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浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·西湖期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·西湖期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
3．（2024八下·西湖期中）下列式子，一定是二次根式的共有（　　）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（2024八下·西湖期中）抗击新冠肺炎疫情，让世界再次见证了“中国速度”.1月23日，某医院抢建现场有1400名工人.到1月25日，现场工人数达到5000人，假设从1月23日到25日，工人人数日平均增长率为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·西湖期中）五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·西湖期中）用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024八下·西湖期中）甲、乙两名射击运动员分别进行了相同次数的射击训练，如果将甲、乙两人射击环数的平均数分别记作和，方差分别记作和，那么下列描述能说明甲运动员成绩较好且更稳定的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．（2024八下·西湖期中）下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·西湖期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·西湖期中）如图，在中，是对角线上一点，连接.若，的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·西湖期中） 二次根式 中字母 的取值范围是　 　
12．（2024八下·西湖期中）若一个多边形的每个外角都是，则它是　 　边形．
13．（2024八下·西湖期中）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　 　.
14．（2024八下·西湖期中）已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是　 　．
15．（2024八下·西湖期中）已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝　 　．
16．（2024八下·西湖期中）如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为　 　
17．（2024八下·西湖期中）计算：
（1）；
（2）
18．（2024八下·西湖期中）解下列关于x的方程．
（1）x2－5x＋1＝0；
（2）（2x＋1）2－25＝0．
19．（2024八下·西湖期中）某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税）
20．（2024八下·西湖期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，第四个顶点的坐标可以是什么？在平面直角坐标系中标出点并写出坐标（不需要写过程），并画出相应的平行四边形．
21．（2024八下·西湖期中）如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，DP，BP．
（1）求证： △ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
22．（2024八下·西湖期中）双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是　 　分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是　 　分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
23．（2024八下·西湖期中）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
24．（2024八下·西湖期中）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、此选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设这个三角形中每一个内角都小于.
故答案为：A．
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：，是二次根式，共2个，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的定义逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得：1400（1+x）2=5000.
故答案为：D.
【分析】 假设从1月23日到25日，工人人数日平均增长率为， 则1月24日的人数为1400（1+x），一月25日的人数为1400（1+x）2，结合25日人数为5000人，建立关于x的方程即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数；百分数的实际应用—百分率问题
【解析】【解答】中位数6，唯一众数7，则五个数据中最大的三个数据应为6、7、7，和为20，
此时投中率，
其他2个数据最大可能是4、5，不超过10，此时投中率
∴估算可能的投中率大于40%且小于60%，据此排除A、C、D。
故选：B。
【分析】总共5个数据，中位数6，众数7是唯一的，因此判定最大的三个数据是6、7、7；可以据此估算，也可以准确计算。比如数据最小可能是1、2、6、7、7，此时投中率；数据最大可能是4、5、6、7、7，此时投中率。
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+px+q=0，
∴x2+px=-q，
∴x2+px+=-q+，
∴.
故答案为：A.
【分析】此一元二次方程的二次项系数为1，利用配方法求解的时候，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：当且时，甲运动员成绩较好且更稳定.
故答案为：A．
【分析】平均数反映了运动员的射击水平，而方差则体现了成绩的稳定性；成绩更好的运动员其平均数应当更高，而更稳定的运动员其成绩方差应当更低，据此进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A. ， ，方程没有实数根，不符合题意；
B. ， ，方程没有实数根，不符合题意；
C. ， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D. ， ，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式逐项判断即可。
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项A不正确，不符合题意；
B、 ∵，∴，仅凭此条件不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项B不正确，不符合题意；
C、根据，，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项C不正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形ABCD为平形四边形，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的判定定理：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐一判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，故B选项正确，不符合题意；
，，
，
，故C选项正确，不符合题意；
如图，作于，于，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，，，
，，
，故A选项正确，不符合题意；
只有当时，，故D选项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由同高三角形的面积之比等于对应底之比得出，据此可判断B选项；根据平行四边形的一条对角线把平行四边形分成全等的两个三角形可得，据此可判断C选项；作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，则，由平行四边形对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAC=∠BCA，从而由AAS判断出△DAE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，根据同底等高三角形面积相等得，，即可判断A；根据同高三角形的面积之间的关系就是对顶底之间的关系得只有当时，，即可判断D．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
解：由题意可得：2a-1≥0，解得：
故答案为.
