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浙江省杭州市西湖区西溪中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·西湖期中）用科学记数法方法表示0.0000201得（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·西湖期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．=y+5x B．3x+1=2xy C．x=y2+1 D．x+y=1
3．（2024七下·西湖期中） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·西湖期中）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·西湖期中）如图，，交于点F，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·西湖期中） 如果，那么的值分别是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·西湖期中）若，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·西湖期中）已知方程组 的解满足 ，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·西湖期中）已知，则（　　）
A．7 B．12 C．24 D．48
10．（2024七下·西湖期中）若的结果中不含和项，则的值为（　　）
A．11 B．5 C． D．
11．（2024七下·西湖期中）计算： 　 　
12．（2024七下·西湖期中）如图，将沿方向平移之后得到，若，则　 　．
13．（2024七下·西湖期中）已知方程，用含的代数式表示，则　 　 ．
14．（2024七下·西湖期中）已知，则“★”所表示的式子是　 　．
15．（2024七下·西湖期中）将一个长方形纸带按如图所示的方式折叠，若，则　 　．
16．（2024七下·西湖期中）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　．
17．（2024七下·西湖期中）解方程（组）：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·西湖期中）计算：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·西湖期中）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN
20．（2024七下·西湖期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（2024七下·西湖期中）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
22．（2024七下·西湖期中）有一个专项加工茶杯车间，一个工人每小时平均可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个，车间共有90人，应怎样分配人力，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？
23．（2024七下·西湖期中）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影正方形的面积；
（2）观察图2中阴影部分面积，直接写出，，之间的等量关系；
（3）根据（1）中的等量关系，已知，，求的值．
24．（2024七下·西湖期中）如图①，直线MN与直线AB．CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且，求证：；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使得，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.0000201=2.01×10 5，
故答案为：D.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A. =y+5x不是二元一次方程，因为不是整式方程；
B. 3x+1=2xy不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2；
C. x=y2+1不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2；
D. x+y=1是二元一次方程。
故选：D.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方即可秋促答案.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠1=∠3=50°，然后根据学具的性质及平角的定义可求出∠2的度数.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据二直线平行，同位角相等求出得度数，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得的度数．
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式运算法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，计算后对比即可解答.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
则，
，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式：将等式的左边展开，然后与右边比较得出a2=9及2m=2a，从而求解即可.
8．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：
②-①，得：x-y=1-k，
∵x-y=3，
∴1-k=3，
解得：k=-2，
故答案为：B．
【分析】将方程组中两方程相减可得x-y=1-k，根据x-y=3可得关于k的方程，解之可得．
9．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
.
故答案为：D．
【分析】先利用同底数幂的乘法将待求式子变形为9m×9n，再根据有理数乘方运算法则逆用将9m变形为(32)m，接着利用幂的乘方法则的逆用将(32)m变形为(3m)2，最后整体代入计算可得答案.
10．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵
．
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
∴．
故答案为：B．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”，把式子展开后合并同类项，令x2与x3项的系数分别为0，列式求解即可．
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(a+3)2
=a2+6a+9，
故答案为：a2+6a+9.
【分析】完全平方式的展开式是一个三项式，首平方、尾平方、积的2倍放中央。
12．【答案】7
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
，
．
故答案为：7．
【分析】平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等；据此可得CF=BE=2cm，然后利用线段的和差，由EF=EC+CF，列式计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【分析】将不含y的项都移动方程的右边，然后方程两边同时除以未知数项的系数“2”，将y的系数化为1即可.
14．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：.
【分析】此题已知被除数与商，求除数，根据除数等于被除数除以商，列出式子，再根据单项式除以单项式的法则“单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：依题意补全图形，如图，
由题意知，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据折叠可得，利用二直线平行，同位角相等得到，由邻补角得，从而代入求解即可．
16．【答案】79
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
，
解得：，
则.
故答案为：79.
