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2024年山西省太原市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字右边的图案是中心对称图形的是（ ）
A．核安全 B．国土安全
C．生产安全 D．军事安全
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个棱柱的侧面展开图如图所示，则该棱柱底面的形状是（ ）
A． B． C． D．
5．“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法．绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图如图所示．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，则景点“蒙山氧吧”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与边交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交于边于点．若，，则点，之间的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．计算的结果为 ．
12．绳如虹飞转，人似蝶翩跹．在跳绳全能赛中，甲、乙、丙三人各项成绩如表所示．评总分时，将单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，则最后成绩最高的同学为 ．（填“甲”“乙”或“丙”）
成绩 单摇跳 双摇跳 单脚交叉跳
甲 80 90 85
乙 90 80 85
丙 80 80 85
13．如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
14．运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要．对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220－年龄)×0.8=最大运动心率，(220－年龄)×0.6=最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是 岁．
15．如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）下面是小华解分式方程的过程，请你认真阅读并完成相应的任务．
解：原方程可变形为，第步
去分母，得，第步
解得，第步
检验：将代入，，
所以是原方程的解．第步
任务：
①上述解答过程中第步变形逆用了_______（填运算律）；
②上述解答过程中，从第_______步开始出错，请你将这步改正为_______；
③写出解原方程的正确结果：_______．
17．已知：如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，点是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是菱形．

18．社会发展日新月异，企业唯有与时俱进，才能破茧成蝶、破壳发展．某醋厂秉持科技创新的理念，不断推陈出新．为开发一种新的风味醋，醋厂研发组采用甲、乙两种技术方案进行实验，每种方案各设置个实验样品．经过一段时间后，研发组从两组实验样品中各随机抽取个作为样本，对每个样本的指标进行综合评分（满分，单位：分），并对相关数据进行整理和分析（用表示综合评分，数据分成组：；；；；．注：分及以上为优等）．
【数据收集与整理】
甲方案个样本的综合评分 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
甲方案样本综合评分统计
乙方案个 样本的综合评分 ，，三个等级的数据个数相同，组的所有数据是：，，，，．
乙方案样本 综合评分统计
【数据分析】
样本综合评分情况分析 平均数 中位数 方差 优等率
甲方案
乙方案
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述材料中空缺的数据：
_______，_______，_______；
(2)经过评估，研发组认为乙方案优于甲方案，你认为他们的结论合理吗？请结合“数据分析”中的四种数据说明理由；
(3)研发组计划对两种方案中综合评分为“优等”的实验样品进行第二阶段的指标分析，请估计第二阶段指标分析的实验样品共约有多少个．
19．阅读与思考
数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
奇妙的“条件等式”
我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子．在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式．如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式．
下面我们再研究一个特殊的等式：其中．那么，该等式成立的条件是什么呢？
探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得
将等式左边分解因式，得，
移项，得．
将左边继续分解因式，得，
因为，所以等式成立的条件应为．
运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如：
，，…
推广：…
任务：
(1)请将文中“探究”部分的三处空缺补充完整；
：_______；：_______；
(2)仿照文中“运用”部分的思路补全下面的等式：
．
(3)小冬根据文中的思路，推广得到如下等式其中，为任意实数，且，），请证明该等式成立．
20．从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题．
数学抽象 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与平行．
测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50）
测量数据 ，，，，，点C到宣传牌右侧立柱的距离的长为．
提出问题 …
小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，）
21．当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表：
进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱）
西芹 18 4 28
西红柿 24 6 40
已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量．
22．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知，，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
(2)连接，求面积的最大值．
综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知是等边三角形，，点是射线上的一点，以为边作矩形（顶点，，，按逆时针顺序排列），其中，直线分别与射线、直线交于点，．
23．【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点与点重合时的图形，如图，并提出如下问题，请你解答：
