资源简介

2025 年山西省初中学业水平模拟考试（三）
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题 30 分）
一、选择题（共 30 分）
1．某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意
买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（ ）
A． 2.76g B． 2.72g C． 40.05mm D．39.95mm
2．随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选
项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（ ）
A． B． C． D．
3．军训时，教官为了让男生站成一条直线，先让前两个男生站好不动，其他男生依次往后
站，要求目视前方，且只能看到自己前面一个同学的后脑勺．教官这样做的依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．线段可以度量 D．点动成线，线动成面，面动成体
4．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染
面积为200cm2，如果 30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记
数法表示为（ ）
A．6 107cm2 B．0.6 106cm2 C．6 106cm2 D．60 106cm2
5．下列运算正确的是（ ）
A．2a a 2 B． 2a3 3a2 6a6
2
C． 3a3b 3a6b2 D． ( 3)2 3
6．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源 P点照射到抛物
线上的光线 PA，PB等反射以后沿着与 EPF平行的方向射出，若 CAP 45 ， APB 100 ，
则 DBP的度数为（ ）
A． 45 B．50 C．55 D．无法确定
7．实验室需要配制10%的盐水溶液，现有 100克5%的盐水、50克盐（100%浓度）和 100
克水。若需将原溶液浓度提升至10%，需加入多少克盐，列方程正确的是（ ）
x 5 10 5 10
A． B．
100 x 100 100 x 100
x 10 10 x 10
C． D．
100 x 100 100 x 100
8．交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其
中 R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，R0 为定值电阻，电源电压 U不变．闭
合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（ ）
1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比．
2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和．
u
3．该电路中的电流 I R R0
A．气敏电阻 R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大
C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框
9．图 1是阿基米德的滑动曲尺模型，图 2是其抽象成的几何图形．AB为 O的直径，其延
长线与弦DC的延长线交于点 E，CE CO．若 AOD 60 ，则 AED的度数为（ ）
A．15 B． 20 C． 25 D．30
10．某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图 1所示），其形状是扇形的一部分．图 2是其
平面示意图， AD和BC都是半径的一部分，测得 ADC BCD 120 ，DC 6cm，
AD BC 5cm，则这块宣传版面的面积（单位： cm2）是（ ）
11π 121π
A． 9 3 B． 18 3
6 6
11π 121π
C． 18 3 D． 9 3
6 6
第 II 卷（非选择题 90 分）
二、填空题（共 15 分）
11．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实
23
数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算 5 的一个更为精确的近似分数为 ．请比较大
10
23
小： 5 ．（填“ ”或“ ”）
10
12．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960 cm2，则这两个正方形的
边长之和为 cm .
13．4月 23日是世界读书日，某校举行以“书与远方”为主题的演讲比赛．小吴同学的“演讲
内容”得 96分，“语言表达”得 85分，“仪表形象”得 90分．若按照图中所示的百分比计算，
则她的最后得分是 分．
14．盲道方便了盲人的通行，一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图 1），在部分盲道建
立如图 2所示的平面直角坐标系．已知每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则点
P的坐标为 ．
15．如图，在平行四边形 ABCD中， AD 2AB，E，F分别为BC，AD的中点，连接 EF并
延长至G．满足 FG EF，连接 AG，GD．点M 是DG的中点，连接 AM 交EG于点 H ．若
B 60 ，CD 4，则 FH 的长为 ．
三、解答题（共 75 分）
0
16．（本题 10分）（1，5分）计算： 3 1 cos60 4
2
2
（2，5分）先化简，再求值： x 1 x x 1 ，其中 x 3 1．
17．（本题 6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标为 A 3, 1 、B 2, 3 、
C 1, 2 ．
(1，2分)作出△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1；
(2，2分)以点O为位似中心，在第一象限作出V ABC的位似△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2的
位似比为1: 2；
(3，2分)利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个整点（横纵坐标均为整数的点）P，使
得 PA1 PC2，并写出点 P的坐标．
18．（本题 7分）“少年自当扶摇上，揽星弦月逐日光”值 2025年学业水平考试临近，某中
学为减轻学生备考压力，让学生以轻松的姿态迎接学业水平考试，举行五一假期研学游活动，
选取了 A（微山湖），B（水泊梁山），C（金乡羊山），D（嘉祥武氏祠）四个研学基地，
参加活动的每名中学生必选取且只能选取其中一个研学基地．为了解该校学生对四个基地的
选取情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统
计图和扇形统计图．
(1，2分)在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为______，若该中学有 1000名中
学生参加本次活动，则选择嘉祥武氏祠研学基地的学生大约有______人；
(2，1分)请将条形统计图补充完整；
(3，4分)甲、乙两位同学计划从 A，B，C，D四个研学基地任意选择一个参加研学游活动，
请用列表法或画树状图的方法求两人恰好选取同一个研学基地的概率．
19．（本题 8分）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合
中闪光！从 2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为 15分钟，为
给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买 5个足球和 8个篮球，
需 1350元，购买 10个足球和 4个篮球，需 1200元．
(1，4分)求每个足球、篮球的价格？
4
(2，4分)若该校计划购买足球和篮球共 120个，购买足球的数量不超过篮球数量的 且不低
5
3
于篮球数量的 ，为使购买的总费用W最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为
5
多少元？
20．（本题 9分）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”描述了山寺桃花盛开的美景，体现了
生命独特的韵律与希望．某校学生开展综合实践活动，测量一株花树的最高点离地面的距
离．如图，已知测倾器的高度为1.26米，在测点 P处安置测倾器，测得花树的最高点T 的仰
角 TAC 31 ，在与点 P相距 2.4米的测点Q处安置测倾器，测得花树的最高点T 的仰角
TBC 45 ，求该花树的最高点T 离地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：
sin31 0.52，cos31 0.86， tan31 0.60）
21．（本题 8分）阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
关于“三角形的内切圆”的研究报告
【研究内容】如图1，在V ABC中，三边 AB c，BC a， AC b， I是它的内切圆，切点分别
为D， E， F ，如何求 AD、 BD、CE的长呢？
【解法】 I是V ABC的内切圆，切点为D， E， F ， AD AF， BD BE，CE CF．设
x y c
AD AF x， BD BE y，CE

