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2024-2025学年下学期初三年级第二次段考 数学试卷
考试时间：120分钟；
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2和 C．和 D．和
2．据国家电影局统计：截至2025年3月14日《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿，将150亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．在同一坐标平面将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．将一副三角板按如图方式摆放，使，则（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列三个结论：
①若，则；
②方程一定有两个不相等的实数解；
③若与异号，则抛物线与轴有两个不同的交点．
其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：________．
8．在函数中，自变量的取值范围是________．
9．已知三边长分别为，，，则这个三角形的外接圆的半径是________．
10．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为小于2的整数，那么的值是________．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，且，反比例函数的图像与正方形的两边、分别相交于、两点，且的面积为3.5，若动点在轴上，则取最小值时，点的坐标为________．
12．如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与腰垂直时，则________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解方程：；（2）解不等式组：
14．先化简，再求值：，其中．
15．将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为．设点的坐标为．
（1）请用列表法或树状图法列出点所有可能的情况．
（2）求点在直线上的概率．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）；
（2）在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等．
17．环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分．
（l）在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题？
（2）如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目，为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：
的成绩为：
71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息解决下列问题：
创意设计比赛 科技竞赛
甲的成绩 95 90
乙的成绩 92 95
（1）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是________分；
（2）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数；
（3）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如上表：
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
19．如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为，山脚到塔尖的仰角为．
（1）若米，则________米，________米（用含的代数式表示）；
（2）求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
20．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，，过圆心作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．
（1）求阴影部分的面积；
（2）若四边形是平行四边形，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，求点的坐标．
22．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：
解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即．
请你补全余下的解答过程．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点，且，，，求．
（3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点，在直线上方有一点，，，连接，则线段的最大值为________．
六、解答题（本大题共12分）
23．在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如，，，等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若是抛物线上的“雁点”，求的面积．
（3）若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标．
2024-2025学年下学期初三年级第二次段考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B D A C
7． 8． 9．6.5
10．1 11． 12．或或
【详解】解：∵是等腰三角形，，
∴，
当时，设交于点，
如图，当点在上方时，
则，∴，
由折叠的性质得：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
如图，当点在下方时，
则，
同理得，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
时，设交于点，
则，
∵，∴，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴点，，三点共线，
∴，
∴；
综上，或或
故答案为：或或．
13．（1），；（2）．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得，；
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
14．，
【详解】解：
，
当时，
原式．
15．（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）只有，在直线上，
∴点在直线上的上的结果数为2，
所以点在直线上的概率是
16．（1）见解析
（2）见解析
【详解】（1）解：如图，点即为所求（答案不唯一）；
（2）如图，点即为所求
17．（1）小明答对了17道题
（2）他至少需要答对24道题
【详解】（1）解：设小明答对道题，
由题意得：，
解得：，
答：小明答对了17道题．
（2）解：设他需要答对道题，
，解得：，
∵为正整数，
∴，
答：他至少需要答对24道题．
18．（1）78
（2）估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数约为600人
（3）乙的综合成绩更高，见解析
【详解】（1）解：∵，
而的成绩为：
71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：78，78；
中位数为（人），
故答案为：78；
（2）解：（人），
答：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数约为600人；
（3）解：甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分），
∴乙的综合成绩更高．
19．（1），
（2）房子的高度为19.5米；塔的高度为74.3米．
【详解】（1）解：∵米，，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米，
故答案为：，；
（2）解：作于点，交于点，
则四边形和四边形是矩形，
设米，
在中，，
∴，
在矩形中，，
，
∴，
在中，，，即，
∴，
解得，
由（1）得米，
米，
∵四边形是矩形，，，
在中，，，，∴，
∴米．
答：房子的高度约为19.5米；塔的高度约为74.3米．
20．（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（负值舍去），
∴，
∴
21．（1）5
（2）
（3）点
【详解】（1）解：由题意得，，
∴阴影部分的面积；
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即点为的中点，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
在中，当时，
∴，
∴，
∴点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点．
22．（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即．
∴
∴
在中，
∴
∴
∴．
（2）解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，
∵，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即．
∴
∴
在中，
∴
∴
∴．
故答案为：．
（3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即．
∴
∴
在中，
当点在时，
∴
∴的最大值为6
在中，
∴
∴．
∴的最大值为．
23．（1）
（2）或或
（3）存在，点的坐标为或或
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
∴．
设，由为抛物线上的“雁点”，
得或，
解得：，，，，
∴点的坐标为或或或．
∴，
∴的值为或或．
（3）解：存在．
①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，，垂足分别为，，如图所示．
已知，设，，
若，则，．
则，，，，
∵，，，
∴，
∴，
即，
解得，
此时．
若，同理可求得或．
②当点在点右侧时，
若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去；
若，同理可求得此时，，
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．

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