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江阴一中、青阳高中2024-2025学年度第二学期期中试卷
单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【详解】，故，
. 故选：B
2.在中，若，则A是
A. B. 或 C. 或 D.
解：在中，由正弦定理得，
又因为，所以，所以或 故选：
3．如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
解：因为是上一点，可设，
由题意知
所以解得，所以， 故选：A.
4.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得，
所以圆台的母线长为，
则圆台的表面积为. 故选：B．
5.已知点，，则在上的投影向量为
A. B.
C. D.
解：因为，，所以，，
，所以向量与的夹角为钝角，
因此向量在上的投影向量与方向相反，而 ，
所以在上的投影向量为
故选：
6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
解：对于，，缺少了、相交的条件，故错误；
对于，，缺少了、共面的条件，故错误；
对于，，缺少了不在平面内的条件，故错误；
对于，，正确；
故选D．
7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A． B． C． D．4
【详解】因为，所以由正弦定理可得，
即，在中，，
所以，
所以，即，
因为，，所以，因为，所以，
因为是的角平分线，所以，
所以,
所以
所以，所以，
所以，由余弦定理可得，.
故选：A
8.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是( )
A. B.
C. D.
多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.如图所示，已知，，分别是三边的，，的四等分点，如果，，以下向量表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【解析】由已知可得 ，故D错误；
因为，，分别是 三边的，，的四等分点，
由 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确．
故选：
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则或 B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为3
D. 若（，），则
【详解】对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意；
对于B：令，所以，所以，
且，所以，故B选项符合题意；
对于C：令，若复数满足，则有（其中），
所以，所以，
所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意；
对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意.
故选：BC．
11. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有( )
A. 平面 B. 平面
C. 存在点，满足 D. 三棱锥的体积不变
【答案】AD
解：由题设，易得是边长为的正方形，且，
，
又是的中点，则且，故为平行四边形，
所以，，，则平面，对；
由上分析知，面即为面，显然直线与面相交，错；
由，若，即，
令，则，，
而，若，在定义域内无解，错；
由，，，则平面，
又在线段上，故到面距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积不变，对；
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，若，则=______
【答案】
【解析】得
13. 已知水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形ABCD的面积为______
【答案】
因为斜二测直观图为矩形，，，则，
可得原图ABCD中右图，，，
四边形ABCD的面积为
斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______．
【答案】
【详解】由及正弦定理可得，
，则，所以，，则，
，故，
，，由余弦定理可得，
，则，故，
由斯特瓦尔特定理可得，
因此，. 故答案为：.
四、简答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本题共5小题，共77分）
15. 设复数（其中），．
(1)若是实数，求的值；(2)若是纯虚数，求的虚部以及
【详解】（1）∵是实数，∴， 3分
∴；. 6分
（2）∵是纯虚数，
∴且，故， 9分
故的虚部为， （11分） . 13分
16.已知向量，.
（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为，，所以，.
由，可得，即，解得， 3分
所以，故. 7分
【小问2详解】
因为向量，，所以，所以. 9分
则，， 11分
所以，
所以与夹角的余弦值为. 15分
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
Ⅰ求角； Ⅱ若是锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】解：Ⅰ因为，所以，，
由正弦定理得：，
因为，所以， 3分
又，所以或． 6分
Ⅱ因为，所以由正弦定理得，
得：，，
所以
， 10分
因为是锐角三角形，
所以，且，可得， 12分
所以，可得，所以． 15分
18.九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点．
证明：平面；
证明：平面；
求直线与平面所成角的大小．
解：（1）作的中点，连接，
由分别为的中点，所以//且
//且
//且//
// 4分
//
,
//
, 10分
//
14分
,
17分
19.古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，
若，，，（图1），
求线段长度的最大值；
若，，（图2），求四边形
面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)时，四边形面积取得最大值，且最大值为．
(3)
【详解】（1）由，，，，可得，
由题意可得， 2分
即，
即，当且仅当四点共圆时等号成立
即的最大值为； 4分
（2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，
所以，即，，
在中，，①
在中，由余弦定理可得，②
由①②可得，
解得，而，可得， 8分
所以，
此时．
所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为． 11分

（3）由题意可知所以，即， 12分
在中，由余弦定理可得,
故,
故， 15分
故，当且仅当时等号成立，
故最大值为 17分江阴一中、青阳高中2024-2025学年度第二学期期中试卷
单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知复数z满足，则（）
A. B. C. D.
2.在中，若，则A是
A. B. 或 C. 或 D.
3．如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5.已知点，，则在上的投影向量为
A. B.
C. D.
6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A． B． C． D．4
8.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是( )
A. B.
C. D.
多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.如图所示，已知，，分别是三边的，，的四等分点，如果，，以下向量表示正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列结论中正确的是（）
A. 若，则或B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为3
D. 若（，），则
11. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有( )
A. 平面 B. 平面
C. 存在点，满足 D. 三棱锥的体积不变
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量，，若，则=______
13.已知水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形ABCD的面积为______
斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则______．
四、简答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。本题共5小题，共77分）
15. 设复数（其中），．
(1)若是实数，求的值；(2)若是纯虚数，求的虚部以及
16.已知向量，.
（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
Ⅰ求角；Ⅱ若是锐角三角形，且，求的取值范围．
18.九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点．
证明：平面；
证明：平面；
求直线与平面所成角的大小．
19.古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，
若，，，（图1），
求线段长度的最大值；
若，，（图2），求四边形
面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
(3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.

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