【分析】根据题意设小长方形的长为x，宽为y，观察图形发现：小长方形的长与小长方形宽3倍的和=大长方形的长，9与小长方形宽的3倍的和等于小长方形的长与宽的2倍的和，据此列出方程组，求解得出x、y的值，从而可得大长方形的宽，进而再根据S阴影=大长方形面积-9个小长方形面积，列式计算即可.
17．【答案】（1）解：
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
故原方程组的解为；
（2）解：
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中①方程已经是用含y的式子表示了x，故利用代入消元法求解较为简单；首先将①方程代入②方程消去x求出y的值，再将y的值代入①方程可求出x的值，从而即可得出方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数x的系数呈倍数关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程②-①×2消去x求出y的值，再将y的值代入①方程可求出x的值，从而即可得出方程组的解.
（1）将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
故原方程组的解为；
（2）得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
18．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）分别根据绝对值的性质，零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”，算术平方根的定义及去括号法则化简，再进行有理数的加减法运算即可得出答案；
（2）先根据积的乘方运算法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则“单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”计算即可．
（1）解：
．
（2）
．
19．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，
∵∠1=∠2，
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2，即∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠EAB=∠ECD，根据等量减去等量差相等得∠EAM=∠ECN，然后根据同位角相等两直线平行即可证明.
20．【答案】解：
原式
当，时，
原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则将多项式展开，合并同类项化简，然后代入x、y的值解题．
21．【答案】（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠DFB=∠A，则∠DFB=∠FDE，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）设∠EDC=x°，由题意可得∠BFD=∠BDF=2x°，再根据角之间的关系建立方程，解方程可得x=36，再根据直线平行性质即可求出答案.
22．【答案】解：设加工杯身的人数为x人，加工杯盖的人数为（90-x）人，由题意得：
解得：
∴
答：加工杯身的人数为50人，加工杯盖的人数为40人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】设加工杯身的人数为x人，加工杯盖的人数为（90-x）人，则可加工杯身12x个，加工杯盖15(90-x)个，由于一个杯身与一个杯盖配套，故加工的杯身的个数＝加工的杯盖的个数，据此列出方程求解即可．
23．【答案】（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形面积减去四个矩形面积：；
（2）解：同题意得：
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（2）解：由（1）得：．
【分析】（1）方法一：由图可得阴影正方形的边长为(a-b)，根据正方形的面积等于变成的平方直接求解；方法二：由正方形及矩形的面积计算公式，根据阴影正方形的面积等于大正形面积减去四个矩形面积，列式计算即可；
（2）利用（1）中的结果，根据等面积法可直接得出结论；
（3）利用（2）中的式子代入即可得到答案．
（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形减去四个矩形：．
（2）解：由（1）得：．
（3）解：∵，，
由（2）得：．
24．【答案】（1）解：ABCD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1+∠BEF=180°
∴∠2=∠BEF
∴AB∥CD；
（2）证明：由（1）知
∴
∵EP平分∠BEF
∴
FP平分∠EFD
∴
∴
∴
∴∠EPF=180°-（∠EFP+∠FEP）=90°，
∴
又
∴；
（3）解：∵
∴
∵PF∥HG，
∴∠FPH=∠PHK，
∴
设，
∵PQ平分∠EPK
∴
又
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用邻补角及题干给出的信息，由同角的补角相等可推出∠2=∠BEF，然后根据同位角相等，两直线平行推出ABCD；
（2）由二直线平行，同旁内角互补得∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质可推出∠EFP+∠FEP=90°，由三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，结合已知条件GH⊥EG，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可证PFGH；
（3）由三角形外角性质及已知可推出，由二直线平行，内错角相等得∠FPH=∠PHK，则，
设，，由角平分线的定义及角的构成可得，由垂直的定义得，则，最后根据角的构成，由即可算出答案.