【分析】
要式二次根式有意义，要保证被开方数大于等于0即可.
12．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是，
∴它的边数为，
∴这个多边形是十边形.
故答案为：十．
【分析】多边形外角和为360度，从而用多边形外角和的总度数除以一个外角的度数求出边数.
13．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根.∴m+n=2，mn=﹣1.
∴ .
故答案为：6.
【分析】根据方程根的定义观察题干得出m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，从而利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n=2，mn=﹣1，然后再根据完全平方公式的恒等变形后整体代入即可算出答案.
14．【答案】21
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由方差公式知，这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，
∴ 这组数据的和为7×3=21.
故答案为：21.
【分析】由方差公式可知这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念即可求解.
15．【答案】337
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：x1+x2＝ ，
x1x2＝ ＝287q＝7×41×q，
x1和x2都是质数，
则只有x1和x2是7和41，而q＝1，
所以7+41＝ ，
p＝336，
所以p+q＝337，
故答案为：337.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出有关p，q的式子，再利用两个根都是质数，可分析得出结果．
16．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AD∥BC
∴，
∴垂直平分，
∴；
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的对边平行且平行得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠BCE，∠EAF=∠B，从而由AAS判断出△BCE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得AF=BC=AD，由二直线平行，拿出相等得∠DAC=∠ACB=90°，则可得AC垂直平分DF，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CD=CF，从而可得答案.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；零指数幂；二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）运用绝对值、有理数的乘方、二次根式进行运算，进而即可求解；
（2）运用算术平方根、绝对值、立方根、零指数幂进行运算，进而即可求解。
18．【答案】（1）解：x2－5x＋1＝0
∵，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根．
∴，
即，．
（2）解：（2x＋1）2－25＝0，
移项，得，
直接开平方得：，
∴2x+1=5或2x+1=-5，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可；
（2）把2x+1看成一个整体，此方程缺一次项，故利用直接开平方法解方程较为简单，首先将常数项移到方程的右边，然后直接开平方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可.
（1）x2－5x＋1＝0
∵，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根．
∴，即，．
（2）（2x＋1）2－25＝0
移项，得，
直接开平方得：，
∴，．
19．【答案】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出300后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，（不符合题意，故舍去）．
答：定期一年的利率是．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设定期一年的利率是，则存入一年后的本息和为元，取出300后剩下[]元，作为第二年的本金，进而再根据本息和=本金×（1+利率）列方程，求解即可.
