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第9章中心对称图形—平行四边形单元测试人教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
4.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED．若△BED的面积等于△BEC的面积，则△ABE和△CDE的E面积比等于（　　）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．9：4
6．如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE∥AC．若∠A＝70°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．36°
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝70°，则∠BOE的大小为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．55°
8．如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，若平行四边形ABCD的周长为22，且AM＝4，，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．在 ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，分别交AD于点E，F．若AB＝3，BC＝5，则EF的长为 　 　 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：
①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；
④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．
其中正确的结论是　 　 ．
11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为　 　 ．
12．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上．
（1）△ABC的形状是　 　 （直接写答案）；
（2）将△ABC向右平移3个单位长度得△A1B1C1，在坐标系中画出并求出这个变化过程中△ABC扫过的面积；
（3）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△CA2B2．
14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD∥CE，BE⊥EC．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若四边形OBEC的周长为18，菱形ABCD的面积为33，求平行线AB与DC间的距离．
15．如图1，矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接AE，EF，AF，∠FEC＝2∠BAE．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）如图2，若矩形ABCD为正方形．
①求∠EAF的度数；
②如图3，若AF的垂直平分线l交BC于点G，连接GA，GF，求证：∠BAG＝∠GFE．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形．
（2）若AD＝AE，AB＝2，
（ⅰ）求AG的长；
（ⅱ）求OF的长．
17．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝3，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且
，连接OE交CD于点F，连接AF、CE．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求．
参考答案
一、选择题
1—8：DCBDABCC
二、填空题
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
同理可证：DF＝CD＝3，
∴EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1．
故答案为：1．
10．解：①∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，①正确；
②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示：
则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠M＝∠BAM，
∴AB＝BM，
∵AM∥BD，
∴AG：GE＝BM：BE，
∴AG：GE＝AB：BE，
∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，
∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；
④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AG＝AD，
∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴AG＝DF，
∵AE⊥BC，
∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
又∵AG＝AD，
∴四边形AGFD是菱形；④正确；
⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，
∴∠AGB＝∠FGB，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG（ASA），
∴∠BAE＝∠BFG，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BFG＝∠C，
∴GF∥CH，
∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴GF＝CH，
∴CH＝DF，⑤正确；
③∵∠ADF＝2∠ADB，
当∠C＝30°，∠CDF＝60°，
则∠ADF＝120°，
∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；
故答案为：①②④⑤．
11．解：如图，
∵DE⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∵∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝180°﹣∠CAD﹣∠AFD＝180°﹣24°﹣90°＝66°，
∵旋转，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝66°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
即旋转角α的度数是48°．
故答案为：48°．
12．解：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PNAD8＝4，PN∥AD，
∴∠NPB＝∠DAB＝50°，
同理，PM＝4，∠MPA＝∠CBA＝70°，
∴PM＝PN＝4，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN＝PM＝PN＝4，
∴△PMN的周长是12．
三、解答题
13．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB，AC，BC，
∴AB＝AC，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
这个变化过程中△ABC扫过的面积为．
（3）如图，△CA2B2即为所求．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BD∥CE，
∴CE⊥AC，
又∵BE⊥EC，
∴∠BOC＝∠OCE＝∠CEB＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC的周长为18，四边形OBEC是矩形，
∴OC+OB＝9，
∵菱形ABCD的面积为33，
∴AC BD＝33，
即2OB×2OC＝33，
∴2OB OC＝33，
∵OC+OB＝9，
∴（OC+OB）2＝81，
∴OC2+2OB OC+OB2＝81，
∴OC2+OB2＝48，
∴BC4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
设平行线AB与DC间的距离为x，
则AB x＝33，
即4x＝33，
解得x，
即平行线AB与DC间的距离为．
15．【解答】（1）证明：作EH平分∠FEC，交CD于点H，
∴，
∵∠FEC＝2∠BAE，
∴∠FEH＝∠CEH＝∠BAE，
∵矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
∴∠AEF+∠FEH＝90°，
∴∠AEB＝∠AEF，即EA平分∠BEF；
（2）①过点A作AR⊥EF于点R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ARE＝90°，
由（1）得∠AEB＝∠AEF，
又∵AE＝AE，
∴△EAB≌△EAR，
∴AB＝AR，∠BAE＝∠RAE，
∴AD＝AR，
∵AF＝AF，∠D＝∠FRA＝90°，
∴△FAD≌△FAR，
∴∠FAD＝∠FAR，
∴；
②过点A作AW⊥EF，在EF上截取ET＝EG，
∵ET＝EG，∠AEG＝∠AET，AE＝AE，
∴△AEG≌△AET，
∴∠2＝∠3，AG＝AT，∠AGE＝∠ATE，
∴∠AGB＝∠ATW，
∴∠1＝∠4
∵AF的垂直平分线l交BC于点G，
∴∠5+∠GAF＝90°
∵∠EAF＝45°，
∴∠5+∠2＝45°，
∴2∠5+2∠2＝90°，即∠AGF+∠GAQ＝90°，
∴∠AQG＝90°，
∴∠AQP＝90°＝∠AWF，
∵∠APQ＝∠FPW，
∴∠PFW＝∠4
∴∠GFE＝∠1，即∠BAG＝∠GFE．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝∠BAF＝∠ABE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形．
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）（ⅰ）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE．
在△AGD和△ABE中，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG，
∴AG＝AB＝2；
（ⅱ）由（1）知，四边形ABEF是正方形，
∴AF＝AB＝2，
由（2）（ⅰ）可知，△AGD≌△ABE，
∴DG＝EB＝AB＝AF＝AG＝2，
∴，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴．
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴．
17．【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA＝45°，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠PEF＝90°，∠PED+∠PEF＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，
∴AD＝CD＝3，∠ADC＝90°，ACAD＝3，
∵CE＝2，
∴AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴CG＝AE；
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，
如图2，
∵∠ADE＝30°，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝60°，
∵∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD＝360°，
∴∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°；
②当DE与DC的夹角为30°时，
如图3
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴点D，点E，点C，点F四点共圆，
∴∠EDC＝∠EFC＝30°，
综上所述：∠EFC＝30°或120°．
18．【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，
∵DE∥AC且DE＝AC，
∴DE＝OA＝OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE＝AD，
∴OE＝CD；
（2）解：连接AE．
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∴CF＝DF，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝CD＝AD＝4，
∴AF⊥CD，
∴AF＝＝＝2，
在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2．
在Rt△ACE中，AE＝＝＝2．
∴＝＝，
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