（1）ABCD，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知
∴
EP又平分∠BEF
∴
FP平分∠EFD
∴
∴
∴
∴
又
∴；
（3）∵PQ平分∠EPK
∴
又
∴
又
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
1 / 1浙江省杭州市西湖区西溪中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·西湖期中）用科学记数法方法表示0.0000201得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.0000201=2.01×10 5，
故答案为：D.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
2．（2024七下·西湖期中）下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．=y+5x B．3x+1=2xy C．x=y2+1 D．x+y=1
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A. =y+5x不是二元一次方程，因为不是整式方程；
B. 3x+1=2xy不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2；
C. x=y2+1不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2；
D. x+y=1是二元一次方程。
故选：D.
3．（2024七下·西湖期中） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘除法和幂的乘方即可秋促答案.
4．（2024七下·西湖期中）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠1=∠3=50°，然后根据学具的性质及平角的定义可求出∠2的度数.
5．（2024七下·西湖期中）如图，，交于点F，连接，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据二直线平行，同位角相等求出得度数，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得的度数．
6．（2024七下·西湖期中） 如果，那么的值分别是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式运算法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，计算后对比即可解答.
7．（2024七下·西湖期中）若，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
则，
，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式：将等式的左边展开，然后与右边比较得出a2=9及2m=2a，从而求解即可.
8．（2024七下·西湖期中）已知方程组 的解满足 ，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：
②-①，得：x-y=1-k，
∵x-y=3，
∴1-k=3，
解得：k=-2，
故答案为：B．
【分析】将方程组中两方程相减可得x-y=1-k，根据x-y=3可得关于k的方程，解之可得．
9．（2024七下·西湖期中）已知，则（　　）
A．7 B．12 C．24 D．48
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
.
故答案为：D．
【分析】先利用同底数幂的乘法将待求式子变形为9m×9n，再根据有理数乘方运算法则逆用将9m变形为(32)m，接着利用幂的乘方法则的逆用将(32)m变形为(3m)2，最后整体代入计算可得答案.
10．（2024七下·西湖期中）若的结果中不含和项，则的值为（　　）
A．11 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵
．
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
∴．
故答案为：B．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”，把式子展开后合并同类项，令x2与x3项的系数分别为0，列式求解即可．
11．（2024七下·西湖期中）计算： 　 　
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(a+3)2
=a2+6a+9，
故答案为：a2+6a+9.
【分析】完全平方式的展开式是一个三项式，首平方、尾平方、积的2倍放中央。
12．（2024七下·西湖期中）如图，将沿方向平移之后得到，若，则　 　．
【答案】7
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
，
．
故答案为：7．
【分析】平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等；据此可得CF=BE=2cm，然后利用线段的和差，由EF=EC+CF，列式计算可得答案.
13．（2024七下·西湖期中）已知方程，用含的代数式表示，则　 　 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【分析】将不含y的项都移动方程的右边，然后方程两边同时除以未知数项的系数“2”，将y的系数化为1即可.
14．（2024七下·西湖期中）已知，则“★”所表示的式子是　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：.
【分析】此题已知被除数与商，求除数，根据除数等于被除数除以商，列出式子，再根据单项式除以单项式的法则“单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可.
15．（2024七下·西湖期中）将一个长方形纸带按如图所示的方式折叠，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：依题意补全图形，如图，
由题意知，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据折叠可得，利用二直线平行，同位角相等得到，由邻补角得，从而代入求解即可．
16．（2024七下·西湖期中）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】79
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
，
解得：，
则.
故答案为：79.
【分析】根据题意设小长方形的长为x，宽为y，观察图形发现：小长方形的长与小长方形宽3倍的和=大长方形的长，9与小长方形宽的3倍的和等于小长方形的长与宽的2倍的和，据此列出方程组，求解得出x、y的值，从而可得大长方形的宽，进而再根据S阴影=大长方形面积-9个小长方形面积，列式计算即可.
17．（2024七下·西湖期中）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
故原方程组的解为；
（2）解：
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中①方程已经是用含y的式子表示了x，故利用代入消元法求解较为简单；首先将①方程代入②方程消去x求出y的值，再将y的值代入①方程可求出x的值，从而即可得出方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数x的系数呈倍数关系，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程②-①×2消去x求出y的值，再将y的值代入①方程可求出x的值，从而即可得出方程组的解.