20．【答案】解：如图1所示，设点D的坐标为，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴，
∴，
∴，
同理可求得剩下图2，图3，图4，图5，图6中点D的坐标分别为，
综上所述，或或．
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得每条对角线中点坐标相同，据此结合平面内中点坐标公式建立方程求解得出点D的坐标，再画出对应的图形即可．
21．【答案】（1）证明：∵PM//DC，且PM=DC，
∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∴AN∥PM，AB=PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP=BM，
∴△ADP≌△BCM；
（2）解：作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
又AC=CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴BH=DG，
∴，即，
，即，
∵△ADP≌△BCM，
∴，
∴=．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形PMCD是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得PD=CM，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，结合PM//DC，且PM=DC，可得AB∥PM，且AB=PM，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形PMCD是平行四边形，得到AP=BM，从而由SSS可判断△ADP≌△BCM；
（2）作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，根据平行四边形对边相等得AD=BC，AB=CD，从而由SSS得到△ABC≌△CDA，由全等三角形对应边上得高相等得BH=DG，由同高三角形的面积之比等于对应底之比求得，根据同底等高三角形面积相等得，利用△ADP≌△BCM，得到，即可求出答案．
22．【答案】（1）88；90
（2）解：甲班5名学生比赛得分的平均数为：
乙班5名学生比赛得分的平均数为：
∴
∴
∴甲班选手的比赛得分较为整齐．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）∵甲班5名学生的成绩88出现的次数最多，
∴甲班5名学生的比赛得分的众数是 88；
∵乙班5名学生的成绩从小到大依次为：86，87，90，91，96，
∴乙班5名学生的比赛得分的中位数是 90；
故第1空答案为：88；第2空答案为：90；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义，即可得出答案；
（2）根据方差的计算公式，分别计算两班的方差，在通过比较它们的大小 ，进而可得出结论甲班选手的比赛得分较为整齐．
23．【答案】解：（1）-2；1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为：-2；1；
【分析】（1）此方程左边先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法继续分解到每一个因式都不能再分解为止，然后根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可得出原方程的解；
（2）方程两边同时平方，把无理方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（3）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD=3cm，设AP的长为xm，则PD=(8-x)m，根据勾股定理分别表示出BP、CP，然后由BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解再检验即可.
24．【答案】（1）证明：是BD的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
解：（2）是BD的中点，N是CD的中点，
，
.
∵P是BD的中点，M是AB的中点，
∴PM∥AD，
.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线等于第三边的一半得，，结合AD=BC可得，利用等边对等角即可得到；
（2）根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得，由二直线平行，内错角相等得，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM∥AD，PN∥BC，，，结合已知推出PM=PN，由等边对等角得∠PMN=∠PNM，然后根据二直线平行，内错角相等（同位角相等），再结合对顶角相等及等量代换可得，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，得CN=GN=DN，由等边对等角及三角形外角性质可求出，从而求出度数，即可求证的形状.
1 / 1浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·西湖期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、此选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2024八下·西湖期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设这个三角形中每一个内角都小于.
故答案为：A．
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
3．（2024八下·西湖期中）下列式子，一定是二次根式的共有（　　）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：，是二次根式，共2个，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的定义逐项分析判断即可.
4．（2024八下·西湖期中）抗击新冠肺炎疫情，让世界再次见证了“中国速度”.1月23日，某医院抢建现场有1400名工人.到1月25日，现场工人数达到5000人，假设从1月23日到25日，工人人数日平均增长率为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得：1400（1+x）2=5000.
故答案为：D.
【分析】 假设从1月23日到25日，工人人数日平均增长率为， 则1月24日的人数为1400（1+x），一月25日的人数为1400（1+x）2，结合25日人数为5000人，建立关于x的方程即可.
5．（2024八下·西湖期中）五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中位数；众数；百分数的实际应用—百分率问题
【解析】【解答】中位数6，唯一众数7，则五个数据中最大的三个数据应为6、7、7，和为20，
此时投中率，
其他2个数据最大可能是4、5，不超过10，此时投中率
∴估算可能的投中率大于40%且小于60%，据此排除A、C、D。
故选：B。
【分析】总共5个数据，中位数6，众数7是唯一的，因此判定最大的三个数据是6、7、7；可以据此估算，也可以准确计算。比如数据最小可能是1、2、6、7、7，此时投中率；数据最大可能是4、5、6、7、7，此时投中率。
6．（2024八下·西湖期中）用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+px+q=0，
∴x2+px=-q，
∴x2+px+=-q+，
∴.
故答案为：A.
【分析】此一元二次方程的二次项系数为1，利用配方法求解的时候，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
7．（2024八下·西湖期中）甲、乙两名射击运动员分别进行了相同次数的射击训练，如果将甲、乙两人射击环数的平均数分别记作和，方差分别记作和，那么下列描述能说明甲运动员成绩较好且更稳定的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：当且时，甲运动员成绩较好且更稳定.