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
24．【深入思考】
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点恰好是的中点时的图形，如图，求此时的值；
25．【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，直接写出当时的值．
2024年山西省太原市中考二模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B C D A B C B
1．D
【详解】解：∵，
∴最小的数是．
故选：D．
2．C
【详解】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
所以选项A、B、D的图形不是中心对称图形．
故选：C．
3．D
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【详解】
解：由所给段面展开图可知，底面图形由2条长线段、2条短线段围成，形状为：，
故选B．
5．C
【详解】解：“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，两点横向上相距2个方格，
每个方格距离为1，
由图可知，开化寺向左移动1个方格，向上移动4个方格到达景点“蒙山氧吧”，
景点“蒙山氧吧”的坐标为，即，
故选C．
6．D
【详解】解：如图，
由题意知，
，，
，，
，，
，
，
故选D．
7．A
【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：
小明小颖
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，
∴他们选择的诗人相同的概率为，
故选：A．
8．B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
【详解】解：∵点，，，
∴，
∴这个函数图象可能是反比例函数，
故选：．
10．B
【详解】解：如图，连接、，设交于点，
由题意可知，是的角平分线，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，交于边于点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选：B
11．
【详解】解：，
故答案为：．
12．甲
【详解】解：单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，
单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项占比分别为：，，，
甲最后成绩为：，
乙最后成绩为：，
丙最后成绩为：，
，
最后成绩最高的同学为甲．
故答案为：甲．
13．/
【详解】解：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴
．
故答案为：．
14．55
【详解】解：设这位男性的年龄是岁，
依题意得，
解得，
答：这位男性的年龄是55岁，
故答案为：55．
15．/
【详解】解：如图，作于点G，
正方形中，，点E是边的中点，
，， ，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
，
，
故答案为：．
16．（）；（）乘法分配律；，；．
【详解】（）解：原式，
，
；
（）根据运算第步变形逆用了乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
上述解答过程中，从第步开始出错，请你将这步改正为，
故答案为：，；
，
，
检验：将代入，，
所以是原分式方程的解，
故答案为：．
17．证明见解析．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形.
∴是菱形．
18．(1)，，；
(2)合理，理由见解析；
(3)第二阶段要分析的试验样品共约个．
【详解】（1）解：，
∵，，三个等级的数据个数相同，
∴，，所占比各，，，
∴，，等级的人数为（个），（个），（个），乙方案的中位数为第、的平均数为，
则，
优等率，
故答案为：，，；
（2）理由：根据统计表提供的信息，甲、乙两个方案的平均分相同，但是其他统计量不同，
从优等率看，乙方案为，甲方案为，乙方案中优等实验样品的数量高于甲方案中优等实验样品的数量，乙方案优于甲方案；
从中位数看，乙方案的中位数为分，甲方案的为分，说明乙方案试验样品综合评分的中位数高于甲方案的，乙方案优于甲方案，
从方差看，乙方案样本方差小于甲方案样本方差，说明乙方案样实验样品的表现更为稳定；
综上所述，乙方案优于甲方案，
（3）（个），
答：第二阶段要分析的试验样品共约个．
19．(1)，；
(2)，；
(3)证明见解析．
【详解】（1）根据，
，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）由（）得：，
则，解得：，
故答案为：，；
（3）证明：等式左边，
，
，
，
等式右边，
，
，
，
左边右边，等式成立．
20．点A到地面的距离为．
【详解】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：点A到地面的距离为．
21．“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元．
【详解】解：设该团队进货“西芹”箱，获得的总利润为元．
根据题意得：，
∵该团队投入总成本不超过10800元，
∴，
解得：，
∵，，
∴y随x的增大而减少，
∴当时，y取得最大值，最大值为，则，
∴“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元．
22．(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；
(2)面积的最大值为．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
令，则，
∴点C的坐标为，，
∴对称轴为直线，
∴点D的坐标为；
（2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，
∴，，，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
23．，理由见解析； 24．； 25．或．
解析：，理由如下：
如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
24．连接，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
同理，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴；
25．当点在线段上时，，
此时点与点重合，
∴，
∵等边三角形，
∴， ，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
当点在线段的延长线上时，，过作于点，
∵，
∴
∴，
∵等边三角形，
∴，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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