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22024-2025 学年度下学期八年级五月联考 8 a b 2．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 b b a a 的结果是（ ）
数学试卷
（总分：120 分，考试时间：120 分钟） A． 2b B． 2b 2a C．2a D． 2b 2a
一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 9．如图，在矩形 ABCD中， AB 6,AD 10，将△ABC 沿 AE翻折，使得点D落在边 BC上的点
求） D 处，则CE的长是（ ）
1 x．若代数式 有意义，则实数 x
10 8
的取值范围是（ ） A．3 B．4 C． D．
x 1 3 3
A． x 1 B． x 0 C． x 0 D． x 0且 x 1 10．如图，正方形 ABCD外取一点 E，连接 AE、BE、DE．过点 A作 AE的垂线交 DE于点 P，
2．下列计算正确的是（ ） 2
若 AE＝AP＝1，PB= 3．下列结论：①EB⊥ED；②点 B到直线 DE的距离为 ； ③S
A B C D 2
△
． ． ． ．
2+1
3．在△ABC 中， A B +S = ； ④S ＝2+ 2．其中正确结论的序号是（ ）， ， C的对边分别是 a，b，c，则下列条件不能判定△ABC 为直角三 APD △APB 2 正方形 ABCD
角形的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
A． A+ B C B． A : B : C 3 : 4 : 5 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
2 11．在平行四边形 ABCD中， B D 110 ， B的度数是 ．C．a :b : c 1:1: 2 D． c b c b a
12．最简二次根式 12 5m与 7 是同类二次根式，则m ．
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 13．如图，数轴上点 A表示的数为 2,Rt△ABC的直角边 AB落在数轴上，且 AB长为 2 个单位
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 长度，BC长为 2 个单位长度，若以点 A为圆心，以斜边 AC长为半径画弧交数轴于点 D，则点
D表示的数为 ．
5．在△ABC 中， AC 3， BC 4， AB 7 ，则△ABC 的面积为（ ）
3
A． 7 B． C．6 D．6 7
2 2 7
6．菱形 ABCD的边长为 4，有一个内角为120 ，则较长的对角线的长为（ ）
A．4 B．4 3 C． 2 3 D．8
7．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在 AB 第 13 题图 第 15 题图
外取一点C，然后步测出 AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为9 m，由此估测A，B 14．已知 a+b＝6，ab＝7，则代数式 a b 的值为 ．
之间的距离约为（ ） a b
b a
15．如图，菱形 ABCD的周长为8， ABC 60 ，P，Q分别是 BC、BD上的动点，则CQ PQ
的最小值为 ．
三、解答题（共 9 题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（3+3=6 分）计算
（1） ；（2）
第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图
A．12m B．15m C．18m D． 21m
17．（6分）设正方形网格中每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无 （1）问 CH是否为从村庄 C到河边的最近路？（即问：CH与 AB是否垂直？）请通过计算
刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） 加以说明；
（2）求原来的路线 AC的长．
22．（10 分）请阅读下列材料：
已知 ，求代数式 x2﹣4x﹣7的值．
学生甲根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：
（1）在图 1的正方形网格中画出格点线段 ，并画出 AB的中点 M；（保留画图痕迹） 由 得 ，则（x﹣2）2＝5，即 x2﹣4x+4＝5，
（2）在图 2中画出格点△CDE，使 ， ， ； ∴x2﹣4x＝1．把 x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．
（3）在（ 2）的条件下，直接写出△CDE 的面积 ，点 C 到 DE 的距 请运用上述方法解决下列问题：
离 ． （1）已知 ，求代数式 x2+2x+7的值；
18.（6 分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，E、F在 BD上，且
（2）已知 ，求代数式 3x2+3x+2025的值．
BE＝DF，求证：四边形 AFCE是平行四边形．
23．（11 分）如图，在矩形 ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点 D作 DF⊥BE，交 BE的延
长线于 F，连结 AF，CF．
（1）求证：AE＝AB；
（2）求证：AF⊥CF；
（3）若 AB＝6，BC＝8，求 CF的长．
19．（8 分）如图，在Rt△ABC中， C 90 ，E是 AB上的点，且 AE AC，DE AB交 BC
于D， ABC 30 ，CD 3．
