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考点六四边形——中考二轮复习高频考点突破
考点分析
考点 考点形式 考试频率
平行四边形 平行四边形的有关证明与计算 ☆☆☆
多边形 多边形的有关计算 ☆☆
矩形 矩形的有关证明与计算 ☆☆☆
菱形 菱形的有关证明与计算 ☆☆☆
正方形 正方形的有关证明与计算 ☆☆
基础知识
讲解一：多边形
1.边形内角和等于：.
任意多边形的内角和是的整数倍，且多边形每增加一条边，它的内角和就增加，正边形每个内角的度数是.
2.多边形的外角和
内容 推导过程
多边形的外角和等于 多边的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加上外角和为， 外角和等于
多边形的外角和恒等于，与边数多少无关.
讲解二：平行四边形
1.平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形，
角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形，
对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形，
2.平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形.
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
讲解三：矩形
1.矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）：
性质 数学语言 图形
角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形，
对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形，
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
2.矩形的判定
判定方法 数学语言 图形
角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形.
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形
讲解四：菱形
1.菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.
性质 数学语言 图形
边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， .
对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， ,
对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
【注意】
（1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
（3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
2.菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高.
菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半
【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
3.菱形的判定
判定方法 数学语言 图示
边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形.
四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形.
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形.
讲解五：正方形
1.正方形的定义及其性质
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
（3）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 是轴对称图形，有四条对称轴
2.【辨析】平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等
特性 四条边都相等
角 共性 对角相等且邻角互补
特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分
特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对称性 特性 轴对称图形
2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
3.正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
3.四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系如图所示.
考点突破
1.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图，在中，对角线、相交于点．若，，，则的周长是( )
A.20 B.21 C.25 D.27
3.如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
5.如图，在菱形中，，则( )
A. B.
C. D.
6.如图，的对角线，相交于点O，点是的中点.若，，的周长为32，则的周长为( )
A.7 B.10 C.12 D.14
7.如图，在菱形中，于点E，，则的值为( )
A. B.2 C. D.
8.如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接.若，，，则四边形的周长为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
9.如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，E为的中点，连接，则的面积为( )

A.6 B.8 C.12 D.24
10.如图,在正方形中,点E,F分别是,上的点,,相交于点M.点N是的中点,若,,则的长为( )
A. B. C.2 D.
11.正多边形的每个内角等于,则这个正多边形的边数为____________条.
12.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且,,过点O作,垂足为H,则点O到边AB的距离______.
13.如图，在中，，于点，若，则______
14.如图,直线l经过正方形的中心O,分别与和相交于点E和点F,交的延长线于点G,正方形的面积是16,若,则的面积为______.
15.在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接.当时，的长为 _____.
16.已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的.
(1)求这个外角的度数.
(2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过,请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由.
17.已知：如图，点为对角线的中点，过点O的直线与，分别相交于点E，F.
求证：.

18.如图，在中，E、F分别是、上的一点，，.
(1)证明：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长.
19.如图所示,菱形的对角线,相交于点O,过点D作,且,连接,,连接交于点F.
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为8,,求的长.
20.综合与实践
【思考尝试】
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题：如图1,在矩形ABCD中,E是边上一点,于点F,,,.试猜想四边形的形状,并说明理由；
【实践探究】
(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形中,E是边上一点,于点F,于点H,交于点G,可以用等式表示线段,,的数量关系,请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点：如图3,在正方形中,E是边上一点,于点H,点M在上,且,连接,,可以用等式表示线段,的数量关系,请你思考并解答这个问题.
答案以及解析
1.答案：A
解析：∵多边形的外角和等于360°,且这个每个外角都等于72°,
∴它的边数为.
故选A
2.答案：A
解析：四边形是平行四边形，
，，
的周长，
故选：A．
3.答案：C
解析：根据矩形的性质，得，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
解得.
故选C.
4.答案：D
解析：A、对角线相等的平行四边形是矩形,原说法错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原说法错误；
C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形,原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形,原说法正确；
故选：D
5.答案：C
解析：四边形为菱形，
，
，
，
故选：C.
6.答案：C
解析：∵的周长为32，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即点O是的中点，
∵点E是的中点.
∴，，
∴的周长，
故选：C.
7.答案：B
解析：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
8.答案：B
解析：在中，，，
∴，.
∵，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
，
∴四边形为平行四边形.
∴.
∴四边形的周长为.
故选：B.
9.答案：A
解析：过点A作于F，

在矩形中，，，
∴，
∵对角线相交于点O，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴
∴的面积为
故选：A.

10.答案：B
解析：∵,,
∴正方形的边长为3,
在中,由勾股定理得,
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵点N是的中点,即为斜边上的中线,
∴,
故选：B.
11.答案：12
解析：多边形内角和为,则每个内角为,,所以应填12.
12.答案：
解析：∵菱形ABCD,
∴,,
∴,
∴,
解得.
故答案为.
13.答案：
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
14.答案：1
解析：如图：连接,
∵正方形的中心O,面积是16,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,即,解得：,
∴的面积为.
故答案为：1.
15.答案：或
解析：根据题意，在矩形中，，
∵点E是的中点，
∴，
①当点N在的延长线上时，如图，过点E作于H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，

∴，，
由折叠的性质可得，
∵，
∴在中，由勾股定理得；
∴；
②当点N在线段上时，过点E作于G，

同理得，，
在中，由勾股定理，得；
∴；
③当点N在延长线上时，将沿折叠，点A与点E不可能重合，此种情形不存在；
综合上述，的长为或；
故答案为：或.
16.答案：(1)
(2)嘉嘉的猜想正确,理由见解析
解析：(1)设与这个外角相邻的内角为,则这个外角为,
根据题意,得,
解得,,
,
这个外角的度数为.
(2)正确,理由如下,
这个正多边形的每个外角都相等,且都等于,
正多边形的外角和为,
这个正多边形的边数为,
正多边形的内角和为,
嘉嘉的猜想正确.
17.答案：详见解析
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点O为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
(2)四边形是矩形，
，
，，
，
,
，
。
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：四边形是菱形
,
即
四边形是平行四边形
四边形是矩形
；
(2)菱形的边长为8,
是等边三角形
,,
由(1)知,四边形是矩形
,,
.
20.答案：(1)四边形是正方形,证明见解析
(2)
(3),证明见解析
解析：(1)∵,,,
∴,,
∵矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴矩形是正方形.
(2)∵,,,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
同理可得：,
∵正方形,
∴,
∴,
∴,,
∴四边形是正方形,
∴,
∴.
(3)如图,连接,
∵,正方形,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.

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