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第10章二元一次方程组章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．由可以得到用表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，当时，；当时，；则当时，的值为（　　）
A．2 B． C． D．5
3．已知是关于，的方程，的一个解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知方程组的解，则的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
5．已知是关于，的二元一次方程组的解，那么，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（ ）
A． B． C． D．
7．《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．若关于的方程是二元一次方程，则的值 ．
9．关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
10．已知二元一次方程组，若，则的值为 ．
11．若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），在不浪费材料的情况下，一共有 种截法．
12．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ．
13．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件，某天这两种工艺品的销售额为1175元．设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，则可列出方程为 ．
14．如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ．
三、解答题
15．解方程组：
16．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值．
17．扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元．
(1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？
(2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案．
18．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3个长方形铁片；
方法2：可以裁出4个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
19．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”．
(1)直接写出二元一次方程的“对称方程”；
(2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值．
20．阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：．
请你根据上述材料中的方法，完成下列任务：
任务一：
（1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解；
任务二：
（2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数．
《第10章二元一次方程组章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B A B B A B
1．A
【分析】本题考查了二元一次方程，根据，整理得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选：A
2．B
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，将时，；当时，代入中，计算可求解k、b的值，然后将x值代入等式计算可求求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∴，
当时，．
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．
把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：∵是关于，的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解：使方程组中每一个方程成立的一组未知数的值，是解题的关键；把代入中，即可求解．
【详解】解：由于是关于，的二元一次方程组的解，
所以，解得：；
即，；
故选：B．
6．A
【分析】本题考查列二元一次方程组，找出相等关系列出方程组是解题的关键．
设甲原有钱，乙原有钱，根据“甲钱加乙钱的一半等于50钱”，“乙钱加甲钱的三分之二等于50钱”即可列出方程组．
【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱，根据题意，得
．
故选：A
7．B
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键．
设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元；根据等量关系“8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，
根据题意，可列方程组为，
故选：B．
8．
【分析】本题考查代数式求值，涉及二元一次方程的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程的定义列出关于的方程，再解一元一次方程求出，代入代数式计算即可得到答案．熟记二元一次方程的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键．
【详解】解：关于的方程是二元一次方程，
，
解得，
∴，
故答案为：．
9．0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得出是解题的关键．方程组中的两个方程直接相加得出，化简得，结合已知即可求出的值．
【详解】解：，
①②，得，
，
，
，
，
故答案为：0．
10．16
【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元法，有理数乘方的运算，根据题意可求出的值，再代入求解即可．
【详解】解：已知二元一次方程组，
，可得，
，
，
，
故答案为：16．
11．4
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设可以截成段长，段长的绳子，根据截成绳子的总长度为，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论．
【详解】解：设可以截成段长，段长的绳子，
依题意得：，
．
又，均为非负整数，
或或或，
共有4种不同的截法．
故答案为：4．
12．3
【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可．
【详解】解：分析第二个方程
1.若为偶数，
则, 化简得：
，
2.若为奇数，
则, 化简得：
，
处理第一个方程，
情况1：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：
奇偶性分析：
为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。
因此，外层运算结果为：
，
根据方程：
，整理得：，
3.联立方程1和方程3，
，
解得：。
情况2：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：(必为奇数)，
因此，外层运算结果为：，
根据方程：
，
解得： (非整数，不符合题意)，
综上所述，的值为3．
13．
【分析】本题考查了列二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，即可列出二元一次方程．
【详解】解：设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，
由题意得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可．
【详解】解：解方程组，
得：，
解得：，
把代入方程可得：，
解得：，
方程组的解为，
把分别代入，，
可得：，
得：，
解得：，
把代入方程可得：，
解得：，
方程组的解为，
．
故答案为： ．
15．
【分析】此题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法进行解答即可．
【详解】解：
②，得③，
①＋③，得，解得，
把代入②，得，
方程组的解是
16．
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可．
【详解】解：由题意得：
解得，
将代入，得：，
∴．
17．(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元
(2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键：
（1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得：
，解得：，
答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且；
∴，
∴或或，
故共有3种购买方案：
方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；
方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；
方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只．
18．(1)7，3
(2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个
(3)18个
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解．
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可．
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张．
故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张，
故答案为：7，3；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得
解得
故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得
解得
∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），
∴可做铁盒（个）．
19．(1)
(2)，
【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的定义，读懂“对称方程”的定义是关键．
（1）根据对称方程”的定义写出答案即可；
（2）先根据对称方程”的定义写出二元一次方程的“对称方程”，联立构成方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：由题意可得，的“对称方程”是，
（2）由（1）可知，的“对称方程”是，
将这两个方程组成方程组得，
将①代入②得，解得，
将代入①得，，
，
20．（1）；（2）3
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可．
【详解】（1）解：由图3得，①，
由图4得，②，
将这两个方程组成方程组得，，
将①，②，得，，
得，，
将代入②得，，
这个方程组的解是：，
即这两个方程的公共解是，；
（2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是，
由题意得，图5中表示的方程组可表示为，，
由题意可知，，
将代入①得，，解得：，
将，代入②得，，解得：，
被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3．
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