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北师大版2024—2025学年七年级下学期数学期末全真模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟 范围：第一章整式的乘除到第四章三角形
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”是关于某条直线成轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
2．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　）
A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数小于3
3．下列整式乘法运算中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a） B．（x+a）（a﹣x）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣x﹣b）（x﹣b）
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（　　）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
① B．②
C．③ D．①②③
5．在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　）
A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线
C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误
6．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形ABCD的面积为32，则右边图形中小船的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
8．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知：如图①，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB＝8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止，P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的关系图象如图②，则a、b的值分别为（　　）
A．6，10 B．6，11 C．7，11 D．7，12
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　 　 个绿球．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，若AD＝BD，DE＝DC，FC＝30，AF＝20．则△ABE的面积是 　 　 ．
13．如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 　 ．
14．著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中a＞b＞0，若，a+b＝5，则阴影部分的面积为 　 　 ．
15．已知3m＝2，3n＝5，则3m﹣2n＝　 　 ．
16．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ．
北师大版2024—2025学年七年级下学期数学期末全真模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：（1）（π+2）0﹣3﹣2+（﹣1）2024﹣|﹣2|；
（2）（﹣2xy）2+（x2y）3÷（﹣x4y）．
18．先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
19．如图，每一个小正方形的边长为1．
（1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A'B'C'；
（2）求△ABC的面积．
20．如图1，将一条长方形纸带沿EF折叠，设∠AED'＝x度．
（1）若x＝130，则∠EFB＝ 　 　 度；
（2）将图1纸带继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝ 　 　 度．（用含x的代数式表示）
21．如图，和谐广场有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为（a﹣b）米的小正方形空地．
（1）用含有a，b的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式）
（2）若a＝40，b＝20，求出绿化部分的总面积．
22．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球3个，黄球5个，蓝球若干个．若从中任意摸出一个黄球的概率是．
（1）求盒子中蓝球的个数；
（2）从中任意摸出一个球，摸出 　 　 球的概率最小；
（3）能否通过只改变盒子中蓝球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整蓝球数量．
23．已知a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）如图1，求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CDG的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD∠BCN，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ．
24．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2：
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知a+b＝8，a+b＝8，ab＝12，求a2+b2的值；
（2）已知（2024﹣x）（2026﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2026）2的值．
（3）拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2．若AB＝m，AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）．
25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD为△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝120°．
（1）如图1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，∠CDF＝45°，连接EF，EF与BD交于点G．猜想AE与DG之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求证：．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C B A D C D C
1．【解答】解：A，B，C选项中，两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，而D选项中，两个字母“E”能沿着直线翻折互相重合，所以选项D符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：A．面朝上的点数是3的概率为；
B．面朝上的点数是奇数的概率为；
C．面朝上的点数小于2的概率为；
D．面朝上的点数小于3的概率为；
∴概率最大的是面朝上的点数是奇数，
故选：B．
3．【解答】解：A、答案（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2，能用平方差公式；
B、答案（x+a）（﹣a+x）＝（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2，能用平方差公式；
C、答案（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）2，不能用平方差公式；
D、答案（﹣x﹣b）（x﹣b）＝﹣（x+b）（x﹣b）＝﹣（x2﹣b2）＝b2﹣x2，能用平方差公式．
故选：C．
4．【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：C．
5．【解答】解：A、小睿的图，
∵AC沿AD折叠，对称边为AC′，
∴△ACD≌△△AC′D，
∴CD＝C′D，
∴AD是线段CC′的中线，原说法错误，不符合题意；
B、小轩的图，
∵AC沿AD折叠，对称边为AC′，
∴△ACD≌△△AC′D，
∴∠CAD＝∠C′AD，
∴AD是∠BAC的平分线，正确，符合题意；
C、小涵的图，
∵AC折叠后点C与点B重合，
∴AD是BC边的中线，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
6．【解答】解：由七巧板的规律可得，
S①＝S②S正方形，
S③＝S⑤S①S正方形，
S⑥＝2S③S正方形，
∵左边图形中正方形ABCD的面积为32，
∴S①+S⑤+S⑥S正方形S正方形S正方形＝8+2+4＝14．
故选：A．
7．【解答】解：0.000 000 007＝7×10﹣9．
故选：D．
8．【解答】解：设这个角的度数是x度，
由题意得，180°﹣x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝60，