(1)求DE的长； 24．（12 分）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四
(2)求 ADB的面积 边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中
方四边形”．
20．（8分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形折叠，折痕为 EF，使点 C与点 A
重合，点 D与点 G重合，连接 CF．
（1）判断四边形 AECF的形状，并说明理由；
（2）求线段 EC的长．
（1）性质探究：如图 1，已知：四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、AD
的中点，AC、BD交于点 O，AC＝BD，且 AC⊥BD，求证：四边形 ABCD是“中方四边形”；
（2）问题解决：如图 2，以锐角△ABC的两边 AB，AC为边长，分别向外侧作正方形 ABDE
21．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 AB＝AC， 和正方形 ACFG，求证：四边形 BCGE是“中方四边形”；
由于某种原因，由 C到 A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水 （3）拓展应用：如图 3；已知四边形 ABCD是“中方四边形”，M，N分别是 AB，CD的中
点 H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路 CH，测得 CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB 点，若 MN＝2，求 AB+CD的最小值．
＝1.8千米．
2024-2025 学年度下学期八年级五月联考
数学答案
一.选择题（每题 3分，共 30 分）
1~~~5：DABDA 6~~~10：BCADC
二.填空题（每题 3分，共 15 分）
11.55°；12.1；13.2 2 2；14. ；15. 3
三.解答题
16.（1）（3分）解：原式= ………………………………………（2分）
= ……………………………………………………………………（3分）
（2）（3分）解：原式= 5﹣4﹣（3﹣2 +1）
= 5﹣4﹣3+2 ﹣1 …………………………………………（2分）
= …………………………………………………………（3分）
17.（6 分）解：（1）如图 1所示，线段 AB即为所求，点 M为 AB的中点； ……（2分）
（2）如图 2所示，△CDE即为所求（答案不唯一）； ……………………………（2分）
（3）故答案为：5， …………………………………………………………………（2分）
18.（6 分）证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形 AFCE 为平行四边形． …………………………………………（6分）
19.（8 分）
（1）解： C 90 ，DE AB，
C AED 90 ，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AC AE
，
AD AD
Rt ACD≌Rt AED HL ， ……………………………………（2 分）
∴DE CD 3；…………………………………………………（3 分）
（2）解： ABC 30 ，
BAC 60 ，
由（1）得Rt△ACD≌Rt△AED，
∴∠CAD=∠EAD=30°，
∵CD=3
AD 2CD 6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC AD2 CD2 3 3， ……………………………（3 分）
AB 2AC 6 3 ， ………………………………………………………………………………… （4 分）
1
∴S△ABD= × 6 3
2 ×3=9 3． ……………………………………………………………………（5 分）
20.（8 分）解：（1）四边形 AECF 为菱形，理由如下： …………………………（1分）
由翻折可知，EA=EC，FA=FC，∠CEF=∠AEF，
∵矩形 ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF， ………………………………………………………………………………………………（2分）
∴AE=EC=AF=FC，
∴四边形 AECF 为菱形； …………………………………………………………………………（4分）
（2）设 BE=x,则 CE=AE=8-x,（1 分）
2
由勾股定理得，42+x2=（8-x）， …………………………………………………………（2分）
解得 x=3，………………………………………………………………………………………………（3分）
∴CE=8-3=5． …………………………………………………………………………………………（4分）
21.（8 分）解：（1）是，……………………………………………………………………（1分）
理由是：在△CHB 中，
∵CH 2+BH 2=（2.4） 2+（1.8） 2=9……………………………………………（2分）
BC 2=9
∴CH 2+BH 2=BC 2 ………………………………………………………………………（3分）
∴CH⊥AB，
所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路……………………………………………………（4 分）
（2）设 AC=x
在 Rt△ACH 中，由已知得 AC=x,AH=x-1.8，CH=2.4 …………………………（1 分）
由勾股定理得：AC 2=AH 2+CH 2
∴x 2=（x-1.8） 2+（2.4） 2
解这个方程，得 x=2.5，…………………………………………………………………………（3 分）
