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考点九统计与概率——中考二轮复习高频考点突破
考点分析
考点 考点形式 考试频率
数据的收集与整理 数据的收集与整理 ☆
数据的分析 平均数、中位数、众数和方差 ☆☆☆
统计图（表）的应用 统计图（表）的应用 ☆☆☆
事件与概率 事件的分类 ☆
频率与概率 ☆
概率的计算 概率的计算 ☆☆☆
统计与概率的综合 统计与概率的综合 ☆☆☆
基础知识
讲解一：数据的收集与整理
1.全面调查与抽样调查
全面调查 抽样调查
定义 考查全体对象的调查叫做全面调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查
方法 问卷调查、访问调查、电话调查等 （1）简单随机抽样；（2）分层抽样
适用范围 当调查范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确全面时，一般采用全面调查 当调查对象涉及面大、范围广，受条件限制或具有破坏性时，一般采用抽样调查
优点 （1）结果准确；（2）能全面了解数据 （1）调查范围小；（2）节省时间、人力、物力；（3）受限制少
缺点 （1）调查范围广，工作量大；（2）受客观条件限制 （1）结果不如全面调查准确；（2）不能全面了解数据
2.总体、个体、样本与样本容量
概念
总体 所考察对象的全体
个体 组成总体的每一个考察对象
样本 从总体中所抽取的一部分个体
样本容量 样本中个体的数目
讲解二：数据的分析
1.算术平均数
算术平均数：一般地，如果有个数，那么我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作，则.
平均数的大小与所给数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.
【重点】平均数的性质
若一组数据的平均数为，则
（1）数据的平均数为；
（2）数据的平均数为；
（3）数据的平均数为.
2.加权平均数
（1）一般地，若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，···，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫做这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
3.中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
4.众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
众数可能是一个或多个.在一组数据中，当出现次数最多的数据只有一个时，这组数据的众数只有一个；当出现次数最多的数据不止一个时，这组数据的众数就有多个；当每个数据出现的次数相同时，这组数据就没有研究众数的必要了.
5.方差
（1）方差的概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动性的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
（2）方差的计算公式：若个数据的平均数为，
则方差.
（3）求方差的一般步骤：①求原始数据的平均数；②求原始数据中各数据与平均数的差；③将所得的差分别平方；④求③中所得数据的平均数.
（4）方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
讲解三：统计图表的应用
1.条形图、扇形图、折线图的对比
统计图 相关概念 优点 图示
扇形统计图 各组百分比之和为1； 各组所在扇形的圆心角的度数=各组所占百分比×360° 可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量
条形统计图 各组数量之和=样本容量 未知组数量=样本容量已知组数量之和 能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化；易于比较数据之间的差别
折线统计图 各组频数之和=样本容量 能清楚地反映同一事物在不同时期的变化情况
2.频数分布直方图
画频数分布直方图的基本步骤如下：
（1）计算最大值与最小值的差，确定数据值的变化范围；
（2）决定组距和组数，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组；
（3）列频数分布表；
（4）画频数分布直方图.
讲解四：概率
1.确定性事件与随机事件
事件类型 定义
确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件.
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件.
随机事件 （不确定性事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
【注意】一般地，判断事件的类型是在一定条件下进行的，不同的条件可能会导致不同的事件归类，如标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，水的沸点提高，水加热到100℃沸腾就不是必然事件了.
2.概率
（1）概率：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为.
（2）概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率.
（3）概率的取值范围：
①当为必然事件时，；
②当为随机事件时，；
③当为不可能事件时，.
3.用直接列举法（枚举法）求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式（在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中的种结果）求事件发生的概率.
4.用列表法求概率
列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
适用条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.
【注意】在运用列表法分析随机事件发生的概率时，注意行与列的意义及行、列中量的区别，如与表示不同的结果.
5.用画树状图法求概率
画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
适用条件：当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法.
【重点】
（1）用列举法求事件的概率包括直接列举法、列表法和画树状图法，用列举法求概率时，各种结果出现的可能性必须相同，必须列举出所有可能的结果，不能重复也不能遗漏.
