资源简介

杭州二中2024学年第二学期高一年级期中考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则虚部是（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知正四面体的表面积为，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，，，其面积为，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正三棱锥，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，圆内接四边形中，，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 165°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下复数运算一定成立的是（ ）
A. B. （、均不为）
C. D.
10. 在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A. 为直角三角形 B. ，，，依次连起来是一个四边形
C. D.
11. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 存在点，使得直线与共面
C. 最小值为
D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______.
13. 已知O为所在平面内一点，且点P满足，，则_______．
14. 复数，满足，，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）求向量与的夹角的大小；
（2）若向量满足，求的值.
16. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，，是的中点.
（1）求；
（2）若，，，求的值.
17. 在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，.
（1）要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？
（2）求烧烤区占地面积的最大值.
18. 如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面.
（1）在上，，求证：平面平面；
（2）若，且，求值；
（3）求三棱锥体积的最大值.
19. 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，.
（1）设，，计算和；
（2）设，，求证：；
（3）设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值.
D
A
D
B
C
A
C
A
ABC
ACD
AD
##
15.（1）因为，，则，
因为，故.
（2）因为向量满足，
所以，解得，所以，故.
16.（1）在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）在中，，，
由，得，
由是的中点，得，
由，得
，
所以.
17.（1）在中，米，，
由余弦定理可得
，
所以，，
当且仅当米时，等号成立，
所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米.
（2）设米，则米，设，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，烧烤区面积的最大值为平方米.
18.（1）如下图所示：
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面.
（2）过点在平面内作交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，、平面，
所以平面平面.
因为平面平面，平面平面，所以，
因为为的中点，，则为的中点，
因为，且正三棱锥的棱长均为，
则，，，
所以，，
，
因为，所以，，则存在，使得，
即，
因为、不共线，则，解得.
综上所述，.
（3）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
设点在平面上的射影为点，则为等边的中心，
由正弦定理可得，则，
所以，
因为，所以，点到平面的距离，
点到直线的距离为，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故三棱锥体积的最大值为.
19.（1）如下图所示：
由平面向量数量积的坐标运算可得，
则为锐角，且，
结合图形可知，，
.
（2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，
设，，则，，
则
，
故.
（3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设，由题意知，
.
由垂径定理知，
，
，
当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当时等号成立，
综上所述三角形的面积的最大为.

展开更多......

收起↑