，，
∵D点是的中点，
∴E点是的中点，
∴.
当F点与C点重合时，，
此时，
在中，，
∴，
解得，
∴.
综上所述：的长为2或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
24．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，.
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：
由（）得：△CDE是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠FAD=90°，
∴，
又∵，
∴，
设，∴AE=2a，
∴，
∴，
∴；
过点D作于，过作于，如图：
∴∠ANE=∠ANG=∠DMG=∠DMF=90°，
∴∠NAG+∠NGA=90°=∠MGD+∠MDG，
∵∠NGA=∠MGD，
∴∠NAG=∠MDG.
∵DG=GF，DM⊥GF，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∠NAG=∠DAF.
由②得：，，
∴∠BAE=∠EAN.
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△ADN中，，
∴，
由知，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（）由矩形的性质得，，，由角平分线的定义得出，则是等腰直角三角形，于是可得CD=CE，继而可得BE的长，再由勾股定理，即可得出AE的长；
（）连接，利用证得，可得，，证明∠AEF=90°，可得是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）根据①的结论和角的和差关系可求得，设，利用含30°角的直角三角形的性质可求出AB和EC的长，进而得到，进而得解；
（2）过点D作于，过作于，可证得∠NAG=∠MDG.利用等腰三角形“三线合一”的性质可得.再利用矩形角的性质可证得∠NAG=∠DAF.根据②的结论和∠DMF=45°可证得∠BAE=∠EAN，于是可证明△ABE≌△ANE，得到AN=AB，根据等腰直角三角形的性质得，于是可依次表示出AB，CE，CF，DF的长，代入 ，即可得到结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：
由（）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由知，，
∵
∴，
∴，
∴，
过作于，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，，
∴．
1 / 1浙江省金华市浦江县第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·浦江期中）下列航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． 中国火箭 B． 中国探火
C． 航天神舟 D． 中国行星探测
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．
2．（2024八下·浦江期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A中，不是同类项，不能合并，错误；
B中， ，正确；
C中， ，错误；
D中， ，错误
故答案为：B
【分析】根据二次根式的运算法则依次判断各选项即可.
3．（2024八下·浦江期中）下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（　　）
A．y= B．y= C．y= D．xy=
【答案】A
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=是正比例函数，故A符合题意；
B、y=是反比例函数，故B不符合题意；
C、y=是反比例函数，故C不符合题意；
D、xy=是反比例函数，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】形如“y=k/x”（其中，k为常数且k≠0）的函数被称为“反比例函数”。其中“k”被称作反比例函数的“比例系数”，据此分析即可.
4．（2024八下·浦江期中）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据多边形的外角和定理和题意可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数.
5．（2024八下·浦江期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的反面即可.
6．（2024八下·浦江期中）一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-8x-1=0
∴x2-8x+42-42-1=0
∴（x-4）2-17=0
∴ （x-4）2=17
故答案为：C.
【分析】由配方法步骤解题即可。
7．（2024八下·浦江期中）若关于 x的一元二次方程 有实数根，则 a 应满足（　　）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义可知a≠0，根据一元二次方程有两个实数根可知∴b2-4ac≥0，由此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围.
8．（2024八下·浦江期中） 下列说法中正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】 A：有一个角是直角的平行四边形不一定是矩形，A错误，不合题意；
B：四边相等的四边形不一定是菱形，B错误，不合题意；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误，不合题意；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，D正确，符合题意。
故答案为D
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握其方法很重要。有一个直角的四边形不一定是矩形。有三个直角的四边形是矩形；有一个直角的平行四边形是矩形；有一组邻边垂直的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形。注意区别菱形和矩形的判定。
9．（2024八下·浦江期中）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（　　）．
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由矩形性质可知，，
∵、是与的中点，
∴是的中位线，
∴（cm），
同理，，
∴四边形的周长为20cm.
故答案为：B．
【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，即可求解.
10．（2024八下·浦江期中）如图，在平行四边形中，，E是的中点，于点F，则的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BA交BA的延长线与点G，如图所示：
∵FE⊥BA，
∴EF//DG，
∴.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD//BC，AD=BC=4，
∴∠GAD=∠B=60°.
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=2.
∵EF⊥AB，DG⊥AB，
∴△BEF和△GDA都是直角三角形.
在Rt△BEF中，∠B=60°，BE=2，
，
，
，AF=AB－BF=2.
在Rt△GDA中，∠GAD=60°，AD=4，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点D作DG⊥BA交BA的延长线与点G，根据“平行线之间的距离处处相等”可得.根据平行四边形的性质得，AD//BC，AD=BC=4；分别在△BEF和△GDA中利用含30°角的直角三角形的性质求出BF，AF和AD的长，即可利用三角形的面积公式计算△FED的面积．
11．（2024八下·浦江期中）已知反比例函数 ，当 时，，则该函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把，，代入得：，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法把，，代入中可得k的值，进而得到函数解析式．
12．（2024八下·浦江期中）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为S2甲=0.9，S2乙=1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是　 　（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S2甲=0.9，S2乙=1.1，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲.
故答案为：甲.
【分析】方差越小数据波动越小，队员身高更加整齐.
13．（2024八下·浦江期中）已知是方程的一个实数根，求的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一个实数根，
∴，即，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可．
14．（2024八下·浦江期中）如图，在中，，，是斜边上的中线，点N是边上一点，点D，E分别为的中点，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，是斜边上的中线，，
∴，
∵点D，E分别为CN，MN的中点，
∴．
故答案为：1
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CM的长，再利用三角形中位线定理，即可得到的值．
15．（2024八下·浦江期中）如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为　 　
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AD∥BC
∴，
∴垂直平分，
∴；
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的对边平行且平行得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠BCE，∠EAF=∠B，从而由AAS判断出△BCE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得AF=BC=AD，由二直线平行，拿出相等得∠DAC=∠ACB=90°，则可得AC垂直平分DF，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CD=CF，从而可得答案.
