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四川省自贡市第一中学校2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
1．（2024八上·自贡期末）已知一根头发的直径约为，数值0.0000007用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·自贡期末）下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024八上·自贡期末）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·自贡期末）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024八上·自贡期末）如图，中，于点D，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·自贡期末）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·自贡期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·自贡期末）如图，在ABC中，，，，延长AB至点D，使得，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（　　）
①；②；③；④S四边形AGFB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024八上·自贡期末）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（2024八上·自贡期末）计算：＝　 　．
11．（2024八上·自贡期末）如图，在中，AE是的角平分线，D是AE延长线上一点，于点H．若，，则　 　．
12．（2024八上·自贡期末）若当时，代数式的值为，则的值为　 　．
13．（2024八上·自贡期末）如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是　 　．
14．（2024八上·自贡期末）如图，在矩形中，，点是边上的动点，，求的最小值为　 　．
15．（2024八上·自贡期末）计算：．
16．（2024八上·自贡期末）解方程：.
17．（2024八上·自贡期末）如图，在中，，点D，E在边BC上，．
求证：．
18．（2024八上·自贡期末）计算：
19．（2024八上·自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题：
（1）写出A，B，C的坐标；
（2）画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；
（3）求的面积；
（4）在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）．
20．（2024八上·自贡期末）如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？
21．（2024八上·自贡期末）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，学校计划分阶段引导学生读这些书，计划先购买《论语》和《孟子》供学生使用，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.
（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少？
（2）学校准备一次性购买这两种书本，但总费用不超过元，那么这所学校最多购买多少本《论语》？
22．（2024八上·自贡期末）如图，点E在边上，，，．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
23．（2024八上·自贡期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
24．（2024八上·自贡期末）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点．
（1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；
（3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：D.
【分析】科学记数法表示较小数的一般形式为，其中，n为正整数， n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零） .
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个图案是轴对称图形；
第二个图案不是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图案是轴对称图形；
第四个图案不是轴对称图形；
综上所述，是轴对称图形的有2个．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形的两边长分别为和，
∴第三边长，
即第三边长，
∵，
∴三角形的周长，
A、13不在范围内，不符合题意；
B、14不在范围内，不符合题意；
C、15在范围内，符合题意；
D、20不在范围内，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据三角形三条边的关系定理"三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边"可得第三边的范围，然后结合各选项即可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∵，，为自然数，
∴当c=0时，a=6，a+b+c=7，
当c=1时，a=4，a+b+c=6，
当c=2时，a=2，a+b+c=5，
当c=3时，a=0，a+b+c=4，
∴的取值不可能是8，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，求出，，再根据a、c的值情况讨论a+b+c的值即可.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：.
，∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACD=40°，
，
，
，
∵=180°，
∴∠ACB=（180°-∠A）=65°，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠A ，再根据等腰三角形的性质得到=65°，最后利用角的运算求出的度数.
6．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，是整式的乘法，A不符合题意；
B、不是整式乘积的形式，不是因式分解，B不符合题意；
C、不是整式乘积的形式，不是因式分解，C不符合题意；
D、是整式乘积的形式，是因式分解，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的外角性质；多边形内角与外角；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故答案为：C．
【分析】连接，，，，根据正五边形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质可得，则，当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，同理可求，则，即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴∠DAE＝∠CAE，CD=2DE，
∵△ABF≌△CBD，
∴∠BCD=∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，故①正确；
∵△ABF≌△CBD，
∴BD＝BF，FA=CD=2DE，
∴FA=CD＝2DE，故②正确；
∵CB＝BF+CF，BF＝BD，AB=BC，
∴AB＝CB=BD+CF，故③正确；
∵BG∥DF，
∴△BGF与△BGD同底等高，
∴S△GBF＝S△GBD，
∵S△ADG=S△ABG+S△BDG，S四边形AGFB=S△ABG+S△BGF，
∴S△AGD＝S四边形AGFB，故④正确，
综上，正确的有4个.
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得∠DAE＝∠CAE，CD=2DE，由全等三角形的对应角相等得∠BCD=∠DAE，由等量代换得∠BCD＝∠CAE，据此可判断①；由全等三角形的对应边相等得BD＝BF，FA=CD=2DE，据此可判断②；由线段和差及等量代换可判断③；由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△GBF＝S△GBD，据此结合图形可判断④.
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：x≠2020.
【分析】要使分式有意义则分母不为0，即求解即可.
10．【答案】2x
【知识点】约分
【解析】【解答】解：2x2y与xy的公因式是xy，
因此：＝＝2x．
故答案为：2x.
