资源简介

2025北京人大附中朝阳学校初二（下）开学考
数学
完成时间：80分钟满分：100分
一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. 2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3. 下列计算错误的是（）
A.
B.
C.
D.
4. 已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是（）
A. B. C. 或 D. 以上都不对
5. 如图所示，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE等于（）
A. 20° B. 18° C. 45° D. 30°
6. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A. B.
C. D.
7. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（）
A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD
8. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论：
①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（共24分．每题3分）
9. 因式分解：3x3﹣12x=_____．
10. 若分式的值为正数，则需满足的条件是______．
11. 十二边形的内角和等于_________°．
12. 若关于的分式方程无解，则的值为______．
13. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为______．
15. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______
16. 如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合）
17. 列方程解应用题：
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．
18. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.
19. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
（1）将分式分解的结果为________；
（2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
（3）当时，判断与的大小关系，并证明．
20. 已知x2﹣3x=1，求代数式（x﹣1）（3x+1）﹣（x+2）2﹣4的值．
21. 计算
22. 如图，在6×7的正方形网格巾，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出与关于直线l对称的；
（2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=．
（3）在直线上找一点P．使的长最短．
23. 如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求的大小；
（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
24. 在平面直角坐标系中，将过轴上的点，且平行于轴的直线，记作直线．对于图形和，若存在直线，使得图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的一阶包含图形．若存在直线与直线且，图形关于直线的对称图形记为图形，图形关于的对称图形都在图形内（包括边界），则称图形是图形的二阶，包含图形，记为图形关于图形的包含轴距．
已知，，，，
（1）若，
①是线段的一阶包含图形，则______；
②是线段的一阶包含图形，则的取值范围是______；
（2）若点为四边形的二阶，1包含图形，则的取值范围是______；
（3）当时，若，，是四边形的二阶，包含图形，则的最大值与最小值的差是______．
参考答案
一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 【答案】B
【详解】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
其中轴对称图形有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
2. 【答案】B
【详解】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将0.002用科学记数法表示为：．故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
3. 【答案】C
【详解】本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别根据平方差公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，故原写法错误，符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选：C．
4. 【答案】B
【详解】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答
【详解】解：当腰长为时，不满足三角形三边关系，
当腰长为时，，满足三角形三边关系，此时三角形的周长是，
故选：B
5. 【答案】A
【详解】根据高线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得出∠BAE的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD得出答案．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BAD=90°-∠B=14°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=180°-∠B-∠C=68°，
∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =34°-14°=20°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的高线、角平分线的定义以及三角形的内角和定理，掌握基本概念是解题的关键．
6. 【答案】D
【详解】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题关键．
判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③等号左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【详解】解：A、，等号左右两边不相等，故不符合题意；
B、，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D、是因式分解，符合题意，
故选：D．
7.【答案】D
【详解】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
8. 【答案】B
【详解】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，，
故①正确，符合题意；
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
故②正确，符合题意；
，，，
；
故③正确，符合题意；
根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍，
故④错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（共24分．每题3分）
9. 【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【详解】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10. 【答案】##
【详解】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得．
【详解】解：∵分式的值为正数，，
∴，解得，
故答案为：．
11. 【答案】1800
【详解】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不大．边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】解：十二边形的内角和等于：；
