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2025年安徽省安庆市5月三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（30分）
1．有理数的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个长方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则挖去的几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．三棱锥
4．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（ ）
A．2026 B．4 C．3 D．
6．如图，的对角线相交于点，，，平分交于点，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若一次函数的图象经过点，点A关于x轴的对称点B在双曲线上，则k的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
8．如图，一个正方体的表面涂上颜色，按棱四等分点把这个正方体切割成等大小正方体后，将这些小正方体装在一个不透明的袋子中，摇匀后从中任意摸出一个小正方体，则下列说法正确的是（ ）
A．摸出的小正方体一面涂色的与没有面涂色的概率相同
B．摸出的小正方体一面涂色的与三面涂色的概率相同
C．摸出的小正方体两面涂色的与三面涂色的概率相同
D．摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同
9．在四边形中，，与相交点O，下列条件不能判定四边形是菱形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（）
A． B． C． D．
二、填空题（20分）
11．计算： ．
12．在过去的2024年，安徽省计划义务教育薄弱环节改善与能力提升项目总数为981个，计划投入资金元，数据可用科学记数法表示为 ．
13．如图，四边形内接于，，D是的中点．若的半径为1，，则扇形的面积为 ．
14．已知抛物线与轴交于点，，抛物线与轴交于点．
（1）点的坐标为 ；
（2）当时，点是抛物线在第一象限上的一动点，连接，，，若随的增大而增大，则的取值范围是 ．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．（8分）
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O，A，B，C均在格点（网格线的交点）上．（10分）
(1)画出线段，使线段，与关于点O成中心对称；
(2)用无刻度的直尺画出的平分线，交于点P，保留画图痕迹，直接写出的值．
17．观察以下等式：（10分）
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
18．（12分）如图，一测量船在点A处测得灯塔P在A的北偏东的方向上，测量船以20海里每小时的速度向正东方向航行，3小时到达点B，测得灯塔P在B的北偏西的方向上，求灯塔P到测量船的航行路程的最短距离．（结果保留0.1海里，参考数据：，，．）
19．根据下列材料解答相应问题：（10分）
材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．
材料2 列车运行时刻表 车次A站B站C站发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻动车列车8：009：009：1010：50高铁动车8：30途经B站，不停车10：30
材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行．
问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______；
问题2 设动车列车的行驶速度为，高铁列车的行驶速度为，若，则______．
问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？
20．如图，是的内接三角形，是的直径，，点D在上，连接，，作于点M，于点N．（10分）
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．综合与实践 心胸有六尺，世间颂家风（10分）
【调查目的】2024年10月17日，习近平考察安徽省桐城市的六尺巷，2025年习主席在新年贺词中再次提出“六尺巷礼让家风代代相传”．好的家风对青少年的健康成长起着重要的作用．某校在做“校风与家风”的课题研究，并开设相应的校本课程．为此举行了“校风与家风”的知识竞赛（满分100分），抽查了部分同学的成绩进行数据分析．
【数据收集与整理】
收集 将被抽查的九年级学生竞赛分数x（单位：分）按从小到大的顺序收集如下：
…，69，70，72，72，73，73，74，75，76，78，78，78，79，80，80，81，82，83，84，84，85，85，86，87，…
整理 ①各年级抽查人数的扇形统计图如图所示：
②抽查的50名九年级学生竞赛的分数整理后绘制成频数分布表，如下表所示
分组 频数 频率 组中值
3 55
10 65
m 75
n 85
10 95
③七年级抽查的学生有8人90分及90分以上，八年级抽查的学生有10人90分及90分以上．
【数据分析】请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查了______人，七年级抽查了______人；
（2）①表中m的值是______，n的值是______；
②表中每组的组中值可以近似作为该组的平均分，求抽查的九年级学生的平均分．
【数据应用】（3）已知该校七年级学生有800人，八、九年级学生各有750人，请你估计该校有多少人90分及90分以上．
22．如图，，，点D是上一点（），连接，将绕点A逆时针旋转得到，M为的中点，，的延长线相交于G，与相交于点F．（15分）
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
23．如图，抛物线与x轴的两个交点为，，与y轴交于点C，直线经过点A，C．（15分）
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点．
①作轴于点D，交直线于点E，若，求的长；
②作轴于点N，与抛物线的另一交点为M．已知点Q是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．若，求的值．
《2025年安徽省安庆市5月三模数学试题》参考答案
1．A
解：有理数的相反数是2．
故选A．
2．B
解：A、与是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．B
解：根据三视图可得被挖去的几何体的主视图是带有圆心的圆，左视图和俯视图都是三角形形，则被挖去的几何体为圆锥．
故选：B