16．（2024八下·浦江期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C'处，P为折痕EF上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H．若，，则（1）　 　；（2）则　 　．
【答案】5；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∴，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；
（2）连接BP，过点E作于Q，如图所示：
由勾股定理可得，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5；．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，，由二直线平行，内错角相等，得，根据折叠的性质可得，，则，根据等角对等边可得，从而得出，进而根据线段和差求出AE；
（2）连接BP，过点E作于Q，利用勾股定理求出AB，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形ABQE为矩形，由矩形对边相等得出，然后由等面积法，根据建立方程，求解即可.
17．（2024八下·浦江期中）（1）
（2）
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）可以先去括号，再根据二次根式的加减混合运算法则进行计算；
（2）先计算完全平方公式与平方差公式，再合并同类二次根式即可．
18．（2024八下·浦江期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
∴，
即或，
解得，
（2）解：，
∴，
整理得，，
则，
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）整理得：，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：
∴，
即或，
解得，；
（2）解：，
∴，
整理得，，
则，
解得，
19．（2024八下·浦江期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根．
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______．
（2）应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵实数m，n满足，，且，
∴m，n是方程两个不相等的实数根．
∴，，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程两个根为，
则，．
故答案为：，.
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可；
（1）解：∵一元二次方程两个根为，
则，．
（2）解：∵实数m，n满足，，且，
∴m，n是方程两个不相等的实数根．
∴，，
∴；
20．（2024八下·浦江期中）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c
（1）以上成绩统计分析表中 ， ， ；
（2）求乙组的值；
（3）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生；
【答案】（1）6，7，7
（2）解：
（3）甲
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6，7，7；
（3）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
小明得了7分，在小组中属中游略偏上，只有甲组的中位数是6分小于7分，
故答案为：甲.
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据方差的计算方法即可得出答案；
（3）根据中位数的意义即可得出答案.
（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6，7，7；
（2）；
（3）小明可能是甲组的学生，理由如下：
小明得了7分，在小组中属中游略偏上，只有甲组的中位数是6分小于7分，
故答案为：甲.
21．（2024八下·浦江期中）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，当四边形是菱形时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
AB//CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF.
在△BAE和△DCF中，
∴△BAE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∴180°－∠AEB=180°－∠CFD，即∠BEF=∠DFE，
∴BE//DF，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接BD，交AC于点O，如图所示：
在中，AB=8，BF=6，
∴，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BD⊥EF，BE=BF=6.
，
，
，
．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线性质可得AB=CD，∠BAE=∠DCF.证明△BAE≌△DCF，可得BE=DF，∠AEB=∠CFD，继而可证明BE//DF，即可依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
（2）由勾股定理得，再根据菱形的对角线互相平分和面积公式计算出，再根据勾股定理解得，即可求解AE的长.
22．（2024八下·浦江期中）某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元．
（1）若设售价每篮降价x元，则每天可销售　 　篮．（用含x的代数式表示）
（2）该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本）
【答案】（1）
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵每篮售价不低于30元，，
∴，
∴，
∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设售价每篮降价x元，
则每天可销售：
故答案为：.
【分析】（1）根据题干：如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮，即可求解；
（2）根据题干和（1）列方程：，解出x，再根据每篮售价不低于30元即可算出x的值，进而求解本题.
23．（2024八下·浦江期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结．
（1）求对角线所在直线的函数表达式．
（2）如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标为，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：当F点与O点重合时，，
∵D点是的中点，
∴E点是的中点，
∴.
当F点与C点重合时，，
此时，
在中，，
∴，
解得，
∴.
综上所述：的长为2或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
24．（2024八下·浦江期中）如图，在矩形中，平分交于，连结，．
（1）如图，若，，求的长．
（2）如图，若点是边上的一点，若，连结交于点，
猜想的度数，并说明理由．
若，求的值．
若，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，.
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：
由（）得：△CDE是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠FAD=90°，
∴，
又∵，
∴，
设，∴AE=2a，
∴，
∴，
∴；
过点D作于，过作于，如图：
∴∠ANE=∠ANG=∠DMG=∠DMF=90°，
∴∠NAG+∠NGA=90°=∠MGD+∠MDG，
∵∠NGA=∠MGD，
∴∠NAG=∠MDG.
∵DG=GF，DM⊥GF，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴∠NAG=∠DAF.
由②得：，，
∴∠BAE=∠EAN.
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△ADN中，，
∴，
由知，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（）由矩形的性质得，，，由角平分线的定义得出，则是等腰直角三角形，于是可得CD=CE，继而可得BE的长，再由勾股定理，即可得出AE的长；
（）连接，利用证得，可得，，证明∠AEF=90°，可得是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）根据①的结论和角的和差关系可求得，设，利用含30°角的直角三角形的性质可求出AB和EC的长，进而得到，进而得解；
（2）过点D作于，过作于，可证得∠NAG=∠MDG.利用等腰三角形“三线合一”的性质可得.再利用矩形角的性质可证得∠NAG=∠DAF.根据②的结论和∠DMF=45°可证得∠BAE=∠EAN，于是可证明△ABE≌△ANE，得到AN=AB，根据等腰直角三角形的性质得，于是可依次表示出AB，CE，CF，DF的长，代入 ，即可得到结论．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：
由（）得：，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由知，，
∵
∴，
∴，
∴，
过作于，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，，
∴．
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