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考点七圆——中考二轮复习高频考点突破
考点分析
考点 考试形式 考试频率
圆的有关概念及性质 垂径定理 ☆☆
圆周角定理 ☆☆☆
圆内接四边形的性质 ☆☆
直线与圆的位置关系 切线的判定 ☆☆☆
切线的性质与计算 ☆☆
多边形与圆 三角形的内切圆 ☆
三角形的外切圆 ☆
正多边形与圆 ☆☆
与圆有关的计算 弧长的有关计算 ☆☆
扇形面积的有关计算 ☆☆☆
圆锥的有关计算 ☆☆
基础知识
考点一 圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
考点二 圆周角定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 是所对的一个圆周角，是所对的圆心角，那么
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 都是所对的圆周角，那么
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 若为直径，则；若或..，则为直径.
考点三 垂径定理及其推论
1.垂径定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
考点四 点、直线与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
点和圆的位置关系分三种（设的半径为，点到圆心的距离）:
点和圆的位置关系 特点 性质及判定 图示
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点在圆外.
点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点在圆上.
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点在圆内.
2.直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
定义 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交. 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切. 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
图示
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
考点五 切线的性质与判定
1.切线的判定定理和性质定理
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，是的半径，若于点，则是的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.如图，若切于点，则.
2.切线长及切线长定理
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【注意】经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；经过圆外一点作圆的切线，有两条.
考点六 三角形的外接圆与内切圆
1.三角形的外接圆
三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
2.三角形的内切圆
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
考点七 与圆有关的计算
1.弧长公式
在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即.于是的圆心角所对的弧长为.
2.扇形面积公式
（1）在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是.于是圆心角为的扇形面积是.
（2），其中扇形所对的弧长为，半径为.
推导过程：，其中为扇形的弧长，为半径.
3.圆锥的侧面积和全面积
（1）圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如上图所示），满足，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.
（2）圆锥的侧面积和全面积
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积，圆锥的全面积.
4.正多边形与圆
正多边形的有关计算:
名称 公式 图示
内角 正边形的每个内角为.
中心角 正边形的每个中心角为.
外角 正边形的每个外角为.
半径、边长、边心距的关系 .
周长 正边形的周长.
面积 正边形的面积.
考点突破
1.如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是( )
A.4 B.2 C. D.
2.如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，点A，B，C在上，，连接，，若的半径为6，则扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
4.如图,点A,B,C,D在上,若,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
5.如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图.已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为( )
A. B. C. D.
6.如图,正六边形内接于,正六边形的周长是12,则的半径是( )
A.1 B. C.2 D.
7.如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，等边内接于，点E是弧上的一点，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.如图,在平面直角坐标系中,已知点、点、,点P在以为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足,则t的最大值是( )
A.6 B.5 C.4 D.10
10.如图，在扇形中，，点是的中点．过点C作交于点E，过点E作，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
11.如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了______度.
12.如图所示，是的外接圆，是的直径，若，则______
13.如图,正八边形内接于,连接,,则______°.
14.如图,在中,,M点在边上,连接,点N是的内心,连接,若,则______°.
15.如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E.若，的半径是，则图中阴影区域的面积为______.
16.赵州桥始建于隋代,是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥(如图1).现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥(如图2),已知此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为.求此桥拱圆弧的半径(精确到.)
17.如图,半圆O的直径,将半圆O绕点B顺时针旋转得到半圆,与交于点P.
(1)求的长；
(2)求点A经过的路径长.
18.如图,在中,以为直径的与相交于点D,过点D作的切线交于点E..
(1)求证：；
(2)若的直径为13,,求的长.
19.日晷仪也称日晷,是观测日影计时的仪器,它是根据日影的位置,指定当时的时辰或刻数,是我国古代较为普遍使用的计时仪器,小东为了探究日晷的奥秘,在不同时刻对日晷进行了观察,如图,日晷的平面是以点O为圆心的圆,线段BC是日晷的底座,点D为日晷与底座的接触点(即与相切于点D),点A在上,AO为某一时刻晷针的影长,AO的延长线与交于点E,与交于点B,连接AC,,,,.
(1)求证：；
(2)求的长.
20.如图，四边形内接于，，垂足为E，，过A作.
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：扇形的弧长，圆锥的底面半径为.
故选：B.
2.答案：B
解析：四边形内接于，，
，
，
，
，
，
；
故选B.
3.答案：B
解析：∵，
∴，
∵的半径为6，
∴扇形的弧长为，
故选：B.
4.答案：C
解析：A、,,该选项正确,但不符合题意；
B、,,,,该选项正确,但不符合题意；
C、由已知条件无法判断,故无法判断,故该选项错误,但符合题意；
D、由B选项得,,该选项正确,但不符合题意.
故选：C.
5.答案：A
解析：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故选：A.
6.答案：C
解析：连接,,
∵多边形是正六边形,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵正六边形的周长是12,
∴,
∴的半径是2
故选：C
7.答案：C
解析：连接，如图，
∵边与相切，切点为B，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
8.答案：C
解析：连接，，
∵，，
∴，
则，
∵是等边三角形，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：C.
9.答案：A
解析：∵、,
∴中点坐标为,即,
∴点A即为的中点,
∵,
∴点P在以A为圆心,半径为的圆上,
又∵点P在以D为圆心,半径为1的圆上,
∴当A、P、D三点共线时且P在D点上方时,有最大值,即t有最大值,
∴,
∴t的最大值为6,
故选A.
10.答案：B
解析：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
11.答案：72
解析：由题意得滑轮上某一点P运动的路程为，
即点P旋转的弧长为，
则，
解得：，
故答案为：72.
12.答案：
解析：连接，如图所示，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：48.
13.答案：90
解析：在正八边形中,每一内角的度数都为,
每一个中心角的度数都为.
.
故答案为：90.
14.答案：
解析：设,
∵点N是的内心,
∴
∵,
∴,
∴
∵
∴,
∴
故答案为：.
15.答案：
解析：如图，连接，，，
∵经过点A的与边相切于点H，是等边三角形，
∴，，，，，，
∵，
∴，
∵的半径是，为直径，
∴，，，，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：
16.答案：此桥拱圆弧的半径约为
解析：如图2所示,设弦所在圆的圆心为O,弧的中点为C,弦的中点为D,连接,,,圆O的半径为r,
由垂径定理可知,,
,C,D三点共线,
,,
,
在中,由勾股定理得：,
,
解得,
此桥拱圆弧的半径约为.
17.答案：(1)
(2)
解析：(1)连接,如下图,
根据题意,可知,,
∵,
∴,
∴,,
即是等腰直角三角形,
∴,
∴；
(2)根据题意,将半圆O绕点B顺时针旋转得到半圆,
则有,
答：点A经过的路径长为.
18.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,
∵是圆的半径,是的切线.
∴.
∵.
∴,
∴.
∵,
∴.
∴,
∴；
(2)连接,
∵为直径,
∴,
∵,
∴,
∵的直径为13,,
∴,,
∴,
∵,
∴.
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接,如图：
∵与相切于点D
∴
∵
∴,,
∵,,,
∴
∴
∴
(2)由(1)可得：
∴
∵
∴
在直角三角形中：,
∴
∴,,
在直角三角形中：,
∴
20.答案：(1)见解析
(2)
解析：如图，延长交于H，
∵，
，
，
，
是的半径，
∴是的切线；
(2)解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
.

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