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考点五三角形——中考二轮复习高频考点突破
考点分析
考点 考点形式 考试频率
线段与角 余角和补角 ☆
角平分线 ☆☆
相交线与平行线 相交线 ☆
平行线 ☆☆☆
命题与定理 命题与定理 ☆
三角形及其性质 三角形的三边关系 ☆☆
三角形的内角和外角 ☆
与三角形有关的重要线段 三角形中的重要线段 ☆
线段的垂直平分线 ☆☆
角平分线的性质 ☆☆
全等三角形 全等三角形的判定 ☆☆☆
全等三角形的性质与判定综合 ☆☆☆
特殊三角形 等腰三角形 ☆☆☆
等边三角形 ☆☆
直角三角形 ☆☆☆
相似三角形 平行线分线段成比例 ☆
相似三角形的性质 ☆☆☆
相似三角形的有关证明与计算 ☆☆☆
相似三角形的实际应用 ☆☆
位似 位似 ☆☆
锐角三角函数 三角函数值的确定 ☆☆
特殊角的三角函数值 ☆
解直角三角形 解直角三角形 ☆☆☆
解直角三角形的实际应用 解直角三角形的实际应用 ☆☆☆
基础知识
考点一 几何初步
1.线段及其相关知识
基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）； （2）两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）
两点间的距离 连接两点间的线段的长度.
线段的和与差 在线段上取一点，则有： ；；
线段的中点 点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的中点，几何语言：
垂线 （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.图中点与直线上各点连接的所有线段中，最短，点到直线的距离是的长度
2.角及其相关知识
度、分、秒的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=
余角和补角 互余 互为余角
应用：同角（等角）的余角相等
互补 互为补角
应用：同角（等角）的补角相等
角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
3.交线、平行线及其相关知识
对顶角 性质：对顶角相等.如与，与，与，与
邻补角 性质：互为邻补角的两个角之和等于180°.如与，与，与等
三线八角 （1）同位角：与，与，与，与. （2）内错角：与，与. （3）同旁内角：与，与
基本事实 （平行公理） 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的判定和性质 （1）同位角相等两直线平行.如图； （2）内错角相等两直线平行.如图，； （3）同旁内角互补两直线平行.如图，
两平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：两条平行线之间的距离处处相等
考点二 三角形及其全等
1.三角形的分类及有关性质
分类 按角分： 按边分：
性质 三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
角的关系： （1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （2）内外角关系： a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图， b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图，
边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边（大边对大角，小边对小角）
三角形具有稳定性
2.全等三角形相关知识
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等
判定 边边边（）：三边分别相等的两个三角形全等
边角边（）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角：（）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边（）：两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形相等
斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【提示】判定一般三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等
考点三 特殊三角形
1.等腰三角形的性质
图形 数学语言 文字描述
在中，因为，所以 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
①因为， 所以平分，且. ②因为， 所以，且平分. ③因为，平分，所以，且 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
2.等腰三角形的判定
等腰三角形的判定方法 图形表示 几何推理
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 为等腰三角形
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） （等角对等边）
3.等边三角形的概念及性质
定义 性质
等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”. （3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质
4.等边三角形的判定
等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个叫角是60°的等腰三角形是等边三角形
5.直角三角形及其考点
（1）含角的直角三角形的性质
具体内容 图例
含角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在中，，，是斜边的中点，则有
（2）直角三角形的判定及面积
①有一个角等于的三角形是直角三角形（定义）；
②有两个角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足
，那么这个三角形是直角三角形；
④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，图中若，则是以为直角的直角三角形
⑤面积：，其中为两直角边，为斜边，为斜边上的高
（3）勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么.
（4）勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
6.垂直平分线的性质、判定
线段的垂直平分线 图形
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上
判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
7.角平分线的性质、判定
内容 符号语言 图形
角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 如果点在的平分线上，且于点，于点，那么
角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 如果点为内一点，于点，于点，且，那么点在的平分线上
考点四 图形的相似与位似
1.四条线段成比例：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例.
【注意】成比例线段是有顺序的，即若是成比例线段，则（或），不能写成.
2.比例的相关性质：
（1）基本性质：若，则.
（2）合比性质：若，则.
（3）分比性质：若，则.
（4）等比性质：若，则.
3.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截.所得的对应线段成比例.
4.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
5.相似三角形的判定
①利用平行线判定两个三角形相似的定理
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
②利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,且，.
③利用三边判定两个三角形相似的定理
定理：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，，.
④利用两角判定两个三角形相似的定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,.
⑤直角三角形相似的判定方法
（1）一个锐角相等的两个直角三角形相似；
（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似；
（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
6.相似三角形的性质
①根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比.
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
考点五 解直角三角形
1.锐角三角函数：的正弦、余弦、正切都是的锐角三角函数.
正弦、余弦、正切
名称 定义 符号语言 图示
正弦 在中，，的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 在中，，
余弦 在中，，的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作. 在中，，
正切 在中，，的对边与邻边的比叫做的正切，记作. 在中，，
【重点】
（1）由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且，，.
（2），和都是以锐角为自变量的函数，一旦的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化.
2.锐角三角函数之间的关系
（1）同一锐角的三角函数之间的关系：.
（2）互余两角的三角函数之间的关系：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.
（3）任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即.
3.特殊角的三角函数值
1
4.解直角三角形的基本类型及解法
图形 已知条件 解法
两边 两直角边 由，求
斜边、一直角边（如） 由，求
一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如） ；
一锐角与对边（如） ；
一锐角与斜边（如） ；
5.利用解直角三角形解决实际问题
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.
