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江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算或化简的结果中，是负数的是（）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
4．鲁班锁是中国传统的智力玩具．如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．台湾是中国不可分割的一部分，其面积约为36000平方千米．数据36000用科学记数法表示为 ．
8．已知关于的方程有一个根是，则的值为 ．
9．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：‘我问开店李三公，众客都来到居中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间，可求得x的值为 ．
10．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则 ．
11．如图，面积为24的中，对角线平分，过点作交的延长线于点，，则的值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)如图，在中，，为的中点，分别是的中点，连接．求证：．
14．先化简，再求值： ，其中．
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学 解： 原式=……
乙同学 解： 原式……
(1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
15．如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出边上的中线．
(2)在图2中作出等腰三角形，使得．
16．2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《·重启未来》．小明和小红各自独立选择一部电影观看．
(1)小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是 事件；（选填“随机”“不可能”“必然”）
(2)用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率．
17．如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接．
(1)点A的坐标为_____，k的值为___；
(2)求四边形的面积．
18．为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组： B组： C组： D组： E组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了_______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
19．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，．
(1)如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数．
(2)求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，）
20．如图，在半圆O中，为直径，为弦，C为的中点，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，．
①求的长；
②的长是 　　 （结果保留π）．
21．定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③
(2)若是“邻根方程”，求的值．
(3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值．
23．【课本再现】
（1）如图1，，都是等边三角形，分别连接，，，与有什么数量关系？请证明；
【特殊感知】
（2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，则此三角形可求解；
在图1中，，，，则__________；
【类比应用】
（3）如图2，在四边形中，，，，，，求的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法即可求的长，请你帮小颖求的长；
（4）如图3，在四边形中，，，，，，直接写出的长．
《江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．B
解：A．，是正数，不符合题意；
B．，是负数，符合题意；
C．，是正数，不符合题意；
D．，是正数，不符合题意，
故选：B．
2．B
解：A、不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故选：B
3．D
解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，
∴第个代数式是，
故选：．
4．C
解：从上面看的图形如下：
．
故选：C．
5．D
解：如图，连接，过点作于点，轴于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴，故①正确，②错误；
由图象可知：当时，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时：，解得：；
当时：，解得：，
∴，故④正确；
∵，
∴，此方程的根的个数可以通过观察与两个图象的交点个数，
∵，当时，，
∴直线必过点，如图：
由图可知：与两个图象必有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上：正确的有3个；
故选B．
7．
解：∵，
故答案为：．
8．
解：∵关于的方程有一个根是，
，
，
故答案为：．
9．8
解：根据题意得：，
解得：.
故答案为：8．
10．/17度
解：如图，连接，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．/
连接交于点O，
∵平分，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
12．或或
解：，，
，．
①如答图1，当平分时，．
，
．
，
②如答图2，当平分时，
则，
，
③如答图3，当平分时，
过点P作于点C，
则．
，
，
故答案为：，或
13．(1)3
(2)详见解析
（1）解：
；
（2）解：在中，，为的中点，
∴．
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
14．(1)②，③
(2)，
（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）解：若选择甲同学的解法，
原式
；
若选择乙同学的解法，
原式
；
∴当时，原式．
15．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，连接，，相交于点，连接并延长，交于点，
∵是的中点，是的中点，
∴点是的重心，
∴为的边上的中线，
即为所求作；
（2）解：如图，在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，
可知为的边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
即等腰三角形为所求．
16．(1)随机
(2)
（1）解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》是随机事件；
故答案为：随机；
（2）用分别表示四部电影，列出表格如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种，
∴．
17．(1)，
(2)
（1）解：过点A作轴于点E，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：如图，过点A作轴，连接，
，
，
．
18．(1)100
(2)补全统计图见解析
(3)D组所对应的扇形圆心角度数为
(4)估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人
（1）解：由统计图可知，本次共调查了（人），
故答案为：100．
（2）解：由统计图可知，组人数占比为，
∴组人数为（人），
∴组人数为（人），
∴补全统计图如图所示
（3）解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为，
∴D组所对应的扇形圆心角度数为．
（4）解：由题意知，（人）
∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
19．(1)
(2)
（1）解：，，
，
∵，
，
，
故；
（2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
平分，
而
∴在中，，
又，
，
∴在中，，，
，
，
，
，
到的距离为；
20．(1)详见解析
(2)①3；②π
（1）证明：连接，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是的切线．
（2）解：①连接，如图；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，且，
∴的长的长．
故答案为：π．
21．(1)①③
(2)或
(3)
（1）解：①解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：①③．
（2）解：解方程得：，，
该方程式“邻根方程”，
或，
解得：或．
（3）解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，
设方程的两个根为、，则，，，，
得，
，
，
．
22．(1)
(2)四边形为菱形，理由见解析
(3)点时， 的面积最大为
（1）解：把代入函数解析式，
可得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
，
，
，
，
轴，
，
四边形为平行四边形，
根据勾股定理可得，
，
平行四边形为菱形；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
如图，过点作的平行线交直线于点，
设点，则点，
，
，
当，即时， 的面积最大为．
23．（1），见解析（2）（3）（4）
（1）解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点E作，交延长线于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）解：由，
不妨将绕点D顺时针旋转到，连接，过点E作，交延长线于点G，
则，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：不妨将绕点D逆时针旋转到，使得，连接，，过点E作，交延长线于点N，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴,
∴

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