故答案为：1800．
12. 【答案】1或
【详解】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键．
先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可．
【详解】解：，
方程两边乘，得，
整理，得．
当，即时，分式方程无解．
当时，，分式方程无解．
把代入整式方程，得，解得．
综上，m的值为1或．
故答案为：1或．
13. 【答案】
【详解】本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的判定与性质，由题意得，四边形是正方形，即可求解；
【详解】解：如图所示：
可得：，
，
∴，四边形是正方形，
∴，
∴
故答案为：
14. 【答案】
【详解】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∵，轴，
∴，
又，，
∴，
∵，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
15. 【答案】
【详解】设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】或或
【详解】本题考查了全等三角形的性质；设点经过t秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出t的值即可．
【详解】解：设点经过秒时，与全等；此时，
分情况讨论：
（1）当点在点的左侧时，，则，
∴，
∴；
（2）当点E在点B的右侧时，
①，时，，
∴；
②，时，，
∴．
综上所述，点经过或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
17. 【答案】港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米.
【详解】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）米/时．根据“从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列方程，求解即可．
【详解】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）米/时．依题意得：
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键是找出相等关系，根据相等关系列方程．
18. 【答案】见解析.
【详解】证法一：根据平行线的性质可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形.
证法二：根据平行线的性质可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形.
【详解】证明:
证法一： ∵ CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD＝60°．
∵∠B＝60°，
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°．
∴∠A＝∠B＝∠ACB．
∴ △ABC是等边三角形.
证法二： ∵ CD∥AB，
∴∠B＋∠BCD＝180°．
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∴∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°．
在△ABC中，
∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°．
∴∠A＝∠B＝∠ACB．
∴ △ABC是等边三角形.
【点睛】本题考查平行线的性质和等边三角形的判定.
19. 【答案】（1）；
（2）1，3；（3），证明过程见详解
【详解】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键．
（1）根据题中示例进行变形即可得出答案；
（2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案；
（3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
【小问3详解】
证明：
，
，，
，，
．
20. 【答案】﹣7．
【详解】原式利用整式的乘法公式和完全平方公式展开后化简，再把x2﹣3x=1整体代入求得数值即可．
【详解】解：原式=3x2﹣2x﹣1﹣（x2+4x+4）﹣4
=3x2﹣2x﹣1﹣x2﹣4x﹣4﹣4
=2x2﹣6x﹣9．
∵x2﹣3x=1．
∴原式=2（x2﹣3x）﹣9=2﹣9=﹣7．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，属于基本题型，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21. 【答案】
【详解】本题考查了分式的混合运算，先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法约分化简即可．
【详解】解：
．
22. 【答案】（1）见解析（2）
（3）见解析
【详解】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知轴对称图形对应点到对称轴上一点的距离相等是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）连接交l于P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解；由题意得：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图所示，点P即为所求；
连接交l于P，
由对称性可得，则，
∴当三点共线时，最小，即的长最短．．
23. 【答案】（1）补全图形见解析：
（2）
（3），证明见解析
【详解】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据等边三角形的性质得到，，则，根据对称的性质得到，求得
，于是得到．
（3）如图：延长到M，使，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则得到，再运用等量代换即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意补全图形如下：
．
【小问2详解】
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵点C关于直线的对称点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：线段之间的数量关系是，证明如下：
证明：如图：延长到M，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
24. 【答案】（1）①，②
（2）
（3）2
【详解】(1)①根据定义，利用中点坐标公式即可得解；②满足关于直线对称点落在对角线上即可；
(2)先算出点关于直线，直线的二阶对称点，要使点为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可得解；
(3)先分别识别出四边形为正方形，是等腰直角三角形，要使是四边形的二阶包含图形，则需要满足关于直线，直线两次对称后，落在四边形内即可，讨论和的横坐标即可得解．
【小问1详解】
解：①关于直线的对称点在线段上，
，
故答案为：；
②关于直线的对称点在线段上，且关于直线的对称点为，
，解得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题可知关于直线对称点，关于直线对称点，要使点为四边形的二阶，1包含图形，只需要点落在对角线上即可，
，，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，，
，，中点为即，中点为即，
与互相平分，
四边形为正方形，
是四边形的二阶包含图形，
关于直线，直线两次对称后，落在四边形内即可，
讨论和的横坐标即可，
点关于直线对称点为，关于直线对称点为，点关于直线对称点为，关于直线对称点为，
当线段落在线段上时满足题意，
如图，
当与重合时，，此时，当与重合时，，此时，
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义，轴对称，中点坐标，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，正确理解题意和利用中点坐标公式求出一次对称点或者两次对称点是解题关键．

展开更多......

收起↑