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2025届中考数学预热模拟卷 【重庆专用】
【满分150分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.在如图四个图形中随机抽取一个,既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为( )
A.1 B. C. D.
3.如图,反比例函数的图象过点A,则的面积是( )
A.3 B.6
C.9 D.12
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P.若，则的度数是( )

A. B. C. D.
6.估算的值在( )
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
7.用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形,第②个图案中有5个菱形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案中有11个菱形,…,按此规律,则第2025个图案中菱形的个数是( )
A.6071 B.6072 C.6073 D.6074
8.如图，在扇形中，，点C是的中点.过点C作交于点E，过点E作，垂足为点D.在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为( )
A. B. C. D.
10.定义一个运算，下列说法正确的有( )个
①；
②若，则或2；
③；
④若，则.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在题中横线上）
11.已知函数，则自变量x的取值范围是_________.
12.某超市销售某种礼盒,因销量不好,经过两次降价后,价格由原来的300元调整为243元,则平均每次降价的百分率为______.
13.2025年哈尔滨亚洲冬季运动会(The9thAsianWinterGamesHarbin2025),于2025年2月7日至2月14日在中国黑龙江哈尔滨举行,其会徽为“超越”,这是继1996年哈尔滨亚冬会、2007年长春亚冬会后,哈尔滨第三次举办亚冬会.如图,是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为,宽为的长方形宣传画,为测量宣传画上会徽图案的面积,现将宣传画平铺,向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右,由此可估计宣传画上哈尔滨亚冬会会徽图案的面积约为______.
14.如图，在中，，对角线.若，则线段的长为________.
15.如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为_______
16.如果一个四位数M的百位数字和千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的两倍,则这个四位数M称作“凤中数”.例如：,∵,∴2456是“凤中数”.若一个“凤中数”的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,且满足(),记,当是整数时,则满足条件的M的最大值为______.
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（8分）计算：.
18.（8分）先化简，再求值：，其中，.
19.（10分）如图，在正方形中，对角线与相交于点O.
(1)在上求作点E，使得点E到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在(1)的条件下，若，求点到的距离.
20.（10分）实验中学团支部发起了以“完善自我,服务社会,关爱弱势,大写人生”为主题的志愿活动,鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动,开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查,并对他们参加志愿活动的次数进行了统计,根据调查数据绘制成不完整的统计图如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数频数分布直方图
被抽取学生参加志愿活动的次数扇形统计图
(1)补全频数分布直方图,这组数据的中位数是______次,众数是______次；
(2)求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数；
(3)若该校九年级共有800名学生,请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数.
21.（10分）河南地处中原腹地，拥有悠久的历史文化和丰富的自然资源，孕育了众多独具特色的经典土特产，如信阳毛尖、焦作铁棍山药、灵宝苹果、新郑大枣，某商店销售A，B两种河南当地土特产，每斤A种土特产的利润比每斤种土特产的利润多2元，销售A种土特产获利元和销售B种土特产获利40元时的销售数量相同.
(1)分别求A，B两种土特产每斤的利润；
(2)若该商店计划购进A，B两种土特产共800斤进行销售，且A种土特产数量不超过B种土特产数量的 倍，如何安排购买方案才能使总利润最大？
22.（10分）如图1，在平行四边形中，，，，点E为边的中点，点P沿着的方向每秒1个单位运动，到达C点停止运动，同时点Q沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设P的运动时间为x秒，记的面积为，记的面积为.
(1)请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合、的函数图象，请直接写出时x的取值范围.
23.（10分）图1所示是某中学一标志牌，根据测量要求将其抽象为图2，已知底座为矩形，与底座所成锐角的度数为，，，，点D到底座上面的距离为.
(1)求与底座所成的锐角的度数；
(2)求标志牌的高度（即点A到的距离）.（结果精确到小数点后一位）
（参考数据：）
24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,直线与y轴交于点A,与x轴交于点B,抛物线经过点A和点B.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2,点P是抛物线上第一象限内的一个动点,连接、,当时,求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M,使？若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
25.（10分）关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在中，，，，在直线下方取一点，连接，使得.
【基础回顾】
(1)如图1，过点C作于点D，求证：；
【灵活运用】
(2)如图2，在(1)的条件下，连接，，作的平分线交边于点E，当时，求线段的长；
【综合探究】
(3)在射线上取一点F，当时，试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，
的倒数是，
故选：D.
2.答案：C
解析：∵第二个、第三个、第四个图形既是轴对称图形也是中心对称图形,
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为.
故选：C.
3.答案：A
解析：由反比例函数的几何意义可知,
∴,
故选：A.
4.答案：D
解析：A.与不是同类项,不能合并,该选项错误,不符合题意；
B.,该选项错误,不符合题意；
C.,该选项错误,不符合题意；
D.,该选项正确,不符合题意.
故选：D.
5.答案：C
解析：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C.
6.答案：B
解析：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
7.答案：D
解析：第①个图案中有2个菱形,
第②个图案中有个菱形,
第③个图案中有个菱形,
第④个图案中有个菱形,
,
第个图案中有个菱形,
第2025个图案中菱形的个数为,
故选D.
