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第十八章平行四边形单元测试A卷人教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得 ABCD是矩形的条件是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
4．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，AC、BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．20cm
5．如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（　　）
A． B． C．12 D．6
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　）
A．2s B．5s C．2s或 D．5s或
7．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
8．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（　　）
①矩形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是 　 　．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1．连接AE，则AE的长为　 　．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD边上，且DE＝2CE，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，则OF＝ 　 　 ．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是 　 　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AO＝CO，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16．
①求∠BOA的度数；
②求四边形ABCD的面积．
17．如图1，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°）．
（1）如图2，当α＝90°时，连接BD交AF于点P，
①直接写出∠DCF的度数；
②求证：．
（2）如图1，当∠DCF＝135°时，若，求的值．
18．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（a，b）且a、b满足（a+b﹣10）2＝0，点P是线段B上的动点，将△OCP沿OP翻折得到△OC′P．
（1）求点A和C的坐标；
（2）如图①，当点C′落在线段AP上时，求点P的坐标；
（3）如图②，当点P为线段BC中点时，求线段BC′的长度．
参考答案
一、选择题
1—8：DBDBACCC
二、填空题
9．【解答】解：∵∠AFC＝90°，
∴△AFC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，AC＝12，
∴，
∵F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF，
∴，
∴DE＝DF+EF＝8，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴BC＝2DE＝16，
故答案为：16．
10．【解答】解：当点E在OB上或在OD上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OBAC，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
①当点E在OB上时，OE＝1，
∴BE＝1，
∴E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
∴OA＝2，
∴AE；
②当点E在OD上时为E′，
∴EE′＝2，
∴AE′．
则AE的长为：或．
故答案为：或．
11．【解答】答案为：．
12．【解答】解：如图，连接MC，
∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC，
∴四边形MECF是矩形，
∴MC＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵点P是EF的中点，
∴，
∴CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PF取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴PF长度的最小值是1.2．
故答案为：1.2．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
14．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB AC＝40，
∴×8 AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB．
16．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：①∵BD＝16，
OB＝OD＝8，
∵AB＝10，OA＝6，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠BOA＝90°；
②由①可知，∠BOA＝90°，
∴BD⊥AC，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴S四边形ABCDBD AC16×12＝96．
17．【解答】解：（1）①∠DCF的度数是45°，
理由：如图2，作FN⊥CD于点N，FM⊥BC交BC的延长线于点M，则∠M＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠M，∠BAE＝∠MEF＝90°﹣∠AEB，∠MCN＝90°，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB＝EM＝BC，BE＝MF，
∵BE＝BC﹣CE＝EM﹣CE＝CM，
∴CM＝MF，
∴∠MCF＝∠MFC＝45°，
∴∠DCF＝90°﹣∠MCF＝45°，
∴∠DCF的度数是45°．
②证明：如图2，连接AC交BD于点Q，连接CP，则AQ＝CQ，DQ＝BQ，
∵BD垂直平分AC，
∴AP＝CP，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠ACF＝∠DCA+∠DCF＝90°，
∴∠PCF＝90°﹣∠PCA＝90°﹣∠PAC＝∠PFC，
∴FP＝CP，
∴AP＝FP，
∴CF＝2QP，
∴CF+2DP＝2QP+2DP＝2DQ＝BD，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴BDBC，
∴CF+2DPBC．
（2）如图1，作FL⊥BC交BC的延长线于点L，在CL上取一点H，使CH＝BE，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α，
∴AB＝BC＝BE+CE＝CH+CE＝EH，∠BAE＝∠HEF＝180°﹣α﹣∠AEB，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（SAS），
∴BE＝HF，∠B＝∠EHF，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠HFC，
∴∠FHL＝∠HCF+∠HFC＝2∠HCF，
∵AB∥CD，∠DCF＝135°，
∴∠B＝∠DCH，
∴∠EHF＝∠DCH＝135°+∠HCF，
∴135°+∠HCF+2∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝15°，
∴∠FHL＝30°，
设FL＝m，
∵∠L＝90°，
∴CH＝HF＝2FL＝2m，
∴HLm，
∴CF2＝（2mm）2+m2＝（8+4）m2，
∵，
∴ECCH2m＝3m，
∴CD＝BC＝EH＝3m+2m＝5m，
∴CD2＝（5m）2＝25m2，
∴，
∴的值为．
18．解：（1）∵（a+b﹣10）2＝0，
∴．
解得：，
∴B（6，4），
又∵四边形OABC为矩形，
∴A（6，0），C（0，4）；
（2）由（1）可知：AO＝BC＝6，CO＝BA＝4，
∵AO∥BC，
∴∠CPO＝∠AOP，
由折叠易知：∠CPO＝∠C'PO，
∴∠AOP＝∠C'PO，
∴AO＝AP＝6，
在Rt△ABP中，PB．
∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2，
∴点P坐标为：（6﹣2，4）；
（3）连接CC'，交PO于点D，如图所示：
在Rt△PCO中，OC＝4，PC3，
∴OP，
由折叠易知：OP垂直平分线段CC'，即D为CC'的中点，
∴S△PCO，
∴CD，
在Rt△PDC中，PD，
又∵D为CC'的中点，P为BC中点，
∴PD为△CC'B的中位线，
∴BC'＝2PD＝2．
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