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安徽省合肥市第九中学2024 2025学年高二下学期第一次单元质量检测数学试卷
一、单选题
1．曲线y=在点处的切线方程为 (　　)
A．y=x B．y=x
C．y=x+ D．y=x+
2．同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
6．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学老师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．12
7．设是R上的可导函数，分别为的导函数，且，则当时，有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．
B．设函数的导函数为，且，则
C．函数的单调递减区间为
D．函数有两个极值点
10．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
11．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题
12．《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答）
13．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为 .
四、解答题
15．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.
(1)一共能组成多少个不同的三位数？
(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
16．已知函数，且满足
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
17．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围.
18．已知函数， ，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
19．设函数在区间D上的导函数为，且在D上存在导函数（其中）．定义：若区间D上恒成立，则称函数在区间D上为凸函数．
(1)若函数，判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
(2)若函数．
（ⅰ）若在上为“凸函数”，求a的取值范围；
（ⅱ）若，判断在区间上的零点个数．
参考答案
1．【答案】C
【详解】命题点：曲线在某点处的切线方程
y'==,y'|x=1=,所以曲线y=在点处的切线方程为y-=(x-1)(提示:利用点斜式求直线方程),整理得y=x+,故选C.
2．【答案】B
【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片,
故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法,
所以共有种分配方式.
故选B.
3．【答案】C
【详解】解：由，得：，
整理得，解得：，
由题可知，且，
则或，
即原不等式的解集为：.
故选C.
4．【答案】C
【详解】因为，定义域为，
则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
由，故排除A；
，当时，可得，
当时，为增函数，故排除D.
故选C.
5．【答案】C
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选C．
6．【答案】D
【详解】因为数学教师因故不能上第二节和第四节课，
所以先排数学老师的课，共有种排课方案，
然后再排剩下三位老师的课，共有种排课方案，
由分步计数乘法原理可得共有种排课方案，
故选.
7．【答案】C
【详解】∵，
∴函数是R上的减函数．
∴当时，，
故选C.
8．【答案】B
【详解】根据题意，若，则.
设.
所以可得在，函数为增函数.
对于，其导数.
若，解得，即函数的递增区间为；
若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，常数的导数为0，则，A错误；
对于B，由，求导得，
令，解得，B正确；
对于C，的定义域为，求导得，
由，得，函数的单调递减区间为，C错误；
对于D，，的变号零点为，函数有两个极值点，D正确.
故选BD.
10．【答案】AD
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选AD.
11．【答案】BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选BCD.
12．【答案】84
【详解】由题知共分两种情况：
第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出，
共有种法阵组合；
第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个，
先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有种方法，
再将风、火灵珠进行插空，共有种方法，
则共有种法阵组合，
所以共有种法阵组合.
13．【答案】
【详解】，则在上恒成立，
令，则，
则得，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，故，
则实数的取值范围是.
14．【答案】26
【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；
“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605；
“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155；
520、502、506、560、511、551、515、555.
则符合条件的三位整数的个数为26.
15．【答案】(1)120
(2)40
【详解】（1）解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为.
（2）解：百位为或，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，
则有个大于500的三位数.
16．【答案】（1）
（2）函数在区间上的最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，
所以，
令，即方程，
解得
（2）由（1）知，，所以，
令，即，
解得．
列表如下：
2 3
+ 0 - 0 +
当时，单调递增：
当时，单调递减：
当时，单调递增．
所以有极大值；有极小值
又．
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
又，，所以在点处的切线方程为.
（2）由题可知，，
所以，设，，
则，令，解得，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
又，即，所以.
18．【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【详解】（1）当时，，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，.
（2）因为，其中，
则，
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，合乎题意；
（ii）若，即当时，函数在上单调递减，
所以，，解得，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围是.
19．【答案】(1)为凸函数，理由见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）∴，，
∴，因为，∴，
∴在区间上为凸函数．
（2）（ⅰ）由可得其定义域为R，且，
所以，
若在上为“凸函数”可得在恒成立，
当时，显然符合题意；
当时，需满足，可得，
综上可得a的取值范围为；
（ⅱ）若，可得，所以，
令，则；
易知在区间上恒成立，
因此可得在上单调递减；
显然，
根据零点存在定理可得存在使得，
当时，，即在上为单调递减，
当时，，即在上为单调递增；
又，显然在上不存在零点；
而，结合单调性可得在上存在一个零点；
综上可知，在区间上仅有1个零点．

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