故选：C．
9．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
10．【解答】解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t＝5时，△BPC面积最大为40，
∴BE＝5×2＝10，
∵ BC AB＝40，
∴BC＝10，
则ED＝10﹣6＝4．当P点从E点到D点时，所用时间为4÷2＝2s，
∴a＝5+2＝7．
P点运动完整个过程需要时间t＝（10+4+8）÷2＝11s，即b＝11；
故选：C．
二、填空题
11．【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
12．【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，
∴∠DBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AF⊥BE，
∵FC＝30，AF＝20，
∴BE＝AC＝FC+AF＝30+20＝50，
∴S△ABEBE AF50×20＝500，
∴△ABE的面积是500，
故答案为：500．
13．【解答】解：∵共有16小正方形，其中阴影部分为4个小正方形，
∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
14．【解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∵，a+b＝5，
∴，
故答案为：16．
15．【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴3m﹣2n
＝3m÷32n
＝3m÷（3n）2
＝2÷52
，
故答案为：．
16．【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD∠BAC＝35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°，
故答案为：9°．
三、解答题
17．【解答】解：（1）（π+2）0﹣3﹣2+（﹣1）2024﹣|﹣2|
＝11﹣2
；
（2）（﹣2xy）2+（x2y）3÷（﹣x4y）
＝4x2y2﹣x6y3÷x4y
＝4x2y2﹣x2y2
＝3x2y2．
18．【解答】解：原式＝（x2+2xy+y2﹣x2+4y2）÷（﹣2y）
＝（2xy+5y2）÷（﹣2y）
＝﹣xy，
当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝﹣1（﹣2）
＝﹣1+5
＝4．
19．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）△ABC的面积为（1+5）×39﹣1．
20．【解答】解：（1）由题意可得∠AED′＝130°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝50°，
由折叠性质可得：，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°，
故答案为：25；
（2）设ED′与BC相交于点G，
∵∠AED′＝x°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝（180﹣x）°，
由折叠得：，
由条件可知，∠AED′＝∠EGF＝x°，
∴∠EGF＝∠GFC′＝x°，
由条件可知：∠GFC″＝∠GFC′＝x°，
∴，
故答案为：．
21．【解答】解：（1）用含有a，b的式子表示绿化部分的总面积＝（3a+b）（2a+b）﹣2（a﹣b）2
＝6a2+5ab+b2﹣2（a2﹣2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣2a2+4ab﹣2b2
＝（4a2+9ab﹣b2）平方米．
答：用含有a，b的式子表示绿化部分的总面积为（4a2+9ab﹣b2）平方米．
（2）当a＝40，b＝20时，
4a2+9ab﹣b2＝4×402+9×40×20﹣202＝13200（平方米）．
答：绿化部分的总面积为13200平方米．
22．【解答】解：（1）由题意知，盒子中篮球的个数为5（3+5）＝7（个）；
（2）由题意知，盒子中红球个数为3，黄球个数为5，篮球个数为7，红球的个数最少，
所以从中任意摸出一个球，摸出红球的概率最小，
故答案为：红；
（3）∵任意摸出一个球是红球的概率为，
∴此时盒子中球的总个数为312（个），
则需要减少篮球3个．
23．【解答】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC＝∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°；
（2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y，
由（1）知，2x+2y＝90°，x+y＝45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD＝2y+x，
∴∠AFB＝180°﹣（2y+x），
同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）
＝360°﹣3×45°
＝225°；
（3）解：如图，设PN交CD于E，
当点N在∠DCB内部时，
∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠IPB，
∴∠EPB＝∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPB＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE，
∵，
∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP，
当点N′在直线CD的下方时，
∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN'+2∠IPE，
∵PN'平分∠IPB，
∴∠EPB＝∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPB＝∠CEP，∠ABC＝∠BCE，
∵，
∴∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，
综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP．
24．【解答】解：（1）∵a+b＝8，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝64﹣2×12
＝64﹣24
＝40，
∴a2+b2的值为40；
（2）设2024﹣x＝a，2026﹣x＝b，
∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2026﹣x）＝﹣2，
∵（2024﹣x）（2026﹣x）＝2023，
∴ab＝2023，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2026）2＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝（﹣2）2+2×2023
＝4+4046
＝4050，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2026）2的值为4050；
（3）Rt△ACF的面积，
理由：设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝m，
∴a+b＝m，
∵S＝S1+S2，
∴S＝a2+b2，
∴Rt△ACF的面积
．
25．【解答】（1）证明：过D作DM⊥BC．
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DM＝DA．
∵∠C＝30°，
∴∠MDF+∠FDC＝60°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠ADE+∠FDC＝60°，
∴∠ADE＝∠MDF．
在△AED和△MDF中，
，
∴△AED≌△MDF（AAS），
∴DE＝DF．
（2）过F作FQ⊥GD，过D作DM⊥BC．
由（1）知△AED≌△MDF，
∴MF＝AE，∠MDF＝∠ADE，
∵∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝120°，
∴∠EDM+∠ADE＝120°，
∠ADM＝120°，
∵∠A＝∠DMB＝90°，∠ABD＝∠DBM，
∴∠ADB＝∠BDM，
∵∠ADB+∠BDM＝∠ADM＝120°，
∴∠ADB＝∠BDM＝60°，
∵∠FDC＝45°，∠EDF＝120°，
∴∠ADE＝15°，
∴∠EDG＝60°﹣15°＝45°．
∴∠GDF＝120°﹣45°＝75°．
∵∠EDF＝120°，DE＝DF，
∴∠DEG＝∠DFG＝30°，
∴∠FGD＝75°，
∴∠FDG＝∠FGD，
∴FG＝FD，
∴GD＝2QD．
在△FQD和△DMF中，
，
∴△FQD≌△DMF（AAS），
∴QD＝MF，
∴DG＝2AE．
（3）过E作EN⊥BDD，过F作FH⊥BD，过D作DM⊥BC，DR⊥EF．
由（2）∠AED＝90°﹣∠ADE＝75°，
∴∠BEG＝180°﹣∠AED﹣∠DEG＝75°，
又∠EGB＝∠DGF＝75°，
∴∠BEG＝∠BGE，
∴BE＝BG，
同理：FG＝FD．
∴．
设BE＝mx，BF＝nx，
∵∠BEG＝∠BGE＝75°，
∴BG＝BE＝mx，
同理：BD＝BF＝nx，
∴GD＝BD﹣BG＝nx﹣mx＝（n﹣m）x，
∴．
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