（1）将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
故原方程组的解为；
（2）得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
18．（2024七下·西湖期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）分别根据绝对值的性质，零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”，算术平方根的定义及去括号法则化简，再进行有理数的加减法运算即可得出答案；
（2）先根据积的乘方运算法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则“单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”计算即可．
（1）解：
．
（2）
．
19．（2024七下·西湖期中）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AM∥CN
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，
∵∠1=∠2，
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2，即∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠EAB=∠ECD，根据等量减去等量差相等得∠EAM=∠ECN，然后根据同位角相等两直线平行即可证明.
20．（2024七下·西湖期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
原式
当，时，
原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则将多项式展开，合并同类项化简，然后代入x、y的值解题．
21．（2024七下·西湖期中）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠DFB=∠A，则∠DFB=∠FDE，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）设∠EDC=x°，由题意可得∠BFD=∠BDF=2x°，再根据角之间的关系建立方程，解方程可得x=36，再根据直线平行性质即可求出答案.
22．（2024七下·西湖期中）有一个专项加工茶杯车间，一个工人每小时平均可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个，车间共有90人，应怎样分配人力，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？
【答案】解：设加工杯身的人数为x人，加工杯盖的人数为（90-x）人，由题意得：
解得：
∴
答：加工杯身的人数为50人，加工杯盖的人数为40人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】设加工杯身的人数为x人，加工杯盖的人数为（90-x）人，则可加工杯身12x个，加工杯盖15(90-x)个，由于一个杯身与一个杯盖配套，故加工的杯身的个数＝加工的杯盖的个数，据此列出方程求解即可．
23．（2024七下·西湖期中）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影正方形的面积；
（2）观察图2中阴影部分面积，直接写出，，之间的等量关系；
（3）根据（1）中的等量关系，已知，，求的值．
【答案】（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形面积减去四个矩形面积：；
（2）解：同题意得：
（3）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（2）解：由（1）得：．
【分析】（1）方法一：由图可得阴影正方形的边长为(a-b)，根据正方形的面积等于变成的平方直接求解；方法二：由正方形及矩形的面积计算公式，根据阴影正方形的面积等于大正形面积减去四个矩形面积，列式计算即可；
（2）利用（1）中的结果，根据等面积法可直接得出结论；
（3）利用（2）中的式子代入即可得到答案．
（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形减去四个矩形：．
（2）解：由（1）得：．
（3）解：∵，，
由（2）得：．
24．（2024七下·西湖期中）如图①，直线MN与直线AB．CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且，求证：；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使得，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
【答案】（1）解：ABCD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1+∠BEF=180°
∴∠2=∠BEF
∴AB∥CD；
（2）证明：由（1）知
∴
∵EP平分∠BEF
∴
FP平分∠EFD
∴
∴
∴
∴∠EPF=180°-（∠EFP+∠FEP）=90°，
∴
又
∴；
（3）解：∵
∴
∵PF∥HG，
∴∠FPH=∠PHK，
∴
设，
∵PQ平分∠EPK
∴
又
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用邻补角及题干给出的信息，由同角的补角相等可推出∠2=∠BEF，然后根据同位角相等，两直线平行推出ABCD；
（2）由二直线平行，同旁内角互补得∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质可推出∠EFP+∠FEP=90°，由三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，结合已知条件GH⊥EG，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可证PFGH；
（3）由三角形外角性质及已知可推出，由二直线平行，内错角相等得∠FPH=∠PHK，则，
设，，由角平分线的定义及角的构成可得，由垂直的定义得，则，最后根据角的构成，由即可算出答案.
（1）ABCD，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知
∴
EP又平分∠BEF
∴
FP平分∠EFD
∴
∴
∴
∴
又
∴；
（3）∵PQ平分∠EPK
∴
又
∴
又
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
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