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广东省潮州市饶平县2024 2025学年高二下学期四月阶段（二）数学试题
一、单选题
1．已知，则等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．48种
3．如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在区间上是增函数
C．的最大值是
D．当时，取极小值
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列中，，，则的前项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ）
A．12 B．8 C．7 D．5
二、多选题
9．设，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
10．已知双曲线的左 右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线与双曲线的渐近线相同
C．的面积为4
D．的周长为
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数只有1个零点
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
13．函数在点处的切线的方程为______．
14．南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不同的景区开展环保活动，要求每个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有 .
四、解答题
15．已知函数，在处取得极值
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最值．
16．已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 为线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)若直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
18．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
19．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求证：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，，，则（舍）或.
故选A.
2．【答案】B
【详解】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为，
所有的排列方式有：.
故选B.
3．【答案】B
【详解】解：根据导函数图象可知，
在上，在上是减函数，故错误；
在上，单调递增，故B正确, C错误；
在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故D错误，
故选B．
4．【答案】A
【详解】，则
因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，则在恒成立.
在最大值为，所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】依题意，
而，所以，
所以数列的公差，
且数列的前项为负数，从第项起为正数，
所以的最小值为.
故选C.
6．【答案】D
【详解】设切点为，，直线的斜率.
则，得，.
故选D.
7．【答案】A
【详解】令，则，
则当时，，即单调递增，
因为偶函数，则，则，
即为奇函数，
则在上单调递增，
因，则，
则可转化为，
则，即，
故不等式的解集为.
故选A.
8．【答案】C
【详解】根据题意，为椭圆，则，
从个数中选两个不同的数作为系数，
当为偶数时，去掉重复的数有个数
则任取两个数的排列数为个，
当为奇数时，去掉重复的数有个数
则任取两个数的排列数为个，
由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程，
则当为偶数时，，得，
当为奇数时，，得，所以C正确.
故选C.
9．【答案】AC
【详解】因为，
所以令时，
，
故A正确；
令时，
，
所以，
故B不正确；
令时，
，
故C正确；
当时，二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，
故D选项错误；
故选AC.
10．【答案】BCD
【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距长为，则
，所以，离心率，A错误；
双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程是，双曲线与双曲线的渐近线相同，B正确；
由双曲线定义可得，又，
所以，
即，所以的面积为，C正确；
，
即，所以的周长为，D正确.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】由得：，
由得：，由得：，
所以在单调递减，在单调递增，只有极小值，无极大值，
当恒有，当恒有，且，故A不正确，C正确：
B：在单调递增，又，故，故正确；
D：方程，即有一根为，
令．则，
令得：或，
令得：，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时有3个实数解，此时有4个实数解，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】24
【详解】的展开式通项公式为，
令，得，故的系数为24.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
，，
所以切线方程为，即.
14．【答案】1560
【详解】第一步：将6名成员分成4组，按照1，1，1，3的方式来分，有种分配方案；按照1，1，2，2的方式来分，有种分配方案；
第二步：将4组成员分配到4个不同的景区开展环保活动，共有种分配方案，
故符合要求的分配方案有种．
15．【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题设，，又处取得极值
所以，可得.经检验，满足题意.
（2）由（1）知：，
在上，递增；在上，递减；
在上的最大值为，
而，，故在上的最小值为，
综上，上最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以；
设等比数列的公比为，
则，化简整理，得，
解得（舍去）或，
；
（2）由题可知，
所以，
，
所以，
则.
17．【答案】(1)证明过程见解析；(2) .
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为 ，
所以 ，即 ;
（2）设平面 的法向量为 ，
，
所以 令x=1，得y=1，z=1 a,
所以 .
因为直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
解得 ，即 ，因为 ，
所以点 到平面 的距离为
.
18．【答案】(1);
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意得：，，，
故可知，
椭圆方程为：.
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：，
则，即，
由韦达定理可知：，，
，则，
，
又，
，
，
展开后整理得：，解得：或，
当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去，
当时，AB的方程为：，恒过定点.
所以直线过定点．
19．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1），
当时，，，
所以在上递增，在上递减,
当时，或，，
此时在，上递增，在上递减；
当时，，所以在上递增；
当时，或，，
此时在，上递增，在上递减；
（2）当，，要证，只需证，
令，则，
令，则，
故在上递减，即在上递减，
又，，
故存在，使得，即，即
且，，
故在上递增，在上递减，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以时，.

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