CF z，则有 y z a， x y z ▲，如果设 p ▲，那

x z b
x p a

么有 y p b．

z p c
任务：
(1，2分)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
(2，3分)如图 2，这是一张三角形纸片 ABC， O为它的内切圆，小悦沿着与 O相切的DE
剪下了一个三角形纸片 BDE，已知 AC 4cm，AB 6cm，BC 5cm，求三角形纸片 BDE
的周长．
(3，3分)如图3，V ABC的内切圆O与BC，AB，AC分别相切于点D，E，F， A 90 ，
BD 3，CD 2，求 S ABC ．
22．（本题 12分）综合与实践
某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图 1所示的抛物线，底部宽度 AB为
12米，抛物线的最高点 C距离 AB的高度为 6米，以 AB所在直线为 x轴，线段 AB的中垂
线为 y轴建立平面直角坐标系．
(1，3分)求这条抛物线的解析式；
(2，5分)在隧道修建的过程中，需要搭建如图 2所示的支架．四边形DEFG，四边形HFQR
和四边形 PQMN都是矩形，点 E，点 F，点 Q和点 M均在同一直线上，点 D，点 H，点 R，
点 N都在抛物线上，点 G和点 P分别在HF和 RQ上，且DG PN 1米，除线段 EM 外，
这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值；
(3，4分)如图 3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基 AT ,BJ 宽均为 2米，该部门
计划在点 T正上方和点 J正上方之间的抛物线部分设计多列LED灯，使隧道顶部呈现五彩
缤纷的图案．若相邻两列LED灯的水平距离为 0.3米，LED灯对称分布，请你给出一种符合
条件的LED灯的列数，并说明理由．
23．（本题 15分）综合与探究
【问题情境】已知△ABC为直角三角形纸片，其中 ACB 90 ．在数学活动课上，进行如
下探究活动．
活动一：O为 AC上一点，将△ABC绕点O旋转180 ，得到 DEF，A，B，C的对应点分别
为D，E，F．连接 AE，BD．
【观察发现，2分】如图 1，四边形 ABDE的形状为___________．
【深入探究】如图 2，若 BC 3 cm，AC 4 cm，当四边形 ABDE为矩形时，求 AO的长．
活动二：如图 3，取 AB的中点 P，将△ACP绕点 P顺时针旋转 0 180 角，得到
MNP，A，C的对应点分别为M，N，连接CM，AN ．
【拓展提高，13分】
①猜想 AN与CM的位置关系，并给予证明．
②如图 3，当 PM∥AC时， ANP的平分线 NG∥BC，若点 P到 NG的距离为 3，直接写出
CM的长．数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A D C A D B D
11．
12． 40
13．91
14． 11,1
4
15．
3
5
16．（1） ；（2） x 1, 3
2
17．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如上图，△A2B2C2即为所求；
（3）如上图，点 P坐标为 0,1 ．
18．(1)86.4 ，160
(2)
1
(3) 4
19．（1）解：（1）设每个足球、篮球的价格分别为 x， y元，
5x 8y 1350
由题意得：
10x
，
4y 1200
x 70
解得：
y 125
，
答：每个足球 70元，每个篮球 125元．
（2）设购买篮球的数量为 n个，则购买足球的个数为 (120 n)个，
购买的总费用W 70(120 n) 125n 55n 8400．

