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考点八图形的变化——中考二轮复习高频考点突破
考点分析
考点 考点形式 考试频率
尺规作图 五种基本尺规作图 ☆☆
转化类尺规作图 ☆
立体图形的展开与还原 正方体的展开与还原 ☆☆
常见几何体的展开与还原 ☆
几何体的三视图 几何体的三视图 ☆☆☆
由三视图还原几何体 ☆☆
三视图的有关计算 ☆
图形的对称 轴对称图形与中心对称图形 ☆☆☆
轴对称作图 ☆
图形的平移 图形平移的有关计算 ☆☆
平移作图 ☆
图形的旋转 图形旋转的有关计算 ☆☆☆
旋转作图 ☆
基础知识
讲解一：尺规作图
1.五种基本尺规作图
类型 作法 图示
作一条线段等于已知线段 （1）作射线； （2）在上截取，即为所求线段
作一个角等于已知角 （1）作射线； （2）在上以为圆心，以任意长为半径作弧，交的两边于点； （3）以为圆心，长为半径作弧，交于点； （4）以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点； （5）过点作射线，即为所求角
作一个角的平分线 （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，； （2）分别以点,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点； （3）作射线即为所求
作线段的垂直平分线 （1）分别以点为圆心，大于的长为半径向线段两侧作弧，两弧分别交与点； （2）过点作直线，所得直线即为所求
过一点作已知直线的垂线 点在直线上 （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于两点； （2）分别以点为圆心，以大于长为半径向直线上方作弧，交点为； （3）作直线即为所求
点在直线外 （1）在直线另一侧取点； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线同侧交与点； （4）连接即为所求
2.转化类尺规作图
常见类型 转化方法
作线段的中点 作已知线段的垂直平分线
作到线段两端点距离相等的点
作三角形的中线
过直线外一点作这条直线的平行线 作一个角等于已知角
作三角形的高 过一点作已知直线的垂线
作三角形 作一条线段等于已知线段或作一个角等于已知角
作全等三角形
作三角形的外接圆 作已知线段的垂直平分线
作三角形的内切圆 作已知角的平分线
讲解二：立体图形的展开与还原
1.常见几何体的展开图
几何体 展开图
2.正方体的展开与折叠
类别 展开图
一四一型
二三一型
三三型
二二二型
讲解三：几何体的三视图
1.投影
平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影；物体在太阳光照射下可以看成平行投影；投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影
中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如灯光下某物体的投影
2.三视图
三视图 概念 主视图 正投影情况下，在正面内得到的由前向后观察物体的视图
左视图 正投影情况下，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图
俯视图 正投影情况下，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
画法 （1）主视图和俯视图要长对正； （2）主视图和左视图要高平齐； （3）左视图和俯视图要宽相等； （4）看得见的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线
由三视图还原几何体 （1）想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状； （2）定形：综合确定几何体（或实物原型）的形状； （3）定大小位置：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸
3.已知主视图、俯视图求小正方体个数的方法
（1）最少需要小正方体个数＝主视图小正方体个数+俯视图中小正方体个数－主视图中第一层小正方体个数；
（2）最多需要小正方体个数＝主视图中第一列小正方体个数×俯视图中第一列小正方体个数＋主视图中第二列小正方体个数×俯视图中第二列小正方体个数＋···＋主视图中第n列小正方体个数×俯视图中第n列小正方体个数.
讲解四：图形的对称
1.轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图形
性质 （1）成轴对称的两个图形是全等图形； （2）成轴对称的两个图形只有一条对称轴； （3）对应点连线被对称轴垂直平分 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）成中心对称的两个 图形只有一个对称中心； （3）对应点连线交于对称中心，并且被对称中心平分
作图方法 （1）找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴（或对称中心）的对称点； （2）根据原图形依次连接各对称点即可
2.轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断方法 （1）有对称轴——直线； 图形沿对称轴折叠后完全重合 （1）有对称中心——点； （2）图形绕对称中心旋转后完全重合
讲解五：图形的平移、旋转
1.图形的平移
内容 要素 性质 网格作图步骤
（1）平移的方向； （2）平移的距离 （1）平移前后对应线段平行（或共线）且相等，对应点所连的线段平行（或共线）且相等； （2）对应角分别相等，且对应角的两边分别平行（或共线），方向一致； （3）平移变换后的图形与原图形全等 （1）确定平移方向和平移距离； （2）找原图形关键点； （3）按平移方向和距离平移各关键点； （4）按原图形顺次连接各关键点平移后的对应点，得到平移后的图形
2.图形的旋转
内容 要素 性质 网格作图步骤
（1）旋转中心； （2）旋转方向； （3）旋转角度 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等 （1）确定旋转中心，旋转方向及旋转角； （2）找原图形的关键点； （3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； （4）按原图形顺次连接各关键点旋转后的对应点，得到旋转后的图形
考点突破
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是( )
A. B. C. D.
3.把图中的风车图案绕着中心O旋转,旋转后的图案与原来的图案重合,旋转角的度数至少为( )
A. B. C. D.
4.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置.若，阴影部分的面积为26，则的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图,点C在的边上,尺规作图痕迹显示的是( )
A.作线段的垂直平分线 B.作的平分线
C.是等边三角形 D.作
6.如图,在中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图,在中,,将绕点A逆时针旋转,得到,连接.若,,则线段的长为( )
A. B. C. D.
8.如图,在中,.按以下步骤作图：
①以点C为圆心,适当长为半径画弧,交于点M,交于点N；
②分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在的内部相交于点P；
③画射线,交于点D.
