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第19章矩形、菱形与正方形单元测试华东师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．各角都相等 B．各边都相等
C．有两条对称轴 D．对角线相等
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
5．直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．5 C．3.5 D．2.5
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝6，则OA的长为（　　）
A．3 B． C． D．6
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若，BD＝3，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B． C．2 D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．将对角线分别为5cm和8cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 　 cm．
10．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　 　．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△ABO的周长是 　 　cm．
12．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
15．如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长．
16．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
17．矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF．
（1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长．
18．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．
参考答案
一、选择题
1—8：CDCBDACD
二、填空题
9．【解答】解：∵菱形的对角线分别为5cm和8cm，
∴菱形的面积S5×8＝20cm2，
∴正方形的边长是2（cm）．
故答案为：2．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠B＝DAB＝90°，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE＝15，
∵CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝20，
∴AB＝BC＝20，
在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝15，
由勾股定理得：AF25．
故答案为：25．
11．【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴∠ABC＝90°，OA＝OBAC，
∴AC10（cm），
∴AO＝BO＝5cm，
∴△ABO的周长为OA+OB+AB＝16（cm）．
故答案为：16．
12．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
三、解答题
13．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
答：MD长为5．
14．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
15．【解答】（1）证明：∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝90°，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
又∵CP＝CD，CQ＝CQ，
∴△DCQ≌△PCQ（SAS），
∴∠D＝∠QPC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵CP＝CD，
∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2，
在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF，
∵EF＝CE＝1，
∴KE，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE，
故点A，E之间的距离为5．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，G，H分别是AB，DC的中点，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF，
在△GAE和△HCF中，
，
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：AE的长为1或9，
理由：连接GH，
∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AG＝BGAB＝3，DH＝CHDC＝3，AC10，
∴BG∥CH，且BG＝CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝8，
∵以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，
∴EF＝GH＝8，
如图1，当AEAC时，四边形EGFH是矩形，
∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC，
∴2AE+8＝10，
∴AE＝1；
如图2，当AEAC时，四边形FGEH是矩形，
∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC，
∴2AE﹣8＝10，
∴AE＝9，
综上所述，AE的长为1或9．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAB+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AB＝AD，AE＝AG，
∴△EAB≌△GAD（SAS）．
（2）解：BE⊥DG，理由如下：
∵△EAB≌△GAD，
∴∠AGD＝∠AEB，
∵∠AKG＝∠HKE，
在Rt△AGK中，∠AGK+∠AKG＝90°
∴∠KEH+∠HKE＝90°，
∴∠EHK＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥DG．
（3）解：连接DE，如图，
在Rt△ABC中，
∵AB＝BC＝6，
∴AC12，
∴AO＝DOAC＝6，
∵AG＝AE＝AO＝DO＝6．AO⊥DO，
∴四边形AEDO是正方形，
∵∠DEK＝∠GAK＝90°，
∵DE＝AG＝6，∠DKE＝∠AKG，
∴△DKE≌△GAK（AAS），
∴EK＝AK＝3，
在Rt△DKE中，
DK3．
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