4．A
解：由得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
5．D
解：根据题意得：，且，
解得：且，
∴四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
6．C
解：在中，，
，
∵平分交于点，
∴，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
故选：．
7．B
解：的图象经过，点，则，
点A的坐标为，
点A，B关于x轴对称，
点B的坐标为．
点B在双曲线上，
．
故选：B．
8．D
∵已知正方体按棱四等分点切割，
∴切成的小正方体总个数为个．
∴三面涂色的小正方体：位于正方体的顶点处，正方体有个顶点，所以三面涂色的小正方体有个．
两面涂色的小正方体：在每条棱除顶点外的位置，每条棱上有个，正方体有12条棱，则两面涂色的小正方体个数为个．
一面涂色的小正方体：在每个面除棱外的位置，每个面上有个，正方体有个面，所以一面涂色的小正方体个数为个 ．
没有面涂色的小正方体：在正方体内部，个数为个 ．
摸出三面涂色小正方体的概率．
摸出两面涂色小正方体的概率．
摸出一面涂色小正方体的概率．
摸出没有面涂色小正方体的概率．
∴摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同，三面涂色的与没有面涂色的概率相同，
故选：D．
9．D
对于选项A，如图所示，
∵，
．
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形，
选项A可以判定四边形为菱形．
对于选项B，，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形，
选项B可以判定四边形为菱形．
对于选项C，，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
∴
，
四边形是菱形，
选项C可以判定四边形为菱形．
对于选项D，如图满足，，，
选项D不可以判定四边形为菱形．
故选：D．
10．A
解：过点作于点，交于点；过点作于点．
∵四边形是正方形，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵正方形边长为，
∴．
∵，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，即．
∵，且，
∴，
∴．
在中，
根据勾股定理，
∵，
∴．
在中，
，
将，代入可得：
则，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线，
故选：A．
11．
解：，
故答案为：．
12．
解：，
故答案为：．
13．
解：，
．
，
，
，
，
，
扇形的面积为．
14．
解：（）由，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴点，
故答案为：；
（）当时，，
∵与轴交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
，解得
∴直线的解析式为，
作轴于点，交于点，
∴
，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
故答案为：．
15．，
解：
．
当时，原式．
16．(1)图见解析
(2)图见解析，
（1）解：连结，并延长到，使得，延长到使得，连结，线段即为所求作；
（2）延长到，使，连结，交网格点于点，
∵，，
∴，
∴点为的中点，
连结，
∵，，
∴的角平分线，交于点P，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了网格作图中心对称图形，用无刻度的直尺作角平分线，等腰三角形三线合一，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
17．(1)
(2)，证明见解析
（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则第5个等式为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
原等式成立．
18．灯塔P到测量船的航行路程AB的最短距离是15.9海里
解：如图，过点P作于点C，
设海里．
在中，，，，
海里．
在中，，，
，
海里．
，
，
解得．
答：灯塔P到测量船的航行路程AB的最短距离是15.9海里．
19．问题1：60，100；问题2：；问题3：高铁列车在9：30追上动车列车
解：问题1：动车列车从A站到B站行驶了，从B站到C站行驶了，
故答案为：60，100；
问题2：根据题意得动车列车从A站到C站共需分钟，高铁动车从A站到C站共需，
∴，
∴，
故答案为：；
问题3：，
高铁列车在B，C之间追上动车列车，
设动车列车开出被高铁列车追上，
由题意得，
，
，
解得．
答：高铁列车在9：30追上动车列车．
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：是的直径，
．
，
．
，
．
（2）解：延长交于点E，连接，过点O作于点F，交于点G，连接．
是的直径，
．
，
四边形是矩形，
，，
．
，
，，
，四边形是矩形，
．
，
，
，
，
．
21．（1）150，40；（2）①12，15；②抽查的九年级学生的平均分是分；（3）该校约有435人90分及90分以上
解：（1）由题意可知抽查了50名九年级学生，占总体的，
所以本次共抽查了（人），
七年级抽查了（人）．
故答案为：150；40．
（2）①由收集的数据可知数据在分组中的有12人，故．
∴．
故答案为：12；15．
②
答：抽查的九年级学生的平均分是分．
（3）（人）．
答：该校约有435人90分及90分以上．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）证明：，，
．
由旋转可知，，，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
．
为的中点，
，，
，
．
，
，
，
，
．
（3）解：如图，在上取点N，使，连接．
，M为的中点，
．
，，
，
，，
．
，
，
．
，
，
，
，
．
23．(1)
(2)①4；②
（1）解：抛物线经过点A，B，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：①点在抛物线上，
，
，
，
解得，（舍去），
，
点P的坐标为，
直线经过点A，
，
解得，即，
把代入得，
，
；
②过点Q作轴于点H，交的延长线于点G，如图，则，
点是抛物线上的一个动点，
，
点G的坐标为，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
点P在直线的右边，
轴，
点P，M关于直线对称，
，
，
点Q在抛物线上，
，
，
．

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