故答案为：A．
【分析】平均数反映了运动员的射击水平，而方差则体现了成绩的稳定性；成绩更好的运动员其平均数应当更高，而更稳定的运动员其成绩方差应当更低，据此进行判断即可.
8．（2024八下·西湖期中）下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A. ， ，方程没有实数根，不符合题意；
B. ， ，方程没有实数根，不符合题意；
C. ， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D. ， ，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式逐项判断即可。
9．（2024八下·西湖期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项A不正确，不符合题意；
B、 ∵，∴，仅凭此条件不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项B不正确，不符合题意；
C、根据，，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项C不正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形ABCD为平形四边形，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的判定定理：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐一判断得出答案.
10．（2024八下·西湖期中）如图，在中，是对角线上一点，连接.若，的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，故B选项正确，不符合题意；
，，
，
，故C选项正确，不符合题意；
如图，作于，于，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，，，
，，
，故A选项正确，不符合题意；
只有当时，，故D选项错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由同高三角形的面积之比等于对应底之比得出，据此可判断B选项；根据平行四边形的一条对角线把平行四边形分成全等的两个三角形可得，据此可判断C选项；作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，则，由平行四边形对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAC=∠BCA，从而由AAS判断出△DAE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，根据同底等高三角形面积相等得，，即可判断A；根据同高三角形的面积之间的关系就是对顶底之间的关系得只有当时，，即可判断D．
11．（2024八下·西湖期中） 二次根式 中字母 的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
解：由题意可得：2a-1≥0，解得：
故答案为.
【分析】
要式二次根式有意义，要保证被开方数大于等于0即可.
12．（2024八下·西湖期中）若一个多边形的每个外角都是，则它是　 　边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是，
∴它的边数为，
∴这个多边形是十边形.
故答案为：十．
【分析】多边形外角和为360度，从而用多边形外角和的总度数除以一个外角的度数求出边数.
13．（2024八下·西湖期中）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　 　.
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根.∴m+n=2，mn=﹣1.
∴ .
故答案为：6.
【分析】根据方程根的定义观察题干得出m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，从而利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n=2，mn=﹣1，然后再根据完全平方公式的恒等变形后整体代入即可算出答案.
14．（2024八下·西湖期中）已知一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是　 　．
【答案】21
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由方差公式知，这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，
∴ 这组数据的和为7×3=21.
故答案为：21.
【分析】由方差公式可知这组数据供有7个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念即可求解.
15．（2024八下·西湖期中）已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝　 　．
【答案】337
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：x1+x2＝ ，
x1x2＝ ＝287q＝7×41×q，
x1和x2都是质数，
则只有x1和x2是7和41，而q＝1，
所以7+41＝ ，
p＝336，
所以p+q＝337，
故答案为：337.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出有关p，q的式子，再利用两个根都是质数，可分析得出结果．
16．（2024八下·西湖期中）如图，为的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为　 　
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AD∥BC
∴，
∴垂直平分，
∴；
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的对边平行且平行得AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠BCE，∠EAF=∠B，从而由AAS判断出△BCE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得AF=BC=AD，由二直线平行，拿出相等得∠DAC=∠ACB=90°，则可得AC垂直平分DF，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CD=CF，从而可得答案.
17．（2024八下·西湖期中）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；零指数幂；二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）运用绝对值、有理数的乘方、二次根式进行运算，进而即可求解；
（2）运用算术平方根、绝对值、立方根、零指数幂进行运算，进而即可求解。
18．（2024八下·西湖期中）解下列关于x的方程．
（1）x2－5x＋1＝0；
（2）（2x＋1）2－25＝0．
【答案】（1）解：x2－5x＋1＝0
∵，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根．
∴，
即，．
（2）解：（2x＋1）2－25＝0，
移项，得，
直接开平方得：，
∴2x+1=5或2x+1=-5，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可；
（2）把2x+1看成一个整体，此方程缺一次项，故利用直接开平方法解方程较为简单，首先将常数项移到方程的右边，然后直接开平方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可.
