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第九章中心对称图形—平行四边形期末复习训练苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图所示为太极图，所谓太极即是阐明宇宙从无极而太极，以至万物化生的过程，下列对太极图的描述中，正确的是（不考虑颜色）（　　）
A．是中心对称图形
B．是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．菱形边长是2cm，一条对角线的长是，则菱形面积是（　　）
A．4cm2 B． C．2cm2 D．
4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（　　）
A． B．9 C． D．12
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，动点P从点B出发，沿着BD向点D移动，若过点P作PE⊥AB、PF⊥AD，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的长最小为（　　）
A． B． C．5 D．7
二、填空题
6．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 ．
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，∠BOD的度数为40°，则∠BDC的度数是 　 　 ．
8．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6cm，则 ABCD的对角线AC的长为 　 　 cm．
9．如图，矩形ABCD中，∠ACD＝30°，边，DM⊥AC于点M，连接BM，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H，下列结论中：①H为线段BG的中点；②∠DEF＝∠BGC；③BG＝EF；④AE+FC＝DG，正确的结论有　 　 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，分别连接AD、BE，点M、N、H分别是AD、BE、AB的中点，连接MN、MH、NH．
（1）试猜想△MNH是何特殊三角形，并说明理由；
（2）若AE＝4，BD＝6，求线段MN的长．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝20，EF＝8，求CG的长．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．
（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；
（2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度．
14．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣3，0），C（1，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）直接写出点C′的坐标；
（3）P，Q是△ABC内不重合的两点，旋转后的对应点为P′，Q′，判断线段P′Q′与线段PQ的关系．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（0，﹣a﹣b），且a，b满足．
（1）直接写出A，B，C的坐标：A 　 　 ，B 　 　 ，C 　 　 ；
（2）平移线段AB得到线段CD，连接BD，则四边形ABCD是平行四边形，求四边形ABCD的面积；
（3）在（2）的条件下，点Q（m，n）在四边形OCDB内部，满足S三角形QOC：S三角形QOB＝5：2．（提示：S三角形QOC，S三角形QOB分别表示三角形QOC，三角形QOB的面积）
①求m，n满足的数量关系；
②若S三角形QCD＝S三角形QBD，求点Q的坐标．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC，
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：该图是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：A．
3．【解答】解：如图，AB＝2cm，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∴，
∴，
∴AC＝2OA＝2，
∴菱形的面积．
故选：D．
4．【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝9，
∴BO＝BE＝9．
故选：B．
5．【解答】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四边形AEPF为矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵点P从B点沿着BD往D点移动，
∴当AP⊥BD时，AP取最小值．
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD10，
∵，
∴．
∴EF的长度最小为：．
故选：B．
二、填空题
6．【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MNDE．
故答案为：．
7．【解答】解：由条件可知∠AOD＝∠BOC，AD＝OD，∠A＝∠ODC，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠AOC＝100°，∠BOD＝40°，
∴，
∴，
∴∠ODC＝∠A＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADO﹣∠ODC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为：30°．
8．【解答】解：在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6cm，如图，连接BD交AC于点F．
∴BD＝BC，BC＝AD＝2，BF＝DF，AC＝2AF，
∴BD＝AD＝6cm，
∴DFBD6＝3（cm），
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF3（cm），
∴AC＝2AF＝6cm．
故答案为：6．
9．【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝30°，，
∴，
∵DM⊥AC，
∴∠ADM＝30°，
∴，
过点M作MH⊥AB，
∴，
则图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ADM﹣S△ABM﹣S△BCD
，
故答案为：．
10．【解答】解：①如图，当点E，D重合，F，C重合时，
则点G，H与点C重合，
此时BG＝BH，故①错误；
②∵BG⊥EF，
∴∠CBG+∠BFH＝∠CBG+∠BGC＝90°，
∴∠BFH＝∠BGC，
∵AD∥BC，
∴∠BFH＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠BGC，故②正确；
③过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME是矩形，
∴AB＝EM，
∵AB＝BC，
∴BC＝EM，
∵∠CBG+∠BFH＝∠FEM+∠BFH＝90°，
∴∠CBG＝∠FEM，
∵∠C＝∠EMF＝90°，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴BG＝EF，故③正确；
④∵FM＝CG，BM＝AE，
∵CD＝BC，
∴AE+CF＝BC﹣FM，DG＝CD﹣CG，
∴AE+FC＝DG，故④正确；
故答案为：②③④．
解答题
11．【解答】解：（1）△MNH是直角三角形，理由如下：
∵点M、N、H分别是AD、BE、AB的中点，
∴HM∥BD且HMBD，HN∥AE且HNAE，
∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC，
∴∠MHN＝180°﹣（∠AHM+∠BHN）
＝180°﹣（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠AHM＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝90°，
∴△MNH是直角三角形．
（2）∵点M、N、H分别是AD、BE、AB的中点，
∴HM∥BD且HMBD＝3，HN∥AE且HNAE＝2，
∵△MNH是直角三角形，
∴MN2＝MH2+NH2＝MH2+NH2＝9+4＝13，
∴MN．
12．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC 的中位线．
∴DE∥AC．
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）解：∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝20，
∴DE＝AE10，
由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝10．
在Rt△AEF 中，EF＝8，AE＝10，由勾股定理得：AF6．
∵AB＝AC＝20，FG＝ED＝10，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝20﹣10﹣6＝4．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵FP＝AF，
∴OF是△ACP的中位线，
∴OF∥CP，
∴∠FDE＝∠PCE（两直线平行，内错角相等），
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEP中，
，
∴△DEF≌△CEP（ASA），
∴EF＝EP，
又∵DE＝CE，
∴四边形CFDP是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADE＝90°，
∴根据勾股定理，AD2+DE2＝AE2，
若四边形CFDP是矩形，则，
，FP＝CD，
∵AF＝FP，
∴，
∴，
∴AD2＝2CD2，
∴或（不符合题意，舍去），
∵，
∴CD＝AB＝1，所以AB的长度为1．
14．【解答】解：（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A′B′C′，如图1即为所求；
（2）点C′的坐标为（﹣1，﹣2）；理由如下：
由图可知，点C′的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）P′Q′＝PQ．理由如下：
如图2，
设P（a，b），Q（m，n），则P′（﹣a，﹣b），Q′（﹣m，﹣n），
线段P′Q′与线段PQ关于原点对称，
∵，，
∴P′Q′＝PQ．
15．【解答】解：（1）∵a，b满足，
∴a﹣4＝0，2b﹣12＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴A（0，4），B（6，0），C（0，﹣10）；
（2）由（1）得AC＝4+10＝14，OB＝6，
∴求平行四边形ABCD的面积为AC OB＝14×6＝84；
（3）①设Q（m，n），
∵A（0，4），B（6，0），C（0，﹣10），
∴OC＝10，OB＝6，AC＝14，
∵平移线段AB至线段CD，
∴D（6，﹣14），
满足S三角形QOC：S三角形QOB＝5：2．
由条件可知，
∴nm，
②由①得Q（m，m），
由图可得：
S△QCD＝S梯形OCDB﹣S△QCO﹣S△QBD﹣S△QBC
＝72﹣5m﹣（42﹣7m）﹣2m
＝30，
∵，
∴m＝6，
∴Q（6，﹣4）．
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