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2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷
一、选择题（共30分，每小题1.5分）
1． （ ）
A． B． C． D．2
2．若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．一副三角尺按图所示方式摆放，，固定，将绕点顺时针旋转，角的度数变大的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，，在上，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若从四个数中任意选择一个数记作，再从该四个数中任意选择一个数记作，则成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
8．如图，在矩形中，，，点H，F分别在边上，点E，G在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（ ）
A．4 B． C． D．
9．如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ．
12．已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ．
13．如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为 ．
14．如图，的内接正六边形的边长为6，点是的中点，则的长为 ．
15．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ．
16．如图，在中，平分，与 相交于点F．若，的面积为2，则图中阴影四边形的面积为
17．如图，是外接圆的直径，，，则的值为 ．
18．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图．
(1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到；
(2)画出关于点成中心对称的；
20．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值： 其中
21．（6分）某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？
22．（8分）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点E恰好落在边上，连接，，且与相交于点P
(1)求证：；
(2)若，，求的长：
23．（8分）如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求线段的长．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．求一次函数的解析式及n的值．
25．（8分）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，，垂足为，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
26．（6分）如图，已知四边形是某公园中的小池塘，点和点分别在点的正东与正南方向，点位于点北偏西方向，点位于点北偏东方向，经测量得米，米，求小池塘的边的长．（参考数据：，，，，结果精确到0.1米）
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)（3分）求线段的长；
(2)（3分）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；
(3)（4分）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
答案
1-5 BCBAC 6-10 CBDBA
11． 12．或 13． 14．
15． 16．10 17． 18．375
19．（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求。
20．（1）4；（2），1
21．设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不符题意，舍），
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：工作日场的观影人数是人．
22．（1）∵四边形是矩形，
∴．
由旋转的性质可得，
∴．
∴，
∴．
（2）如图，过点B作于点M，过点E作于点N．
在和中，
∴，
∴ ，．
在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
23．（1）连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）∵，
∴，
在中，，
，
，
，
在中，
，
，
设，则，
，
，
解之得，或（舍去），
．
24．将点代入反比例函数得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
将点，代入得：，解得，
∴一次函数的解析式．
25．（1）如图所示，连接，
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）如图所示，连接，
∵是半圆的直径，切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
．
26．如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
米，．
由题意知，，
是等腰直角三角形，
，
（米），
米，（米）．
在中，，
（米），
（米）．
答：小池塘的边的长约为42.1米．
27．（1）在中，令，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）当时，，
∴，
如图，连接、、、，作轴于，轴交于，
设点的坐标为，则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是面积的两倍，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，此时，
∴；
（3）∵，
∴，
在中，当时，，故，
如图：作轴于，
，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴直线恒过定点．

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