（1）x2－5x＋1＝0
∵，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根．
∴，即，．
（2）（2x＋1）2－25＝0
移项，得，
直接开平方得：，
∴，．
19．（2024八下·西湖期中）某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税）
【答案】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出300后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，（不符合题意，故舍去）．
答：定期一年的利率是．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设定期一年的利率是，则存入一年后的本息和为元，取出300后剩下[]元，作为第二年的本金，进而再根据本息和=本金×（1+利率）列方程，求解即可.
20．（2024八下·西湖期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，第四个顶点的坐标可以是什么？在平面直角坐标系中标出点并写出坐标（不需要写过程），并画出相应的平行四边形．
【答案】解：如图1所示，设点D的坐标为，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴，
∴，
∴，
同理可求得剩下图2，图3，图4，图5，图6中点D的坐标分别为，
综上所述，或或．
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得每条对角线中点坐标相同，据此结合平面内中点坐标公式建立方程求解得出点D的坐标，再画出对应的图形即可．
21．（2024八下·西湖期中）如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，DP，BP．
（1）求证： △ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
【答案】（1）证明：∵PM//DC，且PM=DC，
∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∴AN∥PM，AB=PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP=BM，
∴△ADP≌△BCM；
（2）解：作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
又AC=CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴BH=DG，
∴，即，
，即，
∵△ADP≌△BCM，
∴，
∴=．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形PMCD是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得PD=CM，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，结合PM//DC，且PM=DC，可得AB∥PM，且AB=PM，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形PMCD是平行四边形，得到AP=BM，从而由SSS可判断△ADP≌△BCM；
（2）作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，根据平行四边形对边相等得AD=BC，AB=CD，从而由SSS得到△ABC≌△CDA，由全等三角形对应边上得高相等得BH=DG，由同高三角形的面积之比等于对应底之比求得，根据同底等高三角形面积相等得，利用△ADP≌△BCM，得到，即可求出答案．
22．（2024八下·西湖期中）双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是　 　分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是　 　分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
【答案】（1）88；90
（2）解：甲班5名学生比赛得分的平均数为：
乙班5名学生比赛得分的平均数为：
∴
∴
∴甲班选手的比赛得分较为整齐．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）∵甲班5名学生的成绩88出现的次数最多，
∴甲班5名学生的比赛得分的众数是 88；
∵乙班5名学生的成绩从小到大依次为：86，87，90，91，96，
∴乙班5名学生的比赛得分的中位数是 90；
故第1空答案为：88；第2空答案为：90；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义，即可得出答案；
（2）根据方差的计算公式，分别计算两班的方差，在通过比较它们的大小 ，进而可得出结论甲班选手的比赛得分较为整齐．
23．（2024八下·西湖期中）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】解：（1）-2；1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为：-2；1；
【分析】（1）此方程左边先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法继续分解到每一个因式都不能再分解为止，然后根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可得出原方程的解；
（2）方程两边同时平方，把无理方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（3）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD=3cm，设AP的长为xm，则PD=(8-x)m，根据勾股定理分别表示出BP、CP，然后由BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解再检验即可.
24．（2024八下·西湖期中）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明：是BD的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
解：（2）是BD的中点，N是CD的中点，
，
.
∵P是BD的中点，M是AB的中点，
∴PM∥AD，
.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线等于第三边的一半得，，结合AD=BC可得，利用等边对等角即可得到；
（2）根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得，由二直线平行，内错角相等得，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM∥AD，PN∥BC，，，结合已知推出PM=PN，由等边对等角得∠PMN=∠PNM，然后根据二直线平行，内错角相等（同位角相等），再结合对顶角相等及等量代换可得，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，得CN=GN=DN，由等边对等角及三角形外角性质可求出，从而求出度数，即可求证的形状.
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