（2）当试验包括两步时，用列表法比较方便，当然此时也可以用画树状图法；当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.
（3）树状图中，从左到右（或从上往下），每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同.
6.利用频率估计概率
用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件发生的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数，那么估计事件发生的概率.
考点突破
1.每年4月23日是“世界读书日”,为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况,从中随机抽取了50名学生进行调查.在这次调查中,样本是( )
A.500名学生
B.所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况
C.50名学生
D.每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
2.2023年12月,年度十大最“清新”城市出炉.这十个城市的全年空气质量优级日数分别为：337,329,317,314,292,290,287,284,279,277,则这组数据的中位数是( )
A.290 B.291 C.292 D.300.6
3.在如图四个图形中随机抽取一个,既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为( )
A.1 B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A.一组数据2,3,3,4,5,6的众数和中位数都是3
B.“打开电视机,正在播放足球赛”是必然事件
C.了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查(全面调查)
D.甲组数据的方差,乙组数据的方差,则乙组数据比甲组数据稳定
5.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了解该图案的面积是多少，小丽采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为( )
A. B. C. D.
6.为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）.下列说法正确的是( )
A.班主任采用的是抽样调查 B.喜爱动画节目的同学最多
C.喜爱戏曲节目的同学有6名 D.“体育”对应扇形的圆心角为
7.为保护人类赖以生存的生态环境,我国将每年的3月日定为中国植树节.在植树节当天,某校组织各班级进行植树活动,事后统计了各班级种植树木的数量,绘制成如下频数分布直方图(每组含前一个数值,不含后一个数值)：
根据统计结果,下列说法正确的是( )
A.共有个班级参加植树活动 B.频数分布直方图的组距为
C.有的班级种植树木的数量多于棵 D.有3个班级都种了棵树
8.某次射击比赛中，甲队员的成绩如图所示，根据图中的数据，下列结论中错误的是( )
A.这组成绩的最高成绩是9.4环 B.这组成绩的平均成绩是9环
C.这组成绩的众数是9环 D.这组成绩的方差是8.7
9.年全国两会上,政府工作报告强调：加强青少年科学健身普及和健康干预,让年轻一代在运动中强意志、健身心.某校开设了“一人一球”体育拓展课程,学生可根据自己的喜好选择一门球类项目(A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球),某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查,将收集的数据整理并绘制成如下两幅统计图,下列说法错误的是( )
A.此次调查中,选择排球项目的学生人数最多
B.此次调查的学生总数是人
C.扇形统计图中,B项目所对应的扇形圆心角的度数是
D.若该校共有学生人,则该校选择篮球项目的学生大约有人
10.如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为( )
A. B. C. D.
11.下表是小明参加科技创新比赛的得分表(百分制),则小明的综合成绩是______分.
姓名 小明 综合成绩 ☆
项目 理论知识 创新设计 现场展示
得分 85 88 90
权重
12.在某次公益活动中,小亮对本年级同学的捐款情况进行了调查统计,发现捐款数只有10元、20元、50元和100元四种情况,并初步绘制成不完整的条形图(如图).其中捐100元的人数占本年级捐款总人数的,那么本次捐款的中位数是______元.
13.为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区100名九年级男生,他们的身高统计如下：
组别
人数 5
根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于的概率是______.
14.嘉嘉在计算一组数据的方差时,列出的算式为：,请分析算式中的信息,判断这组数据的众数为__________.
15.在创建“文明校园”的活动中,班级决定从四名同学(两名男生,两名女生)中随机抽取两名同学担任本周的值周长,那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______.
16.“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A.指南针、B.造纸术、C.火药、D.印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好.
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率.
(2)小强和小刚玩游戏，在(1)的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由.
17.作为《黑神话 悟空》的创意来源之一,山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注,吸引大量游客前来旅游打卡,小军和小勇准备到山西旅游打卡,他们选了四处影点.门票价格分别为30元、50元、60元、100元,他们决定用转盘游戏决定地点.如图是一个可以自由转动的转盘,指针固定不动,转盘被分成了大小相同的4个扇形,并在每个扇形区域分别标上30元、50元、60元、100元.(当指针落在边界线上时,重新转动一次,直到指针指向某一区域内为止)
(1)若转动转盘一次,则指针落在30元区域的概率为______.