【分析】直接运用分式的性质化简即可．
11．【答案】10°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=50°，
∴∠HED=∠B+∠BAE=80°，∵DH⊥BC，
∴∠DHE=90°，
∴∠EDH=90°-∠HED=10°.
故答案为：10°．
【分析】在△ABC中，首先根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠HED的度数，最后由垂直的定义及直角三角形两锐角互余可算出∠EDH的度数.
12．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：当时，代数式的值为5，
即，
∴，
∴2a+2b=6，
∴
故答案为：．
【分析】根据已知，将代入代数式求得，再整体代入计算即可.
13．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AE并延长，如图所示：
∵，，
∴∠5+∠7=140°，
∵∠6=∠7，
∴∠5+∠6=140°，
∵∠BOD+∠5+∠6=180°，
∴∠BOD=180°-（∠5+∠6）=40°，
故答案为：40°.
【分析】连接AE并延长，构造四边形AEFG和△AOE，再根据多边形的外角和定理、对顶角相等，和三角形的内角和定理，即可得出∠BOD度数.
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理
15．【答案】解：
，
，
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可.
16．【答案】解：，
，
解得 ，
经检验：为增根，
∴方程的根为.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】将方程去分母得到，即，因式分解求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解.
17．【答案】证明：
在和中，
，
∴（AAS），
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先由等边对等角得∠ADE=∠AED，然后通过AAS证明△ABE≌△ACD，再根据全等三角形对应边相等得BE=CD.
18．【答案】解：
.
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】先计算积的乘方，先根据单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得出答案.
19．【答案】（1）解：根据平面直角坐标系可知：.
（2）解：根据图形关于y轴对称的特点，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，再依次连接，如图所示：
△A1B1C1即为所求.
（3）解：根据题意可知，△ABC的面积等于三角形顶点所在的正方形面积减去三个小直角三角形的面积，
∴S△ABC=32-=3.5，
答：△ABC的面积是3.5.
（4）解：如图所示，
作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，交X轴于点P，点P即为所求，点P的坐标为（3，0）.
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系，直接写出各点的坐标即可．
（2）根据两个点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，先画出各点的对应点再依次连接即可；
（3）利用直角坐标系，根据分割法计算三角形的面积计算即可．
（4）根据两点之间线段最短，作点B关于轴的对称点B'，使A、B'、P三点在同一条直线上即可.
（1）解：根据题意，得．
（2）解：根据题意，得．
故，画图如下：
则即为所求．
（3）解：根据题意，得的面积为：
．
（4）解：如图2，作点A关于轴的对称点，
连接，交轴于点P，
则点P即为所求，此时点P的坐标为．
20．【答案】（1）解：，
，
，
，
（海里），
答：从海岛到灯塔的距离为60海里．
（2）解：作，垂足为H，
，
，
，
，
（），
（），
答：11时，船距离灯塔C最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角
【解析】【分析】（1）首先根据路程=速度×时间算出AB的长，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠A=∠C=30°，由等角对等边可得BC=AB，从而得出答案；
（2）作CH⊥AB于点H，由直角三角形的两锐角互余求出∠BCH=90°，根据含30°角直角三角形的性质得出BH=BC=30，再根据速度、时间及路程的关系即可求解.
21．【答案】解：（1）设《孟子》的单价为元/本，则《论语》单价为元/本，
根据题意，得，解得，
经检验为原方程的根，.
答：《孟子》的单价为25元/本，《论语》单价为40元/本.
（2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本.
根据题意，得，
解得.
答：这所学校最多购买12本《论语》.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设《孟子》的单价为x元/本，则《论语》单价为y元/本，根据题中的两个相等关系{}“《孟子》的单价=《论语》的单价－15元，用500元购买《孟子》的数量=用800元购买《论语》的数量”可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买《论语》本，据题中的不等关系“总费用不超过805元”列出关于a的不等式，求出不等式的解集后，再取解集中的最大整数即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，，
∴，
∴．
∴．
答：∠BCD的度数为105°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得．结合已知，用角角边可证；
（2）由（1）中的全等三角形可得，，由三角形内角和定理可得，然后根据角的构成计算即可求解．
23．【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；
解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；猜想与证明
【解析】【解答】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，
故答案诶：；
说理验证：由题意得，
故答案为：，，，；
【分析】观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，结合小长方形的面积公式计算即可求解；
说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可；
（1）仿照题意分解因式即可求解；
（2）把看作一个整体，仿照题意分解因式即可求解．
24．【答案】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的点到角的两边的距离相等可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明，可得，即可求解；
（3）先等量代换得到，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应边相等得出，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解．
（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
1 / 1四川省自贡市第一中学校2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
1．（2024八上·自贡期末）已知一根头发的直径约为，数值0.0000007用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：D.