【注意】
（1）当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.
（2）数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
考点突破
1.诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”,如图是正方体的一种表面展开图,则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A.学 B.以 C.广 D.才
2.如图,直线,相交于点O,射线平分.若,则等于( )
A. B. C. D.
3.如图,将一副三角尺按图中所示位置摆放,点C在的延长线上,点C、F分别为直角顶点,且,,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
4.下列命题：①对顶角相等；②同位角相等,两直线平行；③若,则；④若,则.其中是真命题的是( )
A.②③ B.①② C.①②④ D.①②③④
5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，以原点O为位似中心，把缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为( )
A.或 B.
C.或 D.
6.如下图,在中,,,分别是的中线和角平分线.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离( )
A． B． C． D．
8.如图,在中,,,延长至点C,使,过点C作,交的延长线于点D,若,则的长为( )
A. B.4 C. D.2
9.如图，在菱形中，于点E，，则的值为( )
A. B.2 C. D.
10.如图,已知在中,,点G是的重心,,垂足为E,如果,则线段的长为( )
A. B. C. D.
11.如图,在锐角三角形中,是边上的高,在,上分别截取线段,,使；分别以点E,F为圆心,大于的长为半径画弧,在内,两弧交于点P,作射线,交于点M,过点M作于点N.若,,则______.
12.如图,四边形中,,若,则______.
13.如图,在中,,,.D为上的一动点,连接,的垂直平分线分别交,于点E,F,则线段的长是______,线段的长的最大值是______.
14.如图1，把一个等腰三角形分割成三块，恰好能按图2方式拼放，则_______.
15.如图，在中，，是高，若，则的长的最小值为________.
16.如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F.求证：.

17.香积寺塔,位于陕西省礼泉县香积寺内,俗称薄太后塔,是一座楼阁式砖塔,现为陕西省文物保护单位某实践小组欲测量香积寺塔(如图1)的高度,如图2,甲同学在地面上的点D处竖立一根标杆,发现地面上的点E、标杆顶端C和塔顶A恰好在一条直线上,乙同学将一架无人机置于点F处,测得塔顶A的仰角,经测量,米,米,无人机距离地面的高度米,米已知B、D、E、G四点在同一水平直线上,、、,图中所有的点都在同一平面内,请你计算该塔的高度.(结果保留根号)
18.“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角.
(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值；
(2)求风叶的长度.
19.如图,在三角形中,,,,点E是上一点,作,交于点F.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知,,求.
20.已知为等边三角形，D是边上一点，连接，点E为上一点，连.
(1)如图1，延长交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点H，使得，连接交于点N，求证；
(3)如图3，，点H是上一点，且，连接，点K是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对；
故选：D.
2.答案：B
解析：直线,相交于点O,
,
射线平分,
,
故选：B.
3.答案：A
解析：,,
,
,,
,,
,
,
故选：A.
4.答案：B
解析：对顶角相等,故①为真命题；
同位角相等,两直线平行,故②为真命题；
若,则或,故③为假命题；
若,当时,则,故④为假命题；
故选B.
5.答案：A
解析：∵以原点O为位似中心，把缩小为原来的，点A的坐标分别为，
∴点A的对应点的坐标为或，即或，
故选：A.
6.答案：B
解析：∵是的中线,,,
∴,,
∵是的角平分线,
∴,
故选：B.
7.答案：A
解析：如下图所示，过点A作，
则的长度就是点A到的距离，，
在中，，
，，
，
．
故选：A．
8.答案：B
解析：,,
,
,
,
,
在和中,
,
,
,
,
故选：B.
9.答案：B
解析：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
10.答案：C
解析：如图,连接并延长交于点D.
点G是的重心,
点D为的中点,,
,
,
,
,
,
,
(公共角),
,
,
,
,
,
.
故选：C.
11.答案：6
解析：作图可知平分,
∵是边上的高,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为：6.
12.答案：
解析：∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
13.答案：8；
解析：连接,过点F作于H,
,,,
.
垂直平分,
.
若要使最大,则需要最小,
设,则,
,
.
(垂线段最短),
,
解得.
最小值为,的最大值为.
故答案为：.
14.答案：/0.75
解析：如图，根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即.
，
.
.
∴，
.
.
15.答案：
解析：取中点E，过点E作，过点A作，
交于F，连接，，则，，
，
，
，是的高，
，，
，
，则，
E为中点，，
是的垂直平分线，
，
由三角形三边关系可知，，当F、C、B三点共线时取等号，
即：的最小值为；
故答案为：.
16.答案：证明见解析
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
∴
∴.
17.答案：该塔的高度为米
解析：,,
,
,
,
,即为,
化简可得,
延长交于点K,如图,则米,,
在中,,
,
解得,
即该塔的高度为米.
18.答案：(1)
(2)风叶的长度为米
解析：由题意可得：，
∴
；
(2)解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，
∴米，，米，
∵三片风叶两两所成的角为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
由(1)得：，
∴米，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，
∴，
∴米，
∴风叶的长度为米.
19.答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)证明：,
,
,
,
,
,
.
,
；
(2)证明：,
,
,
,
,
,
,
,
；
(3),
,
,
,
,
,
,
点E到的距离为,
,
,
,
,
,
,
即,
.
20.答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(2)如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
(3)如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，，，
，，
又，，
，
，，
，，
，，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，

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