(2)小军和小勇每人转动转盘一次,当转盘停止时,记下各自指针所指区域内对应的金额,请用画树状图或列表法求两次所得金额之和小于100元的概率.
18.甲、乙两名队员参加射击训练，甲队员10次的成绩（单位：环）分别是：7，6，4，8，3，8，7，8，10，9；乙队员10次的成绩被制成如下的统计图；根据甲、乙的信息，整理数据制成如下表格：

甲、乙队员射击训练成绩分析表
平均数/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 7 b 8 c
乙 a 7 7 1.2
(1)表格中______，____，_____；
(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
19.某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目，为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，.
下面给出了部分信息：
的成绩为：
71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79.
根据以上信息解决下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分；
(3)请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数；
(4)根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩、科技竞赛成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩.
某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下：
创意设计比赛 科技竞赛
甲的成绩 95 90
乙的成绩 92 95
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
20.某超市计划在9月份按月订购西瓜,今天的进货量相同.根据往年的销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.为了确定今后九月份的西瓜订购计划,对前三年此地九月份的最高气温及西瓜需求量数据进行了整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
a.西瓜每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温t(单位：℃)
西瓜需求量(单位：个/天) 300 400 500 600
b.2017年9月最高气温数据的频数分布统计表如表：
分组 频数 频率
3 n
m 0.30
11
0.23
合计 30 1.00
c.2018年9月最高气温数据的频数分布直方图如图：
d.2019年9月最高气温数据如下(未按日期排序)：
25,26,28,29,29,30,31,31,31,32,32,32,32,32,33
33,33,33,33,33,34,34,34,35,35,35,35,36,36,36
根据以上信息,回答下列问题：
(1)m的值为_____,n的值为_____(保留两位小数)；
(2)2018年9月最高气温数据的平均数可能是_____；
A. B. C.
(3)2019年9月最高气温数据的众数为_______,中位数为______；
(4)已知该西瓜进货成本每个10元,售价每个16元,未售出的西瓜降价处理,以每个6元的价格当天全部处理完.假设每年九月每天的最高温度,均在之间.按照需求量,超市每天的西瓜进货量在之间
①2019年9月该西瓜每天的进货量为500个,则此月该西瓜的利润为____元；
②已知超市2019年9月西瓜的日进货量为552个.考虑到现实因素,超市决定今年少进一些西瓜.假设2020年9月的最高气温数据与2019年9月完全相同,今年9月西瓜的利润可能和去年保持一样吗？如果可能,直接写出今年的日进货量；如果不可能,说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况.
故选：B.
2.答案：B
解析：这组数据按照从大到小的顺序排列为：337,329,317,314,292,290,287,284,279,277,
∴中位数是.
故选：B.
3.答案：C
解析：∵第二个、第三个、第四个图形既是轴对称图形也是中心对称图形,
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为.
故选：C.
4.答案：D
解析：A.一组数据2,3,3,4,5,6的众数是3,中位数是,故该选项错误,不符合题意；
B.“打开电视机,正在播放足球赛”是随机事件,故该选项错误,不符合题意；
C.了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查,故该选项错误,不符合题意；
D.由,所以乙组数据比甲组数据稳定,故该选项正确,符合题意.
故选：D.
5.答案：B
解析：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，
解得：，
所以估计不规则图案的面积大约为.
故选：B.
6.答案：D
解析：全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，
所以班主任采用的是全面调查，故A选项错误；
喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多，故B选项错误；
喜爱戏曲节目的同学有名，故C选项错误；
“体育”对应扇形的圆心角为，故D选项正确.
故选：D.
7.答案：A
解析：A.共有个班级参加植树活动,故本选项正确；
B.频数分布直方图的组距为5,故本选项错误；
C.有的班级种植树木的数量少于35棵,故本选项错误；
D.有3个班级都种了棵树,故本选项错误；
故选：A.
