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沈丘一高高一年级5月份诊断性考试数学科试卷
一、单选题
1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
A． B． C． D．1
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
3．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则，则
D．若，，，，则
4．已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
6．在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）
A．棱锥 B．棱台 C．棱柱 D．球的一部分
7．在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为
A． B． C．4 D．
8．已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则两点间的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A． B．，则
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．三个平面最多可以把空间分成8部分
B．若直线平面，直线平面，则“与相交”的充要条件是“与相交”
C．若，直线平面，直线平面，且，则
D．若条直线中任意两条共面，则它们共面
11．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为
三、填空题
12．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
13．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
14．如图，正方体的棱长为3，点N在BD上，点M在上，且，平面，则BN的长为 ．
四、解答题
15．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，交于点，且与均为正三角形，为的重心．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
16．如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是正三角形，E是的中点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）若，，求点P到底面的距离.
18．如图，棱长为的正方体中，.
(1)若是线段的中点，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作argz．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将写成三角形式（辐角取主值）．
(2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．
①当时，解关于的方程；
②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为，点，以PA为边作等边，且在的上方，求线段的最大值．沈丘一高高一年级5月份诊断性考试数学科参考答案（详解）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C C C C C AC AC
题号 11
答案 ACD
1．B【详解】画出图像如下图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为；四棱锥的高为，故四棱锥的体积为.则几何体的体积为.故选B.
【点睛】本小题考查空间几何体的结构，考查锥体的体积计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
2．【详解】作长方体，如下图所示：
对于A，若直线直线，直线直线，平面平面，
满足，，此时与相交，A错误；
对于B，若直线直线，平面平面，平面平面，
满足，，此时平面与平面相交，B错误；
对于C，若，则平面内存在直线，又，，
，，，C正确；
对于D，若直线直线，平面平面，平面平面，
满足，，此时，D错误.故选：C.
3．【详解】A：若，，则，错；
B：若，，则或，错；
C：由，，，根据线面平行的性质知，对；
D：如下图，，，，，有相交，错.
故选：C
4．【详解】因为三棱锥中，，，两两互相垂直，
可以将三棱锥补形为长方体，且长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
又，，，
则球的直径，即，
所以外接球的体积为.故选：C
5．【详解】取圆台轴截面如图所示，
外接球球心在中轴线上．
由勾股定理可知，，设，，
则, 解得．
先设的中点到的距离为，
再用等面积法可得：，
则有：，
此时，
从而可知内切球半径，
所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为，
故选：C．
6．c
【分析】先讨论点与点重合，点的轨迹，再分析把点从点向上沿移动，在移动的过程中点的轨迹，从而可得出结论.
【详解】解：若点与点重合，
设的中点分别为，
移动点，则此时点的轨迹为以邻边的正方形，
再将点从点向上沿移动，
在移动的过程中可得点的轨迹是将以邻边的正方形沿向上移动，
最后当点与重合时，得到最后一个正方形，
故所得的几何体为棱柱.
故选：c
7．c
【分析】此三棱锥中点D到平面MNC1的距离为定值，只要C1到MN的距离最小，则ΔMNC1的面积最小，则三棱锥D－MNC1的体积最小．
【详解】如图，面MNC1就是平面ACC1A1，因此D点到面MNC1的距离为定值，由题意是正方形，由对称性知当（或）与重合时，到直线的距离最小，最小值为5，此时，∴．
故选c．
8．C
【详解】因为正三棱柱的外接球和内切球的球心都是正三棱柱上下底面中心连线的中点，
结合正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，
易求得三棱柱外接球半径，
内切球半径，
所以两点间的距离最大值为，
故选：C.
9．AC【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确；
对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误；
对于C，设，则，所以，故C正确；
对于D，举反例，如，则，而，故D错误.
故选：AC.
10．AC
【分析】A选项，当三个平面交于一点时，最多可以把空间分成8部分，A选项正确.B选项，“与相交”推不出“与相交”，所以，B选项错误. C选项，与不平行，且，所以，，故C选项正确. D选项，正方体的4条侧棱不共面，故D选项错.
【详解】A选项，当三个平面平行而不重合时，可以把空间最少分成4部分；当三个平面交于一点时，最多可以把空间分成8部分，故A选项正确；
B选项，“与相交”推不出“与相交”，也可能，故B选项错误；
C选项，因为，，所以，直线是与的交线，因为，，，且，则与不平行，即，故C选项正确；
D选项，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故 D 选项错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B；由棱锥底面积与高为定值判断C；设BE＝x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D．
【详解】在直三棱柱中，，，
底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；
直三棱柱的体积为，故B不正确；
由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值，
××2＝，××＝，故C正确；
设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，
即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题．
12．
【分析】根据直角三角形的性质，结合球的表面积公式进行求解即可.
【详解】取的中点，因为，
所以，
所以三棱锥外接球的球心为，半径为．
故三棱锥外接球的表面积为．

