资源简介

宝安中学2024-2025学年第二学期高一期中考试数学试卷
考试时长：120分钟 卷面总分：150分
2025.4
本试卷共19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 复数满足，则（i为虚数单位）的最小值（ ）
A. 4 B. 5 C. 2 D. 3
5. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 三边均不相等三角形
B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 等边三角形
7. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在ABC中，Q是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知虚数z满足，则（ ）
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第二象限
10. 在中，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，此三角形有两解 B. 面积最大值为
C. 外接圆半径为2 D. 若，则此三角形一定是直角三角形
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则的最大值为2
C. 若，则最大值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则_____.
13. 已知是关于的实系数方程的两个虚根，则___________．
14. 在四边形中，已知，若，，，则的长度为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求和的夹角；
（2）若向量为在上的投影向量，求.
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调区间；
（2）若，，求的值．
17. 如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，.
（1）若，，，求的范围；
（2）若，求的最小值；
18. 如图，与存在对顶角，，，且．
（1）证明：为中点；
（2）若，求长．
19. 已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．
（1）若，的坐标为，求；
（2）若，，求的最大值；
（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．
D
B
C
A
C
D
B
D
AC
ABD
AD
15.（1）解：由向量，
则，解得，
设向量和的夹角为，则，所以，
所以向量和的夹角为.
（2）解：向量为在上的投影向量，可得，
则.
16.（1）因为，
可得最小正周期；
令，解得；
令，解得；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，即，
且，则，
可得，
所以.
17.（1）由，，故，，
则，
，
由，故；
（2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
设，，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
18.（1）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.
故为中点.
（2）如图：
过点做，交与.
则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.
19.（1）由题意，，
∴，
，
∴由，则、，故；
（2）由题意，，
∴，
，
∴由，则、，即，
∴当时，的最大值为12；
（3），
，
∴，，
∵△为等边三角形，
∴，
∴，
， 整理得：且，
∴或，
综上， 当，时，或；
当，时，或；
所以的所有可能值为.

展开更多......

收起↑