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辽宁省兴城市2024-2025学年八年级下学期同步检测数学试卷（期中）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式，，，，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某个抽屉的底面是一个长，宽的矩形，现打算贴抽屉底面放一根木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是平行四边形，于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的对角线和相交于点，，，则菱形的面积为（ ）

A．12 B．24 C．48 D．60
7．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
9．如图，在矩形中，点M，N分别是和的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．将一副三角尺按如图所示方式放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若与最简二次根式能合并成一项，则 ．
12．已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ．
13．若，则 ．
14．已知点A在x轴上，且与点的距离为5，则点A的坐标为 ．
15．如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．数学课上，王老师在黑板上给大家出示了如下三个式子：，，，同时让同学们对x，y，z随意组合并进行运算，但要求运算的结果为正整数，于是同学们纷纷参与其中．
(1)乐乐选择了x，y，然后将它们进行乘法运算组合成．请你计算一下她组合的结果是否符合王老师的要求；
(2)爱思考的聪聪想挑战难度，于是他将x，y，z组合成这个代数式，你认为他能挑战成功吗？说明理由．
18．如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
19．请阅读下列材料：
已知，求代数式的值．
小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
20．如图，四边形是平行四边形，于点，于点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，求的长．
21．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且．
(1)求的度数；
(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由．
22．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

【操作感知】
（1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
【探究论证】
（2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形；
【迁移探究】
（3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长．
23．已知四边形是正方形，点是射线上一点，（点在直线的右侧），，于点．

(1)如图1，当点在线段上时，求证：；
(2)射线与射线交于点，和交于点．
①如图2，当点在线段上时，求证：与互相平分；
②连接若，，请直接写出的面积．
《辽宁省兴城市2024-2025学年八年级下学期同步检测数学试卷（期中）》参考答案
1．A
解：是最简二次根式，符合题意；
，被开方数含开方开的尽的因数，不符合题意；
被开方数含分母，不符合题意；
被开方数含分母，不符合题意；
综上：是最简二次根式的有1个，
故选：A．
2．C
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：C．
3．C
解：由勾股定理得：；
即这根木棒最长是；
故选：C．
4．A
解：于点E，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：A．
5．C
解：A. 不能合并，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原计算错误；
故选：C．
6．B
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故选：B．
7．B
解：由图可得，，
，，
，
∵，
，
∴点D所表示的数为，
故选：B．
8．D
解：根据题意，得，，，
在中，，
∴，
解得，
即河的宽度是15米，
故选：D．
9．B
∵点M，N分别是和的中点，
∴，
在矩形中，，，
∴，， 因此A、C是正确的，
∵，，
∴，
∴，因此D是正确的，
B选项不能证明，是错误的，
故选：B．
10．C
解：如下图所示，过点作，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故选：C．
11．2
∵，与最简二次根式能合并成一项，
∴，
故答案为：2．
12．/
解：∵，，
∴，
∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积为，
故答案为：．
13．
解：由题可得，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
14．或
解：过点作轴于点，如图所示，
∴，
∵点A在x轴上，
∴是直角三角形，
∵点A与点的距离为5，
∴，，
∴或，
∴点A的坐标为或，
故答案为：或．
15．
解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
∵四边形是矩形，
∴，，
由作图可知，，，
∴，
∴，
∴，，，
∵若点是的中点，
∴，即，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）原式
；
（2）原式
17．(1)符合
(2)能挑战成功，理由见解析．
（1）解：当，时，
，
∵1是正整数，
∴乐乐的计算结果符合王老师的要求；
（2）由（1）可知，，当，时，
，
∵2是正整数，
∴聪聪的计算结果符合王老师的要求，他挑战成功了．
18．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴．
19．(1)2025
(2)2026
（1）解：由得，，
则，即，
∴，
把代入原式得，
原式；
（2）解：由得，，即，
则，即，
∴，即
两边同时乘以得，
把作为整体，代入原式得，
原式．
20．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∴
在中，根据勾股定理得，
，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
21．(1)
(2)这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析．
（1）解：连接，
∵，，
∴，，
∵，，
在中，有，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
（2）解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下：
过点作，交的延长线于，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
即点为摄像头能监控的最远位置，
在中，，
∵车到点距离为，，
∴车到点距离为，
∵，
∴这辆车不能被摄像头监控到．
22．（1）画图见解析；（2）证明见解析；（3）4
解：（1）如图所示，四边形，即为所求；
连接，，，
， ，，，
，
四边形，即为所求；
（2）∵
∴，，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即四边形是勾股四边形；
（3）连接，，过点B作于点F，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴．
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是以为勾股边的勾股四边形，且，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在中，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴．
（2）①证明：如图，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是正方形 的对角线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴与互相平分．
②解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵正方形中，与交于点，
∴点是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴．

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