【分析】科学记数法表示较小数的一般形式为，其中，n为正整数， n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零） .
2．（2024八上·自贡期末）下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个图案是轴对称图形；
第二个图案不是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图案是轴对称图形；
第四个图案不是轴对称图形；
综上所述，是轴对称图形的有2个．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．（2024八上·自贡期末）一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形的两边长分别为和，
∴第三边长，
即第三边长，
∵，
∴三角形的周长，
A、13不在范围内，不符合题意；
B、14不在范围内，不符合题意；
C、15在范围内，符合题意；
D、20不在范围内，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据三角形三条边的关系定理"三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边"可得第三边的范围，然后结合各选项即可判断求解．
4．（2024八上·自贡期末）已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∵，，为自然数，
∴当c=0时，a=6，a+b+c=7，
当c=1时，a=4，a+b+c=6，
当c=2时，a=2，a+b+c=5，
当c=3时，a=0，a+b+c=4，
∴的取值不可能是8，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，求出，，再根据a、c的值情况讨论a+b+c的值即可.
5．（2024八上·自贡期末）如图，中，于点D，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：.
，∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACD=40°，
，
，
，
∵=180°，
∴∠ACB=（180°-∠A）=65°，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠A ，再根据等腰三角形的性质得到=65°，最后利用角的运算求出的度数.
6．（2024八上·自贡期末）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，是整式的乘法，A不符合题意；
B、不是整式乘积的形式，不是因式分解，B不符合题意；
C、不是整式乘积的形式，不是因式分解，C不符合题意；
D、是整式乘积的形式，是因式分解，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一进行判断即可.
7．（2024八上·自贡期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的外角性质；多边形内角与外角；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故答案为：C．
【分析】连接，，，，根据正五边形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质可得，则，当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，同理可求，则，即可求出答案.
8．（2024八上·自贡期末）如图，在ABC中，，，，延长AB至点D，使得，连接CD，ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（　　）
①；②；③；④S四边形AGFB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴∠DAE＝∠CAE，CD=2DE，
∵△ABF≌△CBD，
∴∠BCD=∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，故①正确；
∵△ABF≌△CBD，
∴BD＝BF，FA=CD=2DE，
∴FA=CD＝2DE，故②正确；
∵CB＝BF+CF，BF＝BD，AB=BC，
∴AB＝CB=BD+CF，故③正确；
∵BG∥DF，
∴△BGF与△BGD同底等高，
∴S△GBF＝S△GBD，
∵S△ADG=S△ABG+S△BDG，S四边形AGFB=S△ABG+S△BGF，
∴S△AGD＝S四边形AGFB，故④正确，
综上，正确的有4个.
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得∠DAE＝∠CAE，CD=2DE，由全等三角形的对应角相等得∠BCD=∠DAE，由等量代换得∠BCD＝∠CAE，据此可判断①；由全等三角形的对应边相等得BD＝BF，FA=CD=2DE，据此可判断②；由线段和差及等量代换可判断③；由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△GBF＝S△GBD，据此结合图形可判断④.
9．（2024八上·自贡期末）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：x≠2020.
【分析】要使分式有意义则分母不为0，即求解即可.
10．（2024八上·自贡期末）计算：＝　 　．
【答案】2x
【知识点】约分
【解析】【解答】解：2x2y与xy的公因式是xy，
因此：＝＝2x．
故答案为：2x.
【分析】直接运用分式的性质化简即可．
11．（2024八上·自贡期末）如图，在中，AE是的角平分线，D是AE延长线上一点，于点H．若，，则　 　．
【答案】10°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：△ABC中，∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=50°，
∴∠HED=∠B+∠BAE=80°，∵DH⊥BC，
∴∠DHE=90°，
∴∠EDH=90°-∠HED=10°.
故答案为：10°．
【分析】在△ABC中，首先根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠HED的度数，最后由垂直的定义及直角三角形两锐角互余可算出∠EDH的度数.
12．（2024八上·自贡期末）若当时，代数式的值为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：当时，代数式的值为5，
即，
∴，
∴2a+2b=6，
∴
故答案为：．
【分析】根据已知，将代入代数式求得，再整体代入计算即可.
13．（2024八上·自贡期末）如图，在七边形中，，的延长线交于点O，外角的和等于，则的度数是　 　．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AE并延长，如图所示：
∵，，
∴∠5+∠7=140°，
∵∠6=∠7，
∴∠5+∠6=140°，
∵∠BOD+∠5+∠6=180°，
∴∠BOD=180°-（∠5+∠6）=40°，
故答案为：40°.