若,,则的长为( )
A. B.4 C.2 D.3
9.已知,作图.
步骤1：以点D为圆心,适当长为半径画弧,分别交,于点M,N；再分别以点M,N为圆心,大于长为半径画弧交于点E,画射线.
步骤2：在上任取一点O,以点O为圆心,长为半径画半圆,分别交,,于点P,Q,C；
步骤3：连接,.
则下列结论不正确的是( )
A. B. C.垂直平分 D.
10.现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点M，N，使得四边形为平行四边形.甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
11.由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示,则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是______个.
12.如图,一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为______.
13.如图,与关于点O成中心对称,的平分线交于点D,若,,则的周长为______.
14.已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点C在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为_________.
15.如图，中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点E，以点E为圆心，为半径作弧，交于点F，连接，则的长为____________.
16.如图,是中边上的高.
(1)利用尺规作中边上的高,交于点O；(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若,求证：.
17.根据要求完成下列题目.
(1)图中有_____块小正方体.
(2)请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图(画出的图都用铅笔涂上阴影).
(3)用小正方体搭一几何体,使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致,则这样的几何体最少要____个小正方体,最多要____个小正方体.
18.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点（网格线的交点）.
(1)画出线段关于直线对称的线段；
(2)画出线段绕着点B顺时针旋转得到的线段；
(3)在(2)的条件下求出点A运动的路径长.
19.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，.
(1)将向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，画出；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)在旋转到过程中，求走过的路径的长度.
20.综合与实践在中,,,.
问题发现
(1)如图1,将绕点C按顺时针方向旋转得到,连接,,线段与之间的数量关系是___________,与的位置关系是___________.
类比探究
(2)如图2,将绕点C按顺时针方向旋转任意角度得到,连接,,线段与之间的数量关系、位置关系与(1)中的结论是否一致？请说明理由.
迁移应用
(3)如图3,将绕点C旋转一定的角度得到,当点D落到边上时,连接,求线段的长.
答案以及解析
1.答案：C
解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C.
2.答案：B
解析：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，
故选：B.
3.答案：C
解析：∵,
∴旋转的角度是的整数倍,
∴旋转的角度至少是.
故选：C.
4.答案：D
解析：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得.
故选：D.
5.答案：D
解析：连接,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
故选D.
6.答案：B
解析：根据尺规作图痕迹,可得DF垂直平分AB,BE是的角平分线,
,,,
,,
,
综上,正确的是A、C、D选项,
故选：B.
7.答案：D
解析：由旋转的性质得到：,,
∴,,,
∵,
∴,
在中,根据勾股定理得：,
故选D.
8.答案：D
解析：,
,
由作法得平分,
,
,
,
,
,
,
.
故选：D.
9.答案：D
解析：.由作图可知：,
,垂直平分,故选项A、C正确,不符合题意；
B.为半圆O的直径,
,,
,
,选项B正确,不符合题意；
D.的度数未知,和互余,
不一定等于,
不一定等于,故选项D错误,符合题意.
故选：D.
10.答案：C
解析：甲：设与相交于点O，
由作图可知，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形；
乙：由作图可知，平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
故选：C.
11.答案：4
解析：由几何体的主视图和左视图可知,该几何体为两层三列,
最低层最少为个,第二层为1个,
如图(一种最少的情况的俯视图)：
∴最少由4个小正方体组成,
故答案为：4.
12.答案：
解析：由三视图确定该几何体是圆柱体,底面半径是,高是6,
则这个几何体的体积为.
故答案为：.
13.答案：16
解析：∵,
∴,
∴,
∵的平分线交于点D,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴的周长为：,
∵与关于点O成中心对称,
∴的周长为16,
故答案为：16.
14.答案：6
解析：由刻度尺度数可知，，
∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，则，
过点作，则在中，，
∴，
将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点B为图中所示位置，则，，
由旋转可知，，
∴，
则在中，，
故答案为：6.
15.答案：
解析：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
∵，，
∴.
设直线交于点G，连接，，
∵由作图可得是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
由作图可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴点A，C，F，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴.
故答案为：
16.答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)如图,即为所求；
(2)证明：是中边上的高,是中边上的高,
,
,
,
在和中,
,
,
,,
,
,即.
17.答案：(1)6
(2)见解析
(3)5,7
解析：由图知,图形共有3层,最下层有3块小正方体,中间一层有2块,最上一层有1块,
∴图中共有块小正方体,
故答案为：6；
(2)如图：
(3)如图,用小正方体搭一几何体,使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致,则这样的几何体最少要5个,最多需要7个,
故答案为：5,7.
18.答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)如图，即为所求
(2)解析：如图，即为所求
(3)解析：，
∴点A运动的路径长为.
19.答案：(1)作图见解析
(2)作图见解析，
(3)
解析：(1)如图，即为所求.
(2)解析：如图，即为所求，.
(3)解析：在旋转到过程中，经过的路径为一个的圆弧周长，
即.
20.答案：(1),
(2)线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致,理由见解析
(3)
解析：(1)∵将绕点C按顺时针方向旋转得到,连接,,
∴,,,,
∴,,
∴,,
∴与之间的数量关系是,
延长交于一点H,
∵,,
∴,
即,
∴与的位置关系是,
故答案为：,；
(2)线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致,
理由如下：
如图,延长交于点H,
将绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到,
,,,
,
,
,
,.
(3)如图,过点C作于点N,
,,,
,
,
又
,
,
,,
,
由(2)可知.

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