120 n
3
n
5
由题意得： ，
120 n 4 n
5
解得：66
2
n 75，
3
55 0，
W 随 n的增大而增大，
又 n是整数，
当 n 67，即120 n 53时，购买的总费用W最低，
最低总费用为55 67 8400 12085（元）．
答：当购买足球 53个、篮球 67个时，购买的总费用W最低，最低总费用为 12085元．
20．解：如图，过点T 作TH PQ，交 PQ的延长线于点 H ，延长 AB交TH 于点G，设TG x，
根据题意，得： TAC 31 ， TBC 45 ，AB∥PQ，AP PQ，BQ PQ，AP BQ 1.26，
PQ 2.4，
∴ APQ BQP BQH H 90 ，
∴ ABQ 90 GBQ， BGT H 90 ，
∴四边形 APQB，四边形 BQHG都是矩形，
∴GH BQ AP 1.26， AB PQ 2.4，
在Rt△BGT， BG
TG x
x，
tan TBG tan 45
∴ AG AB BG 2.4 x，
TG x
在Rt AGT ， tan TAG tan 31 0.6，即 0.6，
AG 2.4 x
解得： x 3.6，
经检验： x 3.6是原方程的解且符合题意，
∴TH TG GH x 1.26 3.6 1.26 4.86 4.9（米），
∴该花树的最高点T 离地面的距离约为 4.9米．
21．（1）解： I是V ABC的内切圆，切点为D， E， F ，
AD AF， BD BE，CE CF，
x y c
设 AD AF x， BD

BE y，CE CF z，则有 y z a，

x z b
三式相加可得 2x 2y 2z a b c，
x y z a b c ，
2
a b c
故答案为： ；
2
（2）解： ABC的周长为 4 5 6 15，
15由题意得 p ，
2
15 7
如图，设切点分别为M ，N， R，则 BM BN 4 ，
2 2
DM DR， EN ER，
DE DM EN，
三角形纸片 BDE的周长 BD BE DE BD BE DM EN ，
BM BN 2 7 7cm ；，
2
（3）解：设 AE AF x，依题意得 BE BD 3，CD CF 2，
AB x 3， AC x 2，
BC BD CD 5，
根据勾股定理可得 (x 3)2 (x 2)2 52，整理得 x2 5x 6 0，
解得 x 1或 x 6(不合题意，合去 )，
AE AF 1，
AB 4， AC 3，
1
S ABC AB AC
1
4 3 6．
2 2
22．（1）解：由题意可得， A 6,0 ,B 6,0 ,抛物线的最高点为C 0,6 ，
设抛物线解析式为 y ax2 6 ,
把 B 6,0 代入得到，0 36a 6，
1
解得 a ，
6
∴ y
1
x2 6 6 x 6 ；
6
（2）解：设Q p,0 0 p 5 ，

则由已知及抛物线的对称性可知， R p,
1
p 2 6 ,M p 1,0 ，
6
N p 1, 1 p 1 2 6
1 2 1 2
6
,H p, p 66
，D p 1, p 1 66 ，
F p,0 ,E p 1,0 ，
DE MN 1∴ p 1
2 6 ， 6
FH QR 1 p
2 6 米，HR 2 p米，
6
设搭建支架需要钢材的长度为W米，
∴W DE MN FH QR HR DG PN 2
1 p 1 2 1 2 6 2 p 6 2 p 1 1 6 6
2 p 79 1 2 ，
3 3
2
∵ 0,0 p 5，
3
∴当 p 1 79时，W 取得最大值为 3 ，
79
即需要钢材长度的最大值为 3 米；
（3）符合条件的LED灯的列数为27或 26，理由如下：
由已知可知，TJ 12 2 2 8（米），OT OJ 4米，
∵相邻两列LED灯的水平距离为0.3米，LED灯对称分布，
∴若顶部 C处安装一列LED灯,则OC的两旁还可以各安装 4 0.3 13（列）
此时安装LED灯的列数为1 13 2 27（列），
若顶部 C处不安装LED灯,则最顶部的两列灯应该在OC的两侧，且与OC的水平距离都为
0.15米，
4 0.15 0.3 12
此时安装LED灯的列数为 2 12 2 26（列），
综上可知， 符合条件的LED灯的列数为 27或26
23．平行四边形；
深入探究：如图 1，连接 BE，
设 AO x．
四边形 ABDE为矩形，
BO AO x，即OC 4 x．
ACB 90 ，
2
BO2 BC 2 OC 2，即 x2 9 4 x ．
x 25解得 ．
8
AO 25即 cm；
8
拓展提高：
① AN∥CM .
证明： ACB 90 ，P为 AB的中点，
CP AP BP．
由旋转可得 AP CP MP NP，
ACP CAP MNP NMP， NAP ANP， CMP MCP，
MCP ACP CAP NAP 180 ．
AN∥CM .
②如图 2，延长MP，分别与 NG，NA相交于点H，R，设MP与BC的交点为 E．
PM∥AC，NG∥BC，
四边形CEHG为平行四边形，
又 ACB 90 ，
四边形CEHG为矩形，
NHP GHE 90 ．
又 NG为 ANP的平分线，
RNH PNH ，
NH NH，
NRH≌ NPH ASA ，
NR NP，RH PH，
RP 2PH 2 3．
由①得 AN∥CM，
NPR NRP CMP PCM ．
又 NP PM，
RNP≌ CPM AAS ，
CM RP 2 3．

展开更多......

收起↑