故答案为：
13．
【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，进而得到球的半径，进而根据球体的表面积公式计算即可.
【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：
则，则，
因为球的直径即为长方体的体对角线，
则球的半径为，
所以球的表面积是.
故答案为：.
14．
【分析】根据线面平行的性质定理，作出过且与平面相交的平面，得到交线，从而，再根据作图过程得,，所以得四边形MEFN为平行四边形，所以，根据比例关系计算得出答案.
【详解】如图，作交于点E，作交AB于点F，连接EF．
因为,所以,所以,,,四点共面．
因为平面，所以．
所以四边形MEFN为平行四边形，所以．
因为,,,所以．
又,所以．
因为,,所以,故．
故答案为:
15．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接并延长交于点，连接，得到，及为的重心，推得，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）由平面平面，证得面，结合，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）因为与均为正三角形，
连接并延长交于点，连接，
由底面为梯形，，，所以，则，
又由为的重心，所有，所以，则，
而平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面，
在中，连接并延长交于点，，所以面，
则，
因为，，为正三角形，则，
所以，，，
而，则，
所以，
所以．
16．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）取的中点，连接，，根据四边形为平行四边形，可得，根据直线与平面平行的判定定理可证平面；
（2）现根据长度可得底面时等腰直角三角形，其斜边上的高为四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式可得结果.
【详解】（1）取的中点，连接，，如图：
则，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）因为，，所以，所以，
所以斜边上的高为，即四棱锥的高为，
∴．
【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.
17．（1）证明见详解；（2）.
【解析】（1）连接角于点，连接，根据题中条件，得到，由线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据题中条件，得到，，求出是底边为，腰为的等腰三角形，得出的面积，设点P到底面的距离为，利用等体积法，由，即可求出结果.
【详解】（1）连接角于点，连接，
因为底面是平行四边形，所以为中点，
又是的中点，所以，且，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，，侧面是正三角形，是的中点，
所以，则，，
又平面，平面，
所以，因此，
所以是底边为，腰为的等腰三角形，
因此，
设点P到底面的距离为，
由得，
所以.
因此点P到底面的距离为，
即点P到底面的距离为.
【点睛】方法点睛：
求解空间中点到平面的距离的方法：
（1）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及一条斜线的方向向量，根据，即可求出点到面的距离；
（2）等体积法：先设所求点到面的距离，选几何体不同的顶点，求出该几何体对应的体积，列出等量关系，即可求出点到面的距离.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出线段的三等分点，连接，，，，分别证明平面，平面，从而得面面平行，由面面平行的性质即可得证；
（2）直接由三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）如图，分别作出线段的三等分点，连接，，，.
，，即，
又因为，所以四边形是平行四边形，
，同理可证，
因为平面，平面，所以平面，
分别是的中点，，
因为，，
因为平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
平面，平面.
（2）.
19．②方法一：设，利用复数的计算法则化简，并得到，点的轨迹为单位圆的一部分．设，，所表示的复数为，所表示的复数为，则，计算出，得到，则，从而求出线段的最大值；
方法二：设，利用复数的计算法则化简，并得到，点的轨迹为单位圆的一部分．连接，设，，，，由余弦定理和正弦定理得，，化简得到，线段的最大值为3．
【详解】（1）由于，因此，所以，所以，，
因为，所以，所以；
（2）①由题意得，整理得，所以.
②方法一：设，
则
.
因为存在实数，使得成立，所以为实数，所以，
因为，，所以，
当时，，符合题意，
点的轨迹为单位圆的一部分.
设，，所表示的复数为，
所表示的复数为，则，
，
所以，
则
，
所以当时，即时，取得最大值3，
故线段的最大值为3.
方法二：设，
则
．
因为存在实数，使得成立，所以为实数，所以，
因为，，所以，
当时，，符合题意，
点的轨迹为单位圆的一部分．
连接，设，，，．
由，在中，可得，

在中，可得，于是，
在中，可得，于是，
在中，可得，
化简得，当且仅当时，等号成立．
故线段的最大值为3．

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