8.答案：D
解析：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
这组成绩的平均成绩是，故选项B不合题意；
这10次成绩中出现次数最多的是9，因此这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是：
，
故选项D符合题意.
故选：D.
9.答案：C
解析：由扇形统计图可知C：排球项目占的百分比最多,为,
故此次调查中,选择排球项目的学生人数最多,故选项A正确；
由B项目人数为4人,所占总体的百分比为,
则此次调查的学生总数是(人),故选项B正确；
扇形统计图中,B项目所对应的扇形圆心角的度数是,故选项C错误；
若该校共有学生人,则该校选择篮球项目的学生大约有(人),
故选项D正确；
故选：C.
10.答案：C
解析：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果有8种，李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的结果有1种，
则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为.
故选：C.
11.答案：88
解析：小明的综合成绩是分,
故答案为：88.
12.答案：20
解析：捐款的总人数为人,
把捐款数按从小到大的顺序排列,第30个和第31个数都是20,
∴中位数为元.
故答案为：20
13.答案：
解析：∵抽取了名九年级男生中有名男生身高不低于,
∴抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于的概率是；
故答案是：.
14.答案：5
解析：根据题意得
,
所以这组数据是：5,5,5,5,7,7,8,8,8,9,
所以这组数据的众数为是：5.
故答案为：5.
15.答案：
解析：设两名男生分别记为A,B,两名女生分别记为C,D,
画树状图如下：
共有种等可能的结果,其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种,
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为.
故答案为：.
16.答案：(1)
(2)公平，见解析
解析：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A.指南针”和“B.造纸术”的结果有2种，
两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为.
故答案为：
(2)解：上述游戏公平，理由如下：
两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，
∴小强胜的概率为
小刚胜概率为
∴上述游戏公平
17.答案：(1)
(2)
解析：(1)∵转盘被分成了大小相同的4个扇形,
∴若转动转盘一次,则指针落在30元区域的概率为：,
故答案为：；
(2)画出树状图如下：
30元 50元 60元 100元
30元 60元 80元 90元 130元
50元 80元 100元 110元 150元
60元 90元 110元 120元 160元
100元 130元 150元 160元 200元
共有16种机会均等的结果,其中两次所得金额之和小于100元的情况有5种.
∴两次所得金额之和小于100元的概率为.
18.答案：(1)7；；
(2)可选择甲
解析：乙的平均成绩：（环）；
甲的射击成绩按从小到大顺序排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
甲的成绩的中位数：（环）；
甲的成绩的方差：.
故答案为：7；；；
(2)解析：从平均成绩看，两人成绩相等；从中位数看，甲射中7环及以上的次数大于乙；从众数看，甲射中8环的次数最多，乙射中7环的次数最多；从方差看，乙的成绩比甲的稳定.综上所述，若选派一名学生参加比赛的话，可选择甲，因为甲获得高分的可能性更大且甲的成绩呈上升趋势.
19.答案：(1)见解析
(2)78
(3)估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数约为600人
(4)乙的综合成绩更高，见解析
解析：，而有20人，
有，
补图如图所示：
(2)解析：∵，
而的成绩为：
71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79.
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：78，78；
中位数为（人），
故答案为：78；
(3)解析：（人），
答：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数约为600人；
(4)解析：甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分），
乙的综合成绩更高.
20.答案：(1)9,0.10
(2)B
(3)33,33
(4)①85000；②可能,今年9月份的日进货量为480个
解析：(1),,
故答案为：9,0.10；
(2),
故选：B；
(3)将2019年9月30天的气温从小到大排列,处在中间位置的两个数都是33,
所以中位数是33,
气温出现次数最多的是33,共出现6次,因此众数是33,
故答案为：33,33；
(4)①2019年9月气温、日销售量、相应的天数如下表：
最高气温t(单位：℃)
西瓜需求量(单位：个/天) 300 400 500 600
2019年9月气温天数 0 5 18 7
这个月的总利润为：,
故答案为：85000；
②2019年9月份的利润为：
,
设2020年9月每天购进西瓜个,由题意得：,
解得,,
答：可能,今年9月份的日进货量为480个.

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