【分析】连接AE并延长，构造四边形AEFG和△AOE，再根据多边形的外角和定理、对顶角相等，和三角形的内角和定理，即可得出∠BOD度数.
14．（2024八上·自贡期末）如图，在矩形中，，点是边上的动点，，求的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理
15．（2024八上·自贡期末）计算：．
【答案】解：
，
，
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可.
16．（2024八上·自贡期末）解方程：.
【答案】解：，
，
解得 ，
经检验：为增根，
∴方程的根为.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】将方程去分母得到，即，因式分解求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解.
17．（2024八上·自贡期末）如图，在中，，点D，E在边BC上，．
求证：．
【答案】证明：
在和中，
，
∴（AAS），
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先由等边对等角得∠ADE=∠AED，然后通过AAS证明△ABE≌△ACD，再根据全等三角形对应边相等得BE=CD.
18．（2024八上·自贡期末）计算：
【答案】解：
.
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】先计算积的乘方，先根据单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得出答案.
19．（2024八上·自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题：
（1）写出A，B，C的坐标；
（2）画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；
（3）求的面积；
（4）在x轴上找一点P，使最小（画出点P即可，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：根据平面直角坐标系可知：.
（2）解：根据图形关于y轴对称的特点，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，再依次连接，如图所示：
△A1B1C1即为所求.
（3）解：根据题意可知，△ABC的面积等于三角形顶点所在的正方形面积减去三个小直角三角形的面积，
∴S△ABC=32-=3.5，
答：△ABC的面积是3.5.
（4）解：如图所示，
作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，交X轴于点P，点P即为所求，点P的坐标为（3，0）.
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系，直接写出各点的坐标即可．
（2）根据两个点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，先画出各点的对应点再依次连接即可；
（3）利用直角坐标系，根据分割法计算三角形的面积计算即可．
（4）根据两点之间线段最短，作点B关于轴的对称点B'，使A、B'、P三点在同一条直线上即可.
（1）解：根据题意，得．
（2）解：根据题意，得．
故，画图如下：
则即为所求．
（3）解：根据题意，得的面积为：
．
（4）解：如图2，作点A关于轴的对称点，
连接，交轴于点P，
则点P即为所求，此时点P的坐标为．
20．（2024八上·自贡期末）如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？
【答案】（1）解：，
，
，
，
（海里），
答：从海岛到灯塔的距离为60海里．
（2）解：作，垂足为H，
，
，
，
，
（），
（），
答：11时，船距离灯塔C最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角
【解析】【分析】（1）首先根据路程=速度×时间算出AB的长，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠A=∠C=30°，由等角对等边可得BC=AB，从而得出答案；
（2）作CH⊥AB于点H，由直角三角形的两锐角互余求出∠BCH=90°，根据含30°角直角三角形的性质得出BH=BC=30，再根据速度、时间及路程的关系即可求解.
21．（2024八上·自贡期末）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙，学校计划分阶段引导学生读这些书，计划先购买《论语》和《孟子》供学生使用，已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.
（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少？
（2）学校准备一次性购买这两种书本，但总费用不超过元，那么这所学校最多购买多少本《论语》？
【答案】解：（1）设《孟子》的单价为元/本，则《论语》单价为元/本，
根据题意，得，解得，
经检验为原方程的根，.
答：《孟子》的单价为25元/本，《论语》单价为40元/本.
（2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本.
根据题意，得，
解得.
答：这所学校最多购买12本《论语》.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设《孟子》的单价为x元/本，则《论语》单价为y元/本，根据题中的两个相等关系{}“《孟子》的单价=《论语》的单价－15元，用500元购买《孟子》的数量=用800元购买《论语》的数量”可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买《论语》本，据题中的不等关系“总费用不超过805元”列出关于a的不等式，求出不等式的解集后，再取解集中的最大整数即可求解.
22．（2024八上·自贡期末）如图，点E在边上，，，．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，，
∴，
∴．
∴．
答：∠BCD的度数为105°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得．结合已知，用角角边可证；
（2）由（1）中的全等三角形可得，，由三角形内角和定理可得，然后根据角的构成计算即可求解．
23．（2024八上·自贡期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；
解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；猜想与证明
【解析】【解答】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，
故答案诶：；
说理验证：由题意得，
故答案为：，，，；
【分析】观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，结合小长方形的面积公式计算即可求解；
说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可；
（1）仿照题意分解因式即可求解；
（2）把看作一个整体，仿照题意分解因式即可求解．
24．（2024八上·自贡期末）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点．
（1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；
（3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的点到角的两边的距离相等可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明，可得，即可求解；
（3）先等量代换得到，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应边相等得出，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解．
（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
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