8.答案：B
解析：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点P落在阴影部分的概率是
故选：B.
9.答案：B
解析：作于点M，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∵点E始终为边的中点，
∴，
设，则，，
∴，
当时，最小，此时.
故选：B
10.答案：B
解析：①，故①正确；
②，则，化简得，
解得或，根据得，
，故②错误；
③
，
故③正确；
④若，
则，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
故④错误；
综上可知，正确的是①③，
故选B.
11.答案：
解析：函数，
∴，
解得，，
故答案为： .
12.答案：10%
解析：设降价的百分率为x,由题意得,,
解得,(舍),
所以平均每次降价的百分率为.
故答案为：10%.
13.答案：/
解析：由题意可得：长方形的面积为,
∵骰子落在会徽图案上的频率稳定在左右,
∴骰子落在会徽图案上的概率为,
∴会徽图案的面积为：,
故答案为：.
14.答案：8
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：8.
15.答案：70
解析： 连接，
，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70.
16.答案：6699
解析：由“凤中数”的定义可知,
,
,
是整数,一定是整数,
是24的倍数,
是24的倍数,
,
,,
当时,,满足是24的倍数,
可得,,此时,,
；
当时,,满足是24的倍数,
可得,,则,
当时,,,
当时,,不合题意,
当时,,；
当时,则或,满足是24的倍数,
当时,,与矛盾,不合题意,
当时,,,
可得,,；
综上可知,满足条件的M的最大值为6699.
故答案为：6699.
17.答案：3
解析：原式
.
18.答案：，
解析：
.
将，代入可得，
原式.
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：如图所示，点E就是所求的点.
(2)解析：与是正方形的对角线，
，，.
过点E作于点F.
由(1)得，
.
由勾股定理，得，
.
.
设，则.
由勾股定理，得，
∴.
解得：（舍去）.
点E到的距离为.
20.答案：(1)统计图见解析；4；4
(2)次
(3)520名
解析：(1)由题意得,被随机抽取的学生共有：人,
∴活动次数为3次的学生数为：人,
补全统计图如下：
∵这组数据的中,次数为4出现的次数最多,
∴众数是4次,
将20个数中按从小到大排列,第10个和第11个都是4次,
∴中位数是4次；
(2)次,
∴被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数为次；
(3)名.
∴估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数约有520名.
21.答案：(1)每斤A种土特产利润是6元，每斤B种土特产利润是4元；
(2)购进A种土特产480斤，购进B种土特产320斤使总利润最大.
解析：设每斤A种土特产利润是x元，则每斤B种土特产利润是元，
依题意得，，
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每斤A种土特产利润是6元，每斤B种土特产利润是4元；
(2)解析：设购进A种土特产m斤，则购进B种土特产斤，销售总利润是w元，
依题意，，
解得，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，（斤），
答：购进A种土特产斤，购进B种土特产320斤使总利润最大.
22.答案：(1)，
(2)图象见解析，性质：当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）
(3)
解析：（1）过A作于点M，
平行四边形中，，，
，，，，，
，即，
，，
点E为边的中点，
，
点M与点E重合，即，，
，
，
点Q沿着的方向每秒个单位运动，运动时间为x秒，
，，
，的面积为，
，
整理得，
点P沿着的方向每秒1个单位运动，设P的运动时间为x秒，
当点P在线段上时，，此时，；
当点P在线段上时，，此时，
如图，延长、交于点F，
，
，，
，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
整理得，
综上所述，；
（2）函数、的图象如图所示：
由图象可得，当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）；
（3）由函数图象可得，当时，x的取值范围为.
23.答案：(1)
(2)标志牌的高度约为.
解析：根据题意，得.
，
.
.
(2)解析：如图，过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F，过点D作，垂足为G.
.
，
.
，
.
.
，
标志牌的高度约为
24.答案：(1)
(2)
(3)存在,或
解析：(1)在中,
当时,；
当时,,
解得：,
,,
将,代入中,
得：,
解得：,
抛物线的表达式为：；
(2)过点P作轴,交于点Q,如图：
设,则,(其中),
；
由(1)得：,,
,
,
,
整理得：,
解得：,(舍去),
此时,,
；
(3)①作交抛物线于点M,
,
在中,
,
作于点N,
设,,
,,
,,
,,
,
,
.
整理得：,
解得：(舍去),,
当时,,
；
②作关于x轴对称点,
连接,则,
作交抛物线于点,
,
,
,
作于点
设,则,
,,
,
,
整理得,
解得：(舍去),,
当时,,
；
综上所述,点M的坐标为或.
25.答案：(1)证明见解析；(2)；(3)是定值，
解析：(1)∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)延长交延长线于点H，连接，过点作于点T，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
得：，
解得：，
∴，
由(1)得，
∴，
∴，
∴；
(3)如图，过点作延长线于点M，延长线于点H，过点作交延长线于点P，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值.

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