答：原来的路线 AC 的长为 2.5 千米．…………………………………………………（4 分）
22.（10 分）解：（1）∵ = 2 1，
∴ + 1 = 2，
∴（x+1）2＝2，
∴x2+2x+1＝2， …………………………………………………………………………………………（2分）
∴x2+2x＝1，
∴x2+2x+7＝1+7＝8； …………………………………………………………………………………（4分）
5 1
（2）∵ = 2 ，
∴2 = 5 1，
∴（2x+1）2＝5， ……………………………………………………………………………………（2分）
∴4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
∴x2+x＝1， ………………………………………………………………………………………………（4分）
∴3x2+3x+2025
＝3（x2+x）+2025
＝3×1+2025
＝3+2025
＝2028．………………………………………………………………………………………………………（6分）
23.（11 分）（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= 12∠ABC＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB， …………………………………………………………………………………（2分）
∴AB＝AE； ……………………………………………………………………………………………（3分）
（2）证明：连接 AC、BD交于点 O，连接 OF
∵四边形 ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OD，
∵DF⊥BE，
1
∴OF= 2BD，
∴OF＝OB，
∴OF＝OA＝OC，……………………………………………………………………………… （2分）
∴∠OFA＝∠OAF，∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFA+∠OFC＝∠OAF+∠OCF，
∵∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF＝180°，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥CF；…………………………………………………………（4分）
（3）解：∵∠DEF＝∠AEB＝45°，∠EFD＝90°，
∴∠EDF＝∠DEF＝45°，
∴FE＝ED，
∵∠AEF＝180°﹣∠DEF＝135°，∠CDF＝∠ADC+∠EDF＝135°，
∴∠AEF＝∠CDF，
∵CD＝AB，AB=AE
∴CD＝AE，
∴△CDF≌△AEF（SAS），
∴FA＝FC，
∵AF⊥CF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴FC= 22 AC，………………………………………………………………………………… （2分）
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC= 2 + 2 =10，
∴CF＝5 2．………………………………………………………………………………… （4分）
24.（12分）（1）证明：∵E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，
1
∴ = 2 ， ∥ ， =
1
2 ， ∥ ，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形 EFGH是平行四边形；………………………………………………（2分）
∴EH∥FG；
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD；
∵FH是△ABD的中位线，
∴ ∥ 1， = 2 ，
∴EH⊥EF；
∴四边形 EFGH是矩形；
AC BD = 1∵ ＝ ， 2 ， =
1
2 ，
∴EH＝EF，
∴四边形 EFGH是正方形，
∴四边形 ABCD是“中方四边形”；…………………………………………………………（4分）
（2）证明：如图，连接 BG、EC，
∵四边形 ABDE和四边形 ACFG都为正方形，
∴AB＝AE，∠EAB＝90°，AG＝AC，∠GAC＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠BAC+∠GAC，
即∠EAC＝∠BAG；
在△AEC和△ABG中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△AEC≌△ABG（SAS），
∴EC＝BG，∠AEC＝∠ABG；…………………………………………………………… （2分）
∵∠CEB+∠EBG
＝∠AEB﹣∠AEC+∠ABE+∠ABG
＝∠AEB+∠ABE
＝180°﹣∠EAB
＝90°，
∴EC⊥BG；
∵EC＝BG，EC⊥BG，
∴由（1）知，四边形 BCGE是“中方四边形”；…………………………………………（4分）
（3）解：如图 3，分别取 AD、BC、AC的中点 E、F、H，连接 ME、EN、NF、FM、EH、
FH、EF；
∵四边形 ABCD是“中方四边形”，
∴四边形 EMFN是正方形，
∴EF＝MN＝2；
∵AD、BC、AC的中点分别是 E、F、H，
∴EH、FH分别是△ADC，△ABC的中位线，
∴AB＝2HF，CD＝2EH， （2
分）
∴AB+CD＝2（HF+EH）≥2EF＝4，
故当点 H在线段 EF上时，EF取得最小值，
从而 AB+CD取得最小值，且最小值为 2